電験3種（理論分野）で出題される電子運動の試験対策と過去問題を解説します。
【令和7年度上期・問12】電界中の電子の運動エネルギー
真空中において、図のように電極板の間隔が $6\text{mm}$、電極板の面積が十分広い平行平板電極があり、電極K、P間には $2000\text{V}$ の直流電圧が加えられている。このとき電極K、P間の電界の強さは約 (ア) $\text{V/m}$ である。電極Kをヒータで加熱すると表面から (イ) が放出される。ある1個の電子に着目してその初速度を零とすれば、電子が電極Pに達したときの運動エネルギー $W$ は (ウ) $\text{J}$ となる。
ただし、電極K、P間の電界は一様とし、電気素量 $e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ [C]}$ とする。
上記の記述中の空白箇所(ア)～(ウ)に当てはまる語句又は数値の組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
| – | (ア) | (イ) | (ウ) |
|---|---|---|---|
| (1) | $3.3 \times 10^2$ | 光電子 | $1.6 \times 10^{-16}$ |
| (2) | $3.3 \times 10^5$ | 熱電子 | $1.6 \times 10^{-16}$ |
| (3) | $3.3 \times 10^2$ | 光電子 | $3.2 \times 10^{-16}$ |
| (4) | $3.3 \times 10^2$ | 熱電子 | $1.6 \times 10^{-16}$ |
| (5) | $3.3 \times 10^5$ | 熱電子 | $3.2 \times 10^{-16}$ |
解説
正解は(5)です。
(ア) 電界の強さ $E$ は、電圧 $V$ と間隔 $d$ を用いて求めます。
$$E = \frac{V}{d} = \frac{2000}{6 \times 10^{-3}} \approx 3.33 \times 10^5 \text{ [V/m]}$$
(イ) ヒータによる加熱によって放出される電子は「熱電子」です。
(ウ) 運動エネルギー $W$ は、電子が電位差 $V$ を移動する際に得るエネルギーに等しいです。
$$W = eV = 1.6 \times 10^{-19} \times 2000 = 3.2 \times 10^{-16} \text{ [J]}$$
【令和6年度下期・問12】マグネトロン内の電子の軌跡
次の文章は,電子レンジに内蔵されてマイクロ波を発生する,マグネトロン内の電子の軌跡を簡略化して説明した記述である。
図に示すように,真空中の平行平板電極間に直流電圧を加えて平等電界 $E \text{ [V/m]}$ を作り,平等電界と直交する方向に磁束密度 $B \text{ [T]}$ の平等磁界を加えた。
図中の◯ は z 軸の正の向きで,紙面に垂直かつ手前の向きを表す。
陰極上の点 P に初速零で電荷 $e \text{ [C]}$ の電子を置いて静かに離すと, y 軸の(ア)の向きの電界により電子は陽極に向かって動き始める。同時に電子は磁束密度に(イ)した大きさの(ウ)力を受ける。磁界は z 軸の(エ)の向きのため,電子は電界と磁界の作用で x 軸の正の向きに移動する。このとき磁束密度が一定値以上では電子は陽極に到達せずに,図のように(オ)といわれる軌跡を描く。ただし,電子は紙面と平行な平面上を移動し,重力の影響は無視できるものとする。
| – | (ア) | (イ) | (ウ) | (エ) | (オ) |
|---|---|---|---|---|---|
| (1) | 正 | 比例 | ローレンツ | 正 | サイクロイド |
| (2) | 正 | 反比例 | アンペール | 正 | ヒステリシス |
| (3) | 負 | 比例 | アンペール | 負 | リサジュー |
| (4) | 負 | 比例 | ローレンツ | 負 | サイクロイド |
| (5) | 負 | 反比例 | ローレンツ | 負 | リサジュー |
解説
正解は(4)です。
各空白箇所に当てはまる内容は以下の通りです。
(ア)
電子は負の電荷を持つため、電界と逆向きに静電力を受けて移動します。問題において、電子は陰極から陽極（y軸の正の向き）へ向かって動き始めるため、電界の向きはその逆のy軸の負の向きとなります。
(イ)、(ウ)
磁界中を運動する電子が磁界から受ける力をローレンツ力といいます。ローレンツ力の大きさ $F \text{ [N]}$ は、電子の電荷の大きさを $e \text{ [C]}$、速度を $v \text{ [m/s]}$、磁束密度を $B \text{ [T]}$ とすると、
$$F = evB$$
と表され、磁束密度に比例します。
(エ)
フレミングの左手の法則を用いて磁界の向きを求めます。電子がy軸の正の向きに移動し始めたとき、電流の向きは逆のy軸の負の向きとなります。電子がx軸の正の向きへ移動（曲げられる）するため、力の向きはx軸の正の向きです。左手の中指を電流の向き（-y方向）、親指を力の向き（+x方向）に合わせると、人差し指（磁界の向き）は紙面の奥向き、すなわちz軸の負の向きを指します。
(オ)
直交する電界と磁界の中を初速零で放出された電子は、電界によって加速されながら、磁界によるローレンツ力で軌道を曲げられます。このとき、磁束密度が一定値以上であると、電子は陽極に到達することなく陰極へ戻り、再び加速される運動を繰り返します。この電子が描く軌跡をサイクロイドと呼びます。
したがって、すべての組み合わせが正しい(4)が正解となります。
【令和6年度上期・問12】真空中に置かれた平行電極板間における電子の運動
真空中に置かれた平行電極板間に，直流電圧 $V \text{ [V]}$ を加えて平等電界 $E \text{ [V/m]}$ を作り，この陰極板に電子を置いた場合，初速零で出発した電子が陽極板に到達したときの速さは， $v \text{ [m/s]}$ となった。このときの電子の運動エネルギーは，電子が陽極板に到達するまでに得るエネルギーに等しいと考えられ，次の式が成立する。
$\frac{1}{2}mv^2 =$ (ア)
ただし，電子の電気素量を $e \text{ [C]}$，電子の質量を $m \text{ [kg]}$ とする。
したがって，この式から電子の速さ $v \text{ [m/s]}$ は， (イ) で表される。
上記の記述中の空白箇所(ア)及び(イ)に当てはまる組合せとして，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
| – | (ア) | (イ) |
|---|---|---|
| (1) | $eV$ | $\sqrt{\frac{4eV}{m}}$ |
| (2) | $eV$ | $\sqrt{\frac{2eV}{m}}$ |
| (3) | $2eV$ | $\sqrt{\frac{4eV}{m}}$ |
| (4) | $eE$ | $\sqrt{\frac{2eE}{m}}$