電験3種（理論）の頻出問題である「RLC直並列交流回路の電流・電力・力率」について解説します。
- 「RLC直並列交流回路の電流・電力・力率」の攻略ポイント
- 【令和8年上期・問8】RC直並列交流回路の電源電圧と消費電力（やや易）
- 【令和7年下期・問8】低周波・高周波入力時のRLC直並列回路の電流比（やや難）
- 【令和7年下期・問9】抵抗追加による電流変化からの未知抵抗の導出（普通）
- 【令和7年上期・問9】誘導性負荷に並列抵抗を接続した回路の抵抗値計算（普通）
- 【令和6年下期・問9】電源周波数変化に伴うRC直列回路の電流計算（普通）
- 【令和5年上期・問9】抵抗と誘導性リアクタンスの比からの力率算出（易）
- 【令和4年下期・問9】RC直並列交流回路の電源電圧と破線部の消費電力（やや易）
- 【令和4年上期・問8】スイッチ開閉による消費電力の変化からのインダクタンス導出（普通）
- 【令和2年・問8】RC直列回路のインピーダンスからの抵抗値算出（やや易）
- 【平成30年・問8】直列RL素子を含む誘導性負荷回路の端子電圧位相差（やや難）
- 【平成29年・問8】Lと並列抵抗からなるRL直並列回路の抵抗値導出（普通）
- 【平成27年・問8】RL直列回路の有効電力計算（易）
- 【平成26年・問10】交流回路の平均値・周期・共振・力率に関する正誤問題（易）
- 【平成26年・問15】RL並列回路の無効電力と誘導性リアクタンス（やや易）
- 【平成25年・問7】周波数変更に伴うRC直列回路の電流計算（普通）
- 【平成24年・問8】RL直列回路の無効電力からの抵抗値算出（やや易）
- 【平成24年・問10】RLC直並列回路における周波数変化時の電流比（やや難）
- 【平成23年・問8】誘導性負荷と並列抵抗の組合せ回路の抵抗値（普通）
- 【平成23年・問9】位相差条件からのRC直列回路の静電容量計算（普通）
- 【平成22年・問8】RLC直列回路の力率改善に伴う容量性リアクタンスの導出（やや難）
- 【平成21年・問8】スイッチ開閉時のコイル電流比と位相差の変化（普通）
「RLC直並列交流回路の電流・電力・力率」の攻略ポイント
電験3種の理論科目では、$RLC$直並列交流回路の計算が毎年のように出題されます。出題形式は、合成インピーダンスやベクトル計算により電流・電圧・有効電力・力率を求める問題が中心です。
さらに、スイッチの開閉による回路状態の変化や、周波数変化に伴うリアクタンスの変動を扱う問題も頻出します。直列回路はインピーダンスのベクトル和、並列回路はアドミタンスまたは分岐電流のベクトル和で解くことが鉄則です。
基本公式とポイント
$RLC$直並列交流回路の電流・電力・力率の計算で重要となる基本公式とポイントを以下の表に整理しました。
| 項目 | 基本公式 | ポイント |
|---|---|---|
| インピーダンスとリアクタンスの周波数特性 | ・誘導性リアクタンス：$X_L = 2\pi fL = \omega L\text{ [}\Omega\text{]}$ ・容量性リアクタンス：$X_C = \dfrac{1}{2\pi fC} = \dfrac{1}{\omega C}\text{ [}\Omega\text{]}$ ・直列合成の大きさ：$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}\text{ [}\Omega\text{]}$ |
・$X_L$は周波数$f$に比例し、高周波で大きくなる ・$X_C$は周波数$f$に反比例し、高周波で小さくなる ・実効値計算では位相差を無視せず、実部と虚部を分けて合成する |
| 並列回路と分岐電流の合成 | ・全電流の大きさ（$R$と誘導性負荷の並列）：$I = \sqrt{(I_R + I_p)^2 + I_q^2}\text{ [A]}$ ・ただし有効分電流：$I_p = I_{\text{load}}\cos\theta\text{ [A]}$ ・無効分電流：$I_q = I_{\text{load}}\sin\theta\text{ [A]}$ |
・抵抗電流$I_R$は電圧と同相であり、有効分$I_p$に直接加算できる ・並列$LC$の共振周波数では、$X_L = X_C$となり合成インピーダンスが無限大になる ・高周波領域ではコンデンサのリアクタンスがほぼ$0\text{ }\Omega$（短絡状態）に近づく |
| 皮相電力・有効電力・無効電力（電力三角形） | ・皮相電力：$S = VI = \sqrt{P^2 + Q^2}\text{ [V}\cdot\text{A]}$ ・有効電力：$P = VI\cos\theta = I^2 R = \dfrac{V_R^2}{R}\text{ [W]}$ ・無効電力：$Q = VI\sin\theta = I^2 X = \dfrac{V^2}{X}\text{ [var]}$ |
・有効電力を消費するのは抵抗$R$のみであり、理想のコイルとコンデンサは電力を消費しない ・力率は$\cos\theta = \dfrac{P}{S} = \dfrac{R}{Z}$で表され、$\dfrac{S}{P}$と逆にしないこと |
| 直列・並列回路の力率と位相差 | ・力率：$\cos\phi = \dfrac{R}{Z}$、$\tan\phi = \dfrac{X_L - X_C}{R}$ ・電圧・電流ベクトル図：$\dot{V} = \dot{V}_R + \dot{V}_L + \dot{V}_C$ |
・遅れ力率では$X_L - X_C > 0$（電流が電圧より遅れる）となる ・進み力率では$X_C - X_L > 0$（電流が電圧より進む）となる ・電源側直列素子と負荷側の力率角が一致すると、入出力電圧は同相になる |
【令和8年上期・問8】RC直並列交流回路の電源電圧と消費電力（やや易）
図のような$RC$交流回路がある。この回路に正弦波交流電圧$E\text{ [V]}$を加えたとき，容量性リアクタンス$6\text{ }\Omega$のコンデンサの端子間電圧の大きさは$12\text{ V}$であった。このとき，$E\text{ [V]}$と図の破線で囲んだ回路で消費される電力$P\text{ [W]}$の値として，正しいものを組み合わせたのは次のうちどれか。
| $E\text{ [V]}$ | $P\text{ [W]}$ | |
|---|---|---|
| (1) | $20$ | $96$ |
| (2) | $20$ | $32$ |
| (3) | $28$ | $168$ |
| (4) | $28$ | $120$ |
| (5) | $40$ | $309$ |
解説
正解は(1)です。
並列接続された各枝路の複素インピーダンス$\dot{Z} = R - jX_C\text{ [}\Omega\text{]}$、複素数表示によるオームの法則$\dot{I} = \dfrac{\dot{E}}{\dot{Z}}$、および複素数の絶対値（大きさ）の定義$\vert{}\dot{Z}\vert{} = \sqrt{R^2 + X_C^2}\text{ [}\Omega\text{]}$を用いて順に求めることがポイントです。
はじめに、左側の枝路に注目します。この枝路を流れる複素電流を$\dot{I}_1\text{ [A]}$とすると、コンデンサの複素インピーダンスは$-j6\text{ [}\Omega\text{]}$であるため、コンデンサの端子間複素電圧$\dot{V}_{C1}\text{ [V]}$は$\dot{V}_{C1} = -j6\dot{I}_1\text{ [V]}$と表されます。端子間電圧の大きさ（実効値）が$\vert{}\dot{V}_{C1}\vert{} = 12\text{ V}$であるため、両辺の絶対値をとって左側の枝路を流れる電流の大きさ（実効値）$I_1 = \vert{}\dot{I}_1\vert{}\text{ [A]}$を求めます。
$$\vert{}\dot{V}_{C1}\vert{} = \vert{}-j6\vert{}\vert{}\dot{I}_1\vert{} = 6\vert{}\dot{I}_1\vert{} = 12$$ $$I_1 = \vert{}\dot{I}_1\vert{} = \frac{12}{6} = 2\text{ [A]}$$この枝路は抵抗$8\text{ }\Omega$と容量性リアクタンス$6\text{ }\Omega$の直列回路であるため、複素インピーダンスは$\dot{Z}_1 = 8 - j6\text{ [}\Omega\text{]}$となります。オームの法則$\dot{E} = \dot{Z}_1 \dot{I}_1$より、複素インピーダンスの大きさ（絶対値）$\vert{}\dot{Z}_1\vert{}\text{ [}\Omega\text{]}$と電源電圧の大きさ（実効値）$E = \vert{}\dot{E}\vert{}\text{ [V]}$を順次計算します。
$$\vert{}\dot{Z}_1\vert{} = \sqrt{8^2 + (-6)^2} = \sqrt{100} = 10\text{ [}\Omega\text{]}$$ $$E = \vert{}\dot{E}\vert{} = \vert{}\dot{Z}_1\vert{}\vert{}\dot{I}_1\vert{} = 10 \times 2 = 20\text{ [V]}$$次に、電源電圧を位相の基準（実数）として$\dot{E} = 20\text{ [V]}$と置き、右側の枝路を流れる電流の大きさ（実効値）$I_2 = \vert{}\dot{I}_2\vert{}\text{ [A]}$を求めます。右側は抵抗$4\text{ }\Omega$と容量性リアクタンス$3\text{ }\Omega$の直列回路であるため、複素インピーダンスは$\dot{Z}_2 = 4 - j3\text{ [}\Omega\text{]}$、複素電流は$\dot{I}_2 = \dfrac{\dot{E}}{\dot{Z}_2} = \dfrac{20}{4 - j3}\text{ [A]}$となります。複素インピーダンスの大きさ（絶対値）$\vert{}\dot{Z}_2\vert{}\text{ [}\Omega\text{]}$と電流の大きさ（実効値）$I_2 = \vert{}\dot{I}_2\vert{}\text{ [A]}$は次式で与えられます。
$$\vert{}\dot{Z}_2\vert{} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{25} = 5\text{ [}\Omega\text{]}$$ $$I_2 = \vert{}\dot{I}_2\vert{} = \frac{\vert{}\dot{E}\vert{}}{\vert{}\dot{Z}_2\vert{}} = \frac{20}{5} = 4\text{ [A]}$$交流回路で有効電力を消費するのは抵抗のみです。破線内の全消費電力$P\text{ [W]}$は、$2$つの抵抗で消費される電力の和となるため、各枝路の電流の大きさ（実効値）$I_1 = 2\text{ A}$、$I_2 = 4\text{ A}$を用いて算出します。
$$P = I_1^2 \times 8 + I_2^2 \times 4 = 2^2 \times 8 + 4^2 \times 4 = 32 + 64 = 96\text{ [W]}$$よって、$E = 20\text{ V}$、$P = 96\text{ W}$となり、(1)が正解です。
【令和7年下期・問8】低周波・高周波入力時のRLC直並列回路の電流比（やや難）
図のように，$R_1 = 20\text{ }\Omega$と$R_2 = 30\text{ }\Omega$の抵抗，静電容量$C = \dfrac{1}{100\pi}\text{ [F]}$のコンデンサ，インダクタンス$L = \dfrac{1}{4\pi}\text{ [H]}$のコイルからなる回路に周波数$f\text{ [Hz]}$で実効値$V\text{ [V]}$が一定の交流電圧を加えた。$f = 10\text{ Hz}$のときに$R_1$を流れる電流の大きさを$I_{10\text{Hz}}\text{ [A]}$，$f = 10\text{ MHz}$のときに$R_1$を流れる電流の大きさを$I_{10\text{MHz}}\text{ [A]}$とする。このとき，電流比$\dfrac{I_{10\text{Hz}}}{I_{10\text{MHz}}}$の値として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) $2.5$
(2) $1.7$
(3) $1.0$
(4) $0.6$
(5) $0.4$
解説
正解は(5)です。
並列$LC$部の共振条件と、高周波におけるコンデンサの短絡状態への近似がポイントです。
まず、$f = 10\text{ Hz}$のときにおける各リアクタンス$X_L$、$X_C\text{ [}\Omega\text{]}$を計算します。
$$X_L = 2\pi f L = 2\pi \times 10 \times \frac{1}{4\pi} = 5\text{ [}\Omega\text{]}$$ $$X_C = \frac{1}{2\pi f C} = \frac{1}{2\pi \times 10 \times \frac{1}{100\pi}} = 5\text{ [}\Omega\text{]}$$ここで$X_L = X_C$であるため、並列接続された$C$と$L$の部分は並列共振状態です。並列共振部のインピーダンスは無限大（開放状態）となります。
したがって、回路全体の合成インピーダンス$Z_{10\text{Hz}}\text{ [}\Omega\text{]}$は$R_1$と$R_2$の直列和です。電流$I_{10\text{Hz}}\text{ [A]}$は次式で表されます。
$$Z_{10\text{Hz}} = R_1 + R_2 = 20 + 30 = 50\text{ [}\Omega\text{]}$$ $$I_{10\text{Hz}} = \frac{V}{50}\text{ [A]}$$次に、$f = 10\text{ MHz} = 10^7\text{ Hz}$のときの各リアクタンスを確認します。
$$X_L' = 2\pi \times 10^7 \times \frac{1}{4\pi} = 5 \times 10^6\text{ [}\Omega\text{]}$$ $$X_C' = \frac{1}{2\pi \times 10^7 \times \frac{1}{100\pi}} = 5 \times 10^{-6}\text{ [}\Omega\text{]}$$$X_C'$はきわめて小さく、並列部分はコンデンサによる実質的な短絡状態です。よって、$R_1$の電流$I_{10\text{MHz}}\text{ [A]}$は次式に近似できます。
$$I_{10\text{MHz}} \fallingdotseq \frac{V}{R_1} = \frac{V}{20}\text{ [A]}$$以上より、求める電流比は次のとおりです。
$$\frac{I_{10\text{Hz}}}{I_{10\text{MHz}}} \fallingdotseq \frac{\dfrac{V}{50}}{\dfrac{V}{20}} = \frac{20}{50} = 0.4$$よって、(5)が正解です。
【令和7年下期・問9】抵抗追加による電流変化からの未知抵抗の導出（普通）
図$1$のような抵抗$R\text{ [}\Omega\text{]}$と誘導性リアクタンス$X\text{ [}\Omega\text{]}$との直列回路がある。この回路に正弦波交流電圧$E = 100\text{ V}$を加えたとき，回路に流れる電流は$10\text{ A}$であった。この回路に図$2$のように，更に抵抗$11\text{ }\Omega$を直列接続したところ，回路に流れる電流は$5\text{ A}$になった。抵抗$R\text{ [}\Omega\text{]}$の値として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) $16.7$
(2) $5.5$
(3) $11.4$
(4) $8.6$
(5) $8.1$
解説
正解は(5)です。
図$1$と図$2$のインピーダンスの式を立て、未知のリアクタンス$X$を消去して連立方程式を解くことがポイントです。
図$1$の回路において、インピーダンスの大きさ$Z_1\text{ [}\Omega\text{]}$は$E = 100\text{ V}$と電流$10\text{ A}$から求められます。
$$Z_1 = \sqrt{R^2 + X^2} = \frac{100}{10} = 10\text{ [}\Omega\text{]}$$両辺を$2$乗した関係式は次のとおりです。
$$R^2 + X^2 = 100 \quad \cdots \text{①}$$続いて、図$2$のように抵抗$11\text{ }\Omega$を直列接続したときのインピーダンス$Z_2\text{ [}\Omega\text{]}$を求めます。電流が$5\text{ A}$となったため、関係式は次のとおりです。
$$Z_2 = \sqrt{(R + 11)^2 + X^2} = \frac{100}{5} = 20\text{ [}\Omega\text{]}$$同様に両辺を$2$乗します。
$$(R + 11)^2 + X^2 = 400 \quad \cdots \text{②}$$式②から式①を辺々引くことで$X^2$を消去し、$R$について解きます。
$$(R + 11)^2 - R^2 = 400 - 100$$ $$R^2 + 22R + 121 - R^2 = 300$$ $$22R = 179 \implies R = \frac{179}{22} \fallingdotseq 8.14\text{ [}\Omega\text{]}$$最も近い値は$8.1$であり、(5)が正解です。
【令和7年上期・問9】誘導性負荷に並列抵抗を接続した回路の抵抗値計算（普通）
図の交流回路において，電源電圧を$E = 140\text{ V}$とする。この電源に抵抗$R_0\text{ [}\Omega\text{]}$と誘導性リアクタンス$X_L\text{ [}\Omega\text{]}$とからなる力率$0.8$の誘導性負荷を接続したところ，電源から流れ出る電流の大きさは$30\text{ A}$であった。次に，スイッチ$\text{S}$を閉じ，誘導性負荷と並列に抵抗$R\text{ [}\Omega\text{]}$を接続すると，電源から流れ出る電流の大きさが$82\text{ A}$となった。このとき，抵抗$R\text{ [}\Omega\text{]}$の大きさとして，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) $1.5$
(2) $2.3$
(3) $2.5$
(4) $2.9$
(5) $3.0$
解説
正解は(3)です。
並列接続された誘導性負荷の電流と抵抗の電流を、有効分（同相分）と無効分（遅れ分）に分解して合成することがポイントです。
まず、誘導性負荷の力率$\cos\theta = 0.8$から無効率$\sin\theta$を求めます。
$$\sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta} = \sqrt{1 - 0.8^2} = 0.6$$スイッチ$\text{S}$が開いているとき、電源電流$30\text{ A}$はすべて誘導性負荷に流れます。この電流の有効分$I_p\text{ [A]}$と無効分$I_q\text{ [A]}$は次式のとおりです。
$$I_p = 30 \cos\theta = 30 \times 0.8 = 24\text{ [A]}$$ $$I_q = 30 \sin\theta = 30 \times 0.6 = 18\text{ [A]}$$次に、スイッチ$\text{S}$を閉じると、純抵抗$R\text{ [}\Omega\text{]}$に電源電圧$E = 140\text{ V}$と同相の電流$I_R\text{ [A]}$が流れます。このとき、全電流の有効分は$24 + I_R\text{ [A]}$となり、無効分は$18\text{ A}$のまま変化しません。
全電流の大きさは$82\text{ A}$であり、三平方の定理より次式が成り立ちます。
$$(24 + I_R)^2 + 18^2 = 82^2$$ $$(24 + I_R)^2 = 6\,724 - 324 = 6\,400$$ここで$24 + I_R > 0$であるため、$I_R$の値は次のとおりです。
$$24 + I_R = \sqrt{6\,400} = 80 \implies I_R = 56\text{ [A]}$$したがって、抵抗$R\text{ [}\Omega\text{]}$の値は次式で計算できます。
$$R = \frac{E}{I_R} = \frac{140}{56} = 2.5\text{ [}\Omega\text{]}$$よって、(3)が正解です。
【令和6年下期・問9】電源周波数変化に伴うRC直列回路の電流計算（普通）
$4\text{ }\Omega$の抵抗と静電容量が$C\text{ [F]}$のコンデンサを直列に接続した$RC$回路がある。この$RC$回路に，周波数$50\text{ Hz}$の交流電圧$100\text{ V}$の電源を接続したところ，$20\text{ A}$の電流が流れた。では，この$RC$回路に，周波数$60\text{ Hz}$の交流電圧$100\text{ V}$の電源を接続したとき，$RC$回路に流れる電流の値$\text{ [A]}$として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) $16.7$
(2) $18.6$
(3) $21.2$
(4) $24.0$
(5) $25.6$
解説
正解は(3)です。
容量性リアクタンス$X_C = \dfrac{1}{2\pi f C}$が周波数$f$に反比例する性質を利用することがポイントです。
周波数$50\text{ Hz}$の電源を接続したとき、回路のインピーダンスの大きさ$Z_{50}\text{ [}\Omega\text{]}$は電圧$100\text{ V}$と電流$20\text{ A}$から求められます。
$$Z_{50} = \frac{100}{20} = 5\text{ [}\Omega\text{]}$$抵抗は$R = 4\text{ }\Omega$であるため、$50\text{ Hz}$における容量性リアクタンス$X_{C50}\text{ [}\Omega\text{]}$は次のとおりです。
$$X_{C50} = \sqrt{Z_{50}^2 - R^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3\text{ [}\Omega\text{]}$$周波数が$50\text{ Hz}$から$60\text{ Hz}$へ変化すると、$X_C$は周波数に反比例して$\dfrac{50}{60}$倍になります。よって、$60\text{ Hz}$でのリアクタンス$X_{C60}\text{ [}\Omega\text{]}$は次のとおりです。
$$X_{C60} = 3 \times \frac{50}{60} = 2.5\text{ [}\Omega\text{]}$$このときの回路インピーダンスの大きさ$Z_{60}\text{ [}\Omega\text{]}$と電流$I_{60}\text{ [A]}$を計算します。
$$Z_{60} = \sqrt{4^2 + 2.5^2} = \sqrt{16 + 6.25} = \sqrt{22.25} \fallingdotseq 4.717\text{ [}\Omega\text{]}$$ $$I_{60} = \frac{100}{Z_{60}} \fallingdotseq \frac{100}{4.717} \fallingdotseq 21.20\text{ [A]}$$最も近い値は$21.2\text{ A}$であり、(3)が正解です。
【令和5年上期・問9】抵抗と誘導性リアクタンスの比からの力率算出（易）
図のように，抵抗$R\text{ [}\Omega\text{]}$と誘導性リアクタンス$X_L\text{ [}\Omega\text{]}$が直列に接続された交流回路がある。$\dfrac{R}{X_L} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$の関係があるとき，この回路の力率$\cos\phi$の値として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) $0.43$
(2) $0.50$
(3) $0.58$
(4) $0.71$
(5) $0.87$
解説
正解は(3)です。
$RL$直列回路におけるインピーダンス$Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$と力率$\cos\phi = \dfrac{R}{Z}$の関係式がポイントです。
与えられた条件$\dfrac{R}{X_L} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$より、$X_L$は抵抗$R$を用いて次式で表されます。
$$X_L = \sqrt{2}R$$これをインピーダンスの式に代入した結果は次のとおりです。
$$Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{R^2 + (\sqrt{2}R)^2} = \sqrt{R^2 + 2R^2} = \sqrt{3}R$$直列回路の力率$\cos\phi$は抵抗$R$とインピーダンス$Z$の比で与えられるため、次式のように計算できます。
$$\cos\phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{3}R} = \frac{1}{\sqrt{3}} \fallingdotseq \frac{1}{1.732} \fallingdotseq 0.577$$最も近い値は$0.58$であり、(3)が正解です。
【令和4年下期・問9】RC直並列交流回路の電源電圧と破線部の消費電力（やや易）
図のような$RC$交流回路がある。この回路に正弦波交流電圧$E\text{ [V]}$を加えたとき，容量性リアクタンス$6\text{ }\Omega$のコンデンサの端子間電圧の大きさは$12\text{ V}$であった。このとき，$E\text{ [V]}$と図の破線で囲んだ回路で消費される電力$P\text{ [W]}$の値の組合せとして，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
| $E\text{ [V]}$ | $P\text{ [W]}$ | |
|---|---|---|
| (1) | $20$ | $32$ |
| (2) | $20$ | $96$ |
| (3) | $28$ | $120$ |
| (4) | $28$ | $168$ |
| (5) | $40$ | $309$ |
解説
正解は(2)です。
左側の枝路の電流とインピーダンスから電源電圧$E$を確定させ、左右両方の抵抗で消費される電力を合算することがポイントです。
左側の枝路にある容量性リアクタンス$6\text{ }\Omega$のコンデンサには$12\text{ V}$の電圧が加わっています。したがって、左側の枝路を流れる電流$I_1\text{ [A]}$は次式のとおりです。
$$I_1 = \frac{12}{6} = 2\text{ [A]}$$この枝路のインピーダンスの大きさ$Z_1\text{ [}\Omega\text{]}$と電源電圧$E\text{ [V]}$を求めます。
$$Z_1 = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10\text{ [}\Omega\text{]}$$ $$E = I_1 Z_1 = 2 \times 10 = 20\text{ [V]}$$右側の枝路には電圧$E = 20\text{ V}$が直接加わります。抵抗$4\text{ }\Omega$とリアクタンス$3\text{ }\Omega$のインピーダンス$Z_2\text{ [}\Omega\text{]}$と電流$I_2\text{ [A]}$は次のとおりです。
$$Z_2 = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5\text{ [}\Omega\text{]}$$ $$I_2 = \frac{20}{5} = 4\text{ [A]}$$コンデンサは電力を消費しないため、破線部全体の電力$P\text{ [W]}$は抵抗での消費電力の和になります。
$$P = I_1^2 \times 8 + I_2^2 \times 4 = 2^2 \times 8 + 4^2 \times 4 = 32 + 64 = 96\text{ [W]}$$よって、$E = 20\text{ V}$、$P = 96\text{ W}$となり、(2)が正解です。
【令和4年上期・問8】スイッチ開閉による消費電力の変化からのインダクタンス導出（普通）
図のように，周波数$f\text{ [Hz]}$の正弦波交流電圧$E\text{ [V]}$の電源に，$R\text{ [}\Omega\text{]}$の抵抗，インダクタンス$L\text{ [H]}$のコイルとスイッチ$\text{S}$を接続した回路がある。スイッチ$\text{S}$が開いているときに回路が消費する電力$\text{ [W]}$は，スイッチ$\text{S}$が閉じているときに回路が消費する電力$\text{ [W]}$の$\dfrac{1}{2}$になった。このとき，$L\text{ [H]}$の値を表す式として，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) $2\pi fR$
(2) $\dfrac{R}{2\pi f}$
(3) $\dfrac{2\pi f}{R}$
(4) $\dfrac{(2\pi f)^2}{R}$
(5) $\dfrac{R}{\pi f}$
解説
正解は(2)です。
スイッチ開閉時のインピーダンスの違いから消費電力の式を比較することがポイントです。
スイッチ$\text{S}$を閉じると、コイルが短絡されるため、回路は抵抗$R\text{ [}\Omega\text{]}$のみとなります。このときの消費電力$P_{\text{close}}\text{ [W]}$は次式です。
$$P_{\text{close}} = \frac{E^2}{R}\text{ [W]}$$次に、スイッチ$\text{S}$が開いているときは、抵抗$R\text{ [}\Omega\text{]}$とコイルの誘導性リアクタンス$X_L = 2\pi f L\text{ [}\Omega\text{]}$の直列回路となります。回路電流$I_{\text{open}}\text{ [A]}$と抵抗での消費電力$P_{\text{open}}\text{ [W]}$は次のとおりです。
$$I_{\text{open}} = \frac{E}{\sqrt{R^2 + (2\pi f L)^2}}\text{ [A]}$$ $$P_{\text{open}} = I_{\text{open}}^2 R = \frac{E^2 R}{R^2 + (2\pi f L)^2}\text{ [W]}$$問題の条件より$P_{\text{open}} = \dfrac{1}{2}P_{\text{close}}$であるため、次式が成り立ちます。
$$\frac{E^2 R}{R^2 + (2\pi f L)^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{E^2}{R}$$両辺を$E^2$で割り、分母を払った結果は次のとおりです。
$$2R^2 = R^2 + (2\pi f L)^2 \implies (2\pi f L)^2 = R^2$$$2\pi f L > 0$かつ$R > 0$であるため、平方根をとると次式が得られます。
$$2\pi f L = R \implies L = \frac{R}{2\pi f}\text{ [H]}$$よって、(2)が正解です。
【令和2年・問8】RC直列回路のインピーダンスからの抵抗値算出（やや易）
図のように，静電容量$2\text{ }\mu\text{F}$のコンデンサ，$R\text{ [}\Omega\text{]}$の抵抗を直列に接続した。この回路に，正弦波交流電圧$10\text{ V}$，周波数$1\,000\text{ Hz}$を加えたところ，電流$0.1\text{ A}$が流れた。抵抗$R$の値$\text{ [}\Omega\text{]}$として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) $4.50$
(2) $20.4$
(3) $30.3$
(4) $60.5$
(5) $79.6$
解説
正解は(4)です。
オームの法則で合成インピーダンス$Z$を求め、容量性リアクタンス$X_C$とのベクトル関係から$R$を逆算することがポイントです。
まず、$f = 1\,000\text{ Hz}$と$C = 2\text{ }\mu\text{F}$から容量性リアクタンス$X_C\text{ [}\Omega\text{]}$を求めます。円周率は$\pi \fallingdotseq 3.14$です。
$$X_C = \frac{1}{2\pi f C} \fallingdotseq \frac{1}{2 \times 3.14 \times 1\,000 \times 2 \times 10^{-6}} = \frac{1}{12.56 \times 10^{-3}} \fallingdotseq 79.62\text{ [}\Omega\text{]}$$次に、電源電圧$E = 10\text{ V}$と回路電流$I = 0.1\text{ A}$より、インピーダンスの大きさ$Z\text{ [}\Omega\text{]}$を計算します。
$$Z = \frac{E}{I} = \frac{10}{0.1} = 100\text{ [}\Omega\text{]}$$$RC$直列回路では$Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$が成り立つため、抵抗値$R\text{ [}\Omega\text{]}$は次式です。
$$R = \sqrt{Z^2 - X_C^2} \fallingdotseq \sqrt{100^2 - 79.62^2} \fallingdotseq \sqrt{10\,000 - 6\,339.3} = \sqrt{3\,660.7} \fallingdotseq 60.5\text{ [}\Omega\text{]}$$よって、(4)が正解です。
【平成30年・問8】直列RL素子を含む誘導性負荷回路の端子電圧位相差（やや難）
図のように，角周波数$\omega\text{ [rad/s]}$の交流電源と力率$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$の誘導性負荷$\dot{Z}\text{ [}\Omega\text{]}$との間に，抵抗値$R\text{ [}\Omega\text{]}$の抵抗器とインダクタンス$L\text{ [H]}$のコイルが接続されている。$R = \omega L$とするとき，電源電圧$\dot{V}_1\text{ [V]}$と負荷の端子電圧$\dot{V}_2\text{ [V]}$との位相差の値$\text{ [}^\circ\text{]}$として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) $0$
(2) $30$
(3) $45$
(4) $60$
(5) $90$
解説
正解は(1)です。
回路電流を基準とした電圧降下ベクトルの位相角に着目することがポイントです。
負荷は力率$\cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$の誘導性負荷であるため、$\dot{V}_2$は電流$\dot{I}$より$45^\circ$進みます。
次に、電源と負荷の間の直列部$\dot{Z}_s = R + j\omega L$を考えます。条件$R = \omega L$より、この部分のインピーダンス角$\theta_s$は次のとおりです。
$$\tan\theta_s = \frac{\omega L}{R} = 1 \implies \theta_s = 45^\circ$$したがって、直列部の電圧降下$\dot{I}\dot{Z}_s$も電流$\dot{I}$に対して$45^\circ$進みます。
電源電圧$\dot{V}_1$は負荷電圧$\dot{V}_2$と直列部の電圧降下$\dot{I}\dot{Z}_s$のベクトル和です。
$$\dot{V}_1 = \dot{V}_2 + \dot{I}\dot{Z}_s$$$\dot{V}_2$と$\dot{I}\dot{Z}_s$はともに電流$\dot{I}$より$45^\circ$進んでおり、互いに同相です。同相ベクトルの和は位相角が変わらないため、位相差は$0^\circ$となります。
よって、(1)が正解です。
【平成29年・問8】Lと並列抵抗からなるRL直並列回路の抵抗値導出（普通）
図のように，交流電圧$E = 100\text{ V}$の電源，誘導性リアクタンス$X = 4\text{ }\Omega$のコイル，$R_1\text{ [}\Omega\text{]}$，$R_2\text{ [}\Omega\text{]}$の抵抗からなる回路がある。いま，回路を流れる電流の値が$I = 20\text{ A}$であり，また，抵抗$R_1$に流れる電流$I_1\text{ [A]}$と抵抗$R_2$に流れる電流$I_2\text{ [A]}$との比が，$I_1 : I_2 = 1 : 3$であった。このとき，抵抗$R_1$の値$\text{ [}\Omega\text{]}$として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) $1.0$
(2) $3.0$
(3) $4.0$
(4) $9.0$
(5) $12$
解説
正解は(5)です。
並列接続された抵抗$R_1$、$R_2$を$1$つの合成抵抗$R$にまとめて全体のインピーダンスから逆算することがポイントです。
電源電圧$E = 100\text{ V}$と全電流$I = 20\text{ A}$より、インピーダンスの大きさ$Z\text{ [}\Omega\text{]}$を求めます。
$$Z = \frac{E}{I} = \frac{100}{20} = 5\text{ [}\Omega\text{]}$$並列部の合成抵抗$R\text{ [}\Omega\text{]}$とリアクタンス$X = 4\text{ }\Omega$の直列回路となるため、$R$は次のとおりです。
$$R = \sqrt{Z^2 - X^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{9} = 3\text{ [}\Omega\text{]}$$したがって、並列抵抗部分に加わる電圧$V_R\text{ [V]}$は次式で表されます。
$$V_R = I R = 20 \times 3 = 60\text{ [V]}$$一方、全電流$I = 20\text{ A}$は$I_1 : I_2 = 1 : 3$に分流します。よって、$R_1$の電流$I_1\text{ [A]}$と抵抗値$R_1\text{ [}\Omega\text{]}$は次のとおりです。
$$I_1 = 20 \times \frac{1}{1 + 3} = 5\text{ [A]}$$ $$R_1 = \frac{V_R}{I_1} = \frac{60}{5} = 12\text{ [}\Omega\text{]}$$よって、(5)が正解です。
【平成27年・問8】RL直列回路の有効電力計算（易）
$R = 10\text{ }\Omega$の抵抗と誘導性リアクタンス$X\text{ [}\Omega\text{]}$のコイルとを直列に接続し，$100\text{ V}$の交流電源に接続した交流回路がある。いま，回路に流れる電流の値は$I = 5\text{ A}$であった。このとき，回路の有効電力$P$の値$\text{ [W]}$として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) $250$
(2) $289$
(3) $425$
(4) $500$
(5) $577$
解説
正解は(1)です。
有効電力を消費するのは抵抗のみであり、$P = I^2 R$を用いればリアクタンス$X$の値を使わずに求められる点がポイントです。
$RL$直列回路において、抵抗$R = 10\text{ }\Omega$とコイルには共通の電流$I = 5\text{ A}$が流れます。コイルは有効電力を消費しないため、有効電力$P\text{ [W]}$は次式です。
$$P = I^2 R = 5^2 \times 10 = 25 \times 10 = 250\text{ [W]}$$なお、全体のインピーダンスは$Z = \dfrac{100}{5} = 20\text{ }\Omega$となります。よって、力率$\cos\theta = \dfrac{R}{Z} = 0.5$であり、$P = S\cos\theta = 250\text{ W}$です。
よって、(1)が正解です。
【平成26年・問10】交流回路の平均値・周期・共振・力率に関する正誤問題（易）
交流回路に関する記述として，誤っているものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
ただし，抵抗$R\text{ [}\Omega\text{]}$，インダクタンス$L\text{ [H]}$，静電容量$C\text{ [F]}$とする。
(1) 正弦波交流起電力の最大値を$E_m\text{ [V]}$，平均値を$E_a\text{ [V]}$とすると，平均値と最大値の関係は，理論的に次のように表される。
$E_a = \dfrac{2E_m}{\pi} \fallingdotseq 0.637E_m\text{ [V]}$
(2) ある交流起電力の時刻$t\text{ [s]}$における瞬時値が，$e = 100\sin 100\pi t\text{ [V]}$であるとすると，この起電力の周期は$20\text{ ms}$である。
(3) $RLC$直列回路に角周波数$\omega\text{ [rad/s]}$の交流電圧を加えたとき，$\omega L > \dfrac{1}{\omega C}$の場合，回路を流れる電流の位相は回路に加えた電圧より遅れ，$\omega L < \dfrac{1}{\omega C}$の場合，回路を流れる電流の位相は回路に加えた電圧より進む。
(4) $RLC$直列回路に角周波数$\omega\text{ [rad/s]}$の交流電圧を加えたとき，$\omega L = \dfrac{1}{\omega C}$の場合，回路のインピーダンス$Z\text{ [}\Omega\text{]}$は，$Z = R\text{ [}\Omega\text{]}$となり，回路に加えた電圧と電流は同相になる。この状態を回路が共振状態であるという。
(5) $RLC$直列回路のインピーダンス$Z\text{ [}\Omega\text{]}$，電力$P\text{ [W]}$及び皮相電力$S\text{ [V}\cdot\text{A]}$を使って回路の力率$\cos\theta$を表すと，$\cos\theta = \dfrac{R}{Z}$，$\cos\theta = \dfrac{S}{P}$の関係がある。
解説
正解は(5)です。
各選択肢について交流回路の基本定理を確認します。
選択肢(1)について、正弦波の半周期の平均値は$E_a = \dfrac{2E_m}{\pi} \fallingdotseq 0.637E_m\text{ [V]}$で表されるため、正しい記述です。
選択肢(2)について、角周波数$\omega = 100\pi\text{ rad/s}$より、周期$T\text{ [s]}$は次式で求まります。
$$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{100\pi} = 0.02\text{ [s]} = 20\text{ [ms]}$$したがって、選択肢(2)も正しい記述です。
選択肢(3)について、$\omega L > \dfrac{1}{\omega C}$では誘導性となり電流は遅れます。一方、$\omega L < \dfrac{1}{\omega C}$では容量性となり電流が進みます。
選択肢(4)について、$\omega L = \dfrac{1}{\omega C}$では直列共振状態となり$Z = R$で電圧と電流が同相です。よって(3)と(4)は正しい記述と判定できます。
選択肢(5)について、力率$\cos\theta$は有効電力$P$と皮相電力$S$の比$\cos\theta = \dfrac{P}{S}$で定義されます。問題文の$\cos\theta = \dfrac{S}{P}$は分母と分子が逆であるため誤りです。
よって、(5)が正解です。
【平成26年・問15】RL並列回路の無効電力と誘導性リアクタンス（やや易）
図のように，正弦波交流電圧$E\text{ [V]}$の電源が誘導性リアクタンス$X\text{ [}\Omega\text{]}$のコイルと抵抗$R\text{ [}\Omega\text{]}$との並列回路に電力を供給している。この回路において，電流計の指示値は$12.5\text{ A}$，電圧計の指示値は$300\text{ V}$，電力計の指示値は$2\,250\text{ W}$であった。
ただし，電圧計，電流計及び電力計の損失はいずれも無視できるものとする。次の(a)及び(b)の問に答えよ。
(a) この回路における無効電力$Q\text{ [var]}$として，最も近い$Q$の値を次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) $1\,800$
(2) $2\,250$
(3) $2\,750$
(4) $3\,000$
(5) $3\,750$
(b) 誘導性リアクタンス$X\text{ [}\Omega\text{]}$として，最も近い$X$の値を次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) $16$
(2) $24$
(3) $30$
(4) $40$
(5) $48$
解説
正解は(a)が(4)、(b)が(3)です。
皮相電力・有効電力・無効電力の関係と、並列回路では各素子に電源電圧がそのまま加わる点がポイントです。
小問(a)では、電圧計と電流計の指示値から皮相電力$S\text{ [V}\cdot\text{A]}$を求めます。
$$S = V I = 300 \times 12.5 = 3\,750\text{ [V}\cdot\text{A]}$$電力計の指示値は有効電力$P = 2\,250\text{ W}$を表すため、無効電力$Q\text{ [var]}$は次式で求められます。
$$Q = \sqrt{S^2 - P^2} = \sqrt{3\,750^2 - 2\,250^2} = 750 \sqrt{5^2 - 3^2} = 750 \times 4 = 3\,000\text{ [var]}$$よって、小問(a)は(4)が正解です。
小問(b)では、並列回路のコイルに電源電圧$V = 300\text{ V}$が直接印加されることに注目します。誘導性リアクタンス$X\text{ [}\Omega\text{]}$の消費する無効電力は$Q = \dfrac{V^2}{X}$であるため、$X$は次式で算出できます。
$$X = \frac{V^2}{Q} = \frac{300^2}{3\,000} = \frac{90\,000}{3\,000} = 30\text{ [}\Omega\text{]}$$よって、小問(b)は(3)が正解です。
【平成25年・問7】周波数変更に伴うRC直列回路の電流計算（普通）
$4\text{ [}\Omega\text{]}$の抵抗と静電容量が$C\text{ [F]}$のコンデンサを直列に接続した$RC$回路がある。この$RC$回路に，周波数$50\text{ [Hz]}$の交流電圧$100\text{ [V]}$の電源を接続したところ，$20\text{ [A]}$の電流が流れた。では，この$RC$回路に，周波数$60\text{ [Hz]}$の交流電圧$100\text{ [V]}$の電源を接続したとき，$RC$回路に流れる電流$\text{ [A]}$の値として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) $16.7$
(2) $18.6$
(3) $21.2$
(4) $24.0$
(5) $25.6$
解説
正解は(3)です。
$50\text{ Hz}$時のインピーダンスからリアクタンスを逆算し、$60\text{ Hz}$時の値を周波数比で補正することがポイントです。
$f = 50\text{ Hz}$のとき、電圧$100\text{ V}$、電流$20\text{ A}$より、合成インピーダンス$Z_{50}\text{ [}\Omega\text{]}$が求まります。
$$Z_{50} = \frac{100}{20} = 5\text{ [}\Omega\text{]}$$抵抗は$R = 4\text{ }\Omega$であるため、$50\text{ Hz}$での容量性リアクタンス$X_{C50}\text{ [}\Omega\text{]}$は次式です。
$$X_{C50} = \sqrt{Z_{50}^2 - R^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3\text{ [}\Omega\text{]}$$$X_C = \dfrac{1}{2\pi f C}$は周波数$f$に反比例します。したがって、$f = 60\text{ Hz}$のときのリアクタンス$X_{C60}\text{ [}\Omega\text{]}$は次のとおりです。
$$X_{C60} = 3 \times \frac{50}{60} = 2.5\text{ [}\Omega\text{]}$$このときの回路インピーダンス$Z_{60}\text{ [}\Omega\text{]}$および回路電流$I_{60}\text{ [A]}$を計算します。
$$Z_{60} = \sqrt{4^2 + 2.5^2} = \sqrt{22.25} \fallingdotseq 4.717\text{ [}\Omega\text{]}$$ $$I_{60} = \frac{100}{\sqrt{22.25}} \fallingdotseq 21.20\text{ [A]}$$よって、(3)が正解です。
【平成24年・問8】RL直列回路の無効電力からの抵抗値算出（やや易）
図のように，正弦波交流電圧$E = 200\text{ [V]}$の電源がインダクタンス$L\text{ [H]}$のコイルと$R\text{ [}\Omega\text{]}$の抵抗との直列回路に電力を供給している。回路を流れる電流が$I = 10\text{ [A]}$，回路の無効電力が$Q = 1\,200\text{ [var]}$のとき，抵抗$R\text{ [}\Omega\text{]}$の値として，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) $4$
(2) $8$
(3) $12$
(4) $16$
(5) $20$
解説
正解は(4)です。
皮相電力と無効電力から有効電力を求め、抵抗の消費電力公式$P = I^2 R$へ代入することがポイントです。
電源電圧$E = 200\text{ V}$と電流$I = 10\text{ A}$の積から、皮相電力$S\text{ [V}\cdot\text{A]}$を算出します。
$$S = E I = 200 \times 10 = 2\,000\text{ [V}\cdot\text{A]}$$無効電力は$Q = 1\,200\text{ var}$であるため、有効電力$P\text{ [W]}$は次式です。
$$P = \sqrt{S^2 - Q^2} = \sqrt{2\,000^2 - 1\,200^2} = 400 \sqrt{5^2 - 3^2} = 1\,600\text{ [W]}$$有効電力$P$はすべて抵抗$R\text{ [}\Omega\text{]}$で消費されるため、$P = I^2 R$より抵抗値$R$を計算できます。
$$R = \frac{P}{I^2} = \frac{1\,600}{10^2} = 16\text{ [}\Omega\text{]}$$なお、$Z = \dfrac{200}{10} = 20\text{ }\Omega$、$X_L = \dfrac{Q}{I^2} = 12\text{ }\Omega$と求める別解もあります。この場合も$R = \sqrt{20^2 - 12^2} = 16\text{ }\Omega$という同一の結果です。
よって、(4)が正解です。
【平成24年・問10】RLC直並列回路における周波数変化時の電流比（やや難）
図のように，$R_1 = 20\text{ [}\Omega\text{]}$と$R_2 = 30\text{ [}\Omega\text{]}$の抵抗，静電容量$C = \dfrac{1}{100\pi}\text{ [F]}$のコンデンサ，インダクタンス$L = \dfrac{1}{4\pi}\text{ [H]}$のコイルからなる回路に周波数$f\text{ [Hz]}$で実効値$V\text{ [V]}$が一定の交流電圧を加えた。$f = 10\text{ [Hz]}$のときに$R_1$を流れる電流の大きさを$I_{10\text{Hz}}\text{ [A]}$，$f = 10\text{ [MHz]}$のときに$R_1$を流れる電流の大きさを$I_{10\text{MHz}}\text{ [A]}$とする。このとき，電流比$\dfrac{I_{10\text{Hz}}}{I_{10\text{MHz}}}$の値として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) $0.4$
(2) $0.6$
(3) $1.0$
(4) $1.7$
(5) $2.5$
解説
正解は(1)です。
$f = 10\text{ Hz}$における並列共振と、$f = 10\text{ MHz}$におけるコンデンサの短絡状態を見抜くことがポイントです。
はじめに、$f = 10\text{ Hz}$のときのリアクタンス$X_L\text{ [}\Omega\text{]}$と$X_C\text{ [}\Omega\text{]}$を計算します。
$$X_L = 2\pi \times 10 \times \frac{1}{4\pi} = 5\text{ [}\Omega\text{]}$$ $$X_C = \frac{1}{2\pi \times 10 \times \frac{1}{100\pi}} = 5\text{ [}\Omega\text{]}$$$X_L = X_C$となり並列$LC$部が共振するため、$LC$部分の合成インピーダンスは無限大（開放）です。したがって、電源電流は$R_1$と$R_2$の直列回路のみを流れます。
$$I_{10\text{Hz}} = \frac{V}{R_1 + R_2} = \frac{V}{20 + 30} = \frac{V}{50}\text{ [A]}$$次に、$f = 10\text{ MHz} = 10^7\text{ Hz}$のときのコンデンサのリアクタンス$X_C'\text{ [}\Omega\text{]}$を調べます。
$$X_C' = \frac{1}{2\pi \times 10^7 \times \frac{1}{100\pi}} = 5 \times 10^{-6}\text{ [}\Omega\text{]}$$$X_C'$はきわめて小さく、右側の並列部分は実質的に短絡状態です。そのため、電圧$V$はほぼすべて$R_1$に加わり、電流$I_{10\text{MHz}}\text{ [A]}$は次式に近似できます。
$$I_{10\text{MHz}} \fallingdotseq \frac{V}{R_1} = \frac{V}{20}\text{ [A]}$$以上より、電流比は次式となります。
$$\frac{I_{10\text{Hz}}}{I_{10\text{MHz}}} \fallingdotseq \frac{\dfrac{V}{50}}{\dfrac{V}{20}} = \frac{20}{50} = 0.4$$よって、(1)が正解です。
【平成23年・問8】誘導性負荷と並列抵抗の組合せ回路の抵抗値（普通）
図の交流回路において，電源電圧を$\dot{E} = 140\angle 0^\circ\text{ [V]}$とする。いま，この電源に力率$0.6$の誘導性負荷を接続したところ，電源から流れ出る電流の大きさは$37.5\text{ [A]}$であった。次に，スイッチ$\text{S}$を閉じ，この誘導性負荷と並列に抵抗$R\text{ [}\Omega\text{]}$を接続したところ，電源から流れ出る電流の大きさが$50\text{ [A]}$となった。このとき，抵抗$R\text{ [}\Omega\text{]}$の大きさとして，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) $3.9$
(2) $5.6$
(3) $8.0$
(4) $9.6$
(5) $11.2$
解説
正解は(3)です。
誘導性負荷の電流を有効分と無効分に分け、並列接続した抵抗の電流を有効分に加算することがポイントです。
力率$\cos\theta = 0.6$のとき、無効率$\sin\theta$は次式となります。
$$\sin\theta = \sqrt{1 - 0.6^2} = 0.8$$負荷電流の大きさは$37.5\text{ A}$であり、有効分$I_p\text{ [A]}$と無効分$I_q\text{ [A]}$は次のとおりです。
$$I_p = 37.5 \times 0.6 = 22.5\text{ [A]}$$ $$I_q = 37.5 \times 0.8 = 30\text{ [A]}$$スイッチ$\text{S}$を閉じて抵抗$R\text{ [}\Omega\text{]}$を並列接続すると、電圧と同相の電流$I_R\text{ [A]}$が加わります。全電流の大きさは$50\text{ A}$であり、三平方の定理より次式が成立します。
$$(22.5 + I_R)^2 + 30^2 = 50^2$$ $$(22.5 + I_R)^2 = 2\,500 - 900 = 1\,600$$両辺の正の平方根をとった結果は次のとおりです。
$$22.5 + I_R = 40 \implies I_R = 17.5\text{ [A]}$$抵抗$R$には電源電圧$E = 140\text{ V}$が加わるため、$R$の値は次式で求まります。
$$R = \frac{140}{17.5} = 8.0\text{ [}\Omega\text{]}$$よって、(3)が正解です。
【平成23年・問9】位相差条件からのRC直列回路の静電容量計算（普通）
図のように，$1\,000\text{ [}\Omega\text{]}$の抵抗と静電容量$C\text{ [}\mu\text{F]}$のコンデンサを直列に接続した交流回路がある。いま，電源の周波数が$1\,000\text{ [Hz]}$のとき，電源電圧$\dot{E}\text{ [V]}$と電流$\dot{I}\text{ [A]}$の位相差は$\dfrac{\pi}{3}\text{ [rad]}$であった。このとき，コンデンサの静電容量$C\text{ [}\mu\text{F]}$の値として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) $0.053$
(2) $0.092$
(3) $0.107$
(4) $0.159$
(5) $0.258$
解説
正解は(2)です。
$RC$直列回路における位相差$\theta$と$\tan\theta = \dfrac{X_C}{R}$の関係式がポイントです。
電源電圧$\dot{E}$と電流$\dot{I}$の位相差は$\theta = \dfrac{\pi}{3}\text{ rad}$（$60^\circ$）となります。抵抗値$R = 1\,000\text{ }\Omega$と容量性リアクタンス$X_C\text{ [}\Omega\text{]}$の関係は次のとおりです。
$$\tan\frac{\pi}{3} = \frac{X_C}{R} = \sqrt{3}$$したがって、容量性リアクタンス$X_C\text{ [}\Omega\text{]}$は次式で求められます。
$$X_C = \sqrt{3}R = 1\,000\sqrt{3}\text{ [}\Omega\text{]}$$さらに、$f = 1\,000\text{ Hz}$および$X_C = \dfrac{1}{2\pi f C}$から$C$を逆算します。
$$C = \frac{1}{2\pi f X_C} = \frac{1}{2\pi \times 1\,000 \times 1\,000\sqrt{3}}\text{ [F]}$$分母の数値を代入した$\mu\text{F}$単位の値は次のとおりです。
$$C \fallingdotseq \frac{10^6}{2 \times 3.14 \times 10^6 \times 1.732} = \frac{1}{10.88} \fallingdotseq 0.0919\text{ [}\mu\text{F]}$$最も近い値は$0.092$であり、(2)が正解です。
【平成22年・問8】RLC直列回路の力率改善に伴う容量性リアクタンスの導出（やや難）
抵抗$R\text{ [}\Omega\text{]}$と誘導性リアクタンス$X_\text{L}\text{ [}\Omega\text{]}$を直列に接続した回路の力率（$\cos\phi$）は，$\dfrac{1}{2}$であった。いま，この回路に容量性リアクタンス$X_\text{C}\text{ [}\Omega\text{]}$を直列に接続したところ，$R\text{ [}\Omega\text{]}$，$X_\text{L}\text{ [}\Omega\text{]}$，$X_\text{C}\text{ [}\Omega\text{]}$直列回路の力率は，$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$（遅れ）になった。容量性リアクタンス$X_\text{C}\text{ [}\Omega\text{]}$の値を表す式として，正しいのは次のうちどれか。
(1) $\dfrac{R}{\sqrt{3}}$
(2) $\dfrac{2R}{3}$
(3) $\dfrac{\sqrt{3}R}{2}$
(4) $\dfrac{2R}{\sqrt{3}}$
(5) $\sqrt{3}R$
解説
正解は(4)です。
接続後の力率が「遅れ」であることから、回路全体の正味のリアクタンス$X_\text{L} - X_\text{C}$が正の値となる点を見落とさないことがポイントです。
はじめの$RL$直列回路において、力率が$\cos\phi_1 = \dfrac{1}{2}$であるため、$\phi_1 = 60^\circ$となります。よって、$X_\text{L}$と$R$の関係は次のとおりです。
$$\frac{X_\text{L}}{R} = \tan 60^\circ = \sqrt{3} \implies X_\text{L} = \sqrt{3}R$$次に、容量性リアクタンス$X_\text{C}$を直列接続したあとの力率は$\cos\phi_2 = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$（遅れ）であり、$\phi_2 = 30^\circ$です。遅れ力率のため$X_\text{L} - X_\text{C} > 0$であり、次式が成り立ちます。
$$\frac{X_\text{L} - X_\text{C}}{R} = \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies X_\text{L} - X_\text{C} = \frac{R}{\sqrt{3}}$$ここで$X_\text{L} = \sqrt{3}R$を代入して$X_\text{C}$について解きます。
$$X_\text{C} = \sqrt{3}R - \frac{R}{\sqrt{3}} = \frac{3R - R}{\sqrt{3}} = \frac{2R}{\sqrt{3}}$$よって、(4)が正解です。
【平成21年・問8】スイッチ開閉時のコイル電流比と位相差の変化（普通）
図のように，$R = \sqrt{3}\omega L\text{ [}\Omega\text{]}$の抵抗，インダクタンス$L\text{ [H]}$のコイル，スイッチ$\text{S}$が角周波数$\omega\text{ [rad/s]}$の交流電圧$\dot{E}\text{ [V]}$の電源に接続されている。スイッチ$\text{S}$を開いているとき，コイルを流れる電流の大きさを$I_1\text{ [A]}$，電源電圧に対する電流の位相差を$\theta_1\text{ [}^\circ\text{]}$とする。また，スイッチ$\text{S}$を閉じているとき，コイルを流れる電流の大きさを$I_2\text{ [A]}$，電源電圧に対する電流の位相差を$\theta_2\text{ [}^\circ\text{]}$とする。このとき，$\dfrac{I_1}{I_2}$及び$|\theta_1 - \theta_2|\text{ [}^\circ\text{]}$の値として，正しいものを組み合わせたのは次のうちどれか。
| $\dfrac{I_1}{I_2}$ | $|\theta_1 - \theta_2|$ | |
|---|---|---|
| (1) | $\dfrac{1}{2}$ | $30$ |
| (2) | $\dfrac{1}{2}$ | $60$ |
| (3) | $2$ | $30$ |
| (4) | $2$ | $60$ |
| (5) | $2$ | $90$ |
解説
正解は(2)です。
スイッチ$\text{S}$の開閉によって回路が$RL$直列回路と$L$のみの回路に切り替わる点に着目します。
まず、スイッチ$\text{S}$を開いているときは、抵抗$R = \sqrt{3}\omega L$と$\omega L$の直列回路です。インピーダンスの大きさ$Z_1\text{ [}\Omega\text{]}$と電流の大きさ$I_1\text{ [A]}$は次式で表されます。
$$Z_1 = \sqrt{R^2 + (\omega L)^2} = \sqrt{3(\omega L)^2 + (\omega L)^2} = 2\omega L\text{ [}\Omega\text{]}$$ $$I_1 = \frac{E}{2\omega L}\text{ [A]}$$このとき、電源電圧に対する電流の遅れ角は次式から$30^\circ$です。
$$\tan|\theta_1| = \frac{\omega L}{R} = \frac{\omega L}{\sqrt{3}\omega L} = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies |\theta_1| = 30^\circ$$次に、スイッチ$\text{S}$を閉じると抵抗$R$が短絡され、電源にはコイル$L$のみが接続されます。したがって、電流の大きさ$I_2\text{ [A]}$と電流の遅れ角はそれぞれ次式となります。
$$I_2 = \frac{E}{\omega L}\text{ [A]}$$ $$|\theta_2| = 90^\circ$$以上より、求める電流比と位相差の変化量は次のとおりです。
$$\frac{I_1}{I_2} = \frac{\dfrac{E}{2\omega L}}{\dfrac{E}{\omega L}} = \frac{1}{2}$$ $$|\theta_1 - \theta_2| = |30^\circ - 90^\circ| = 60^\circ$$よって、(2)が正解です。
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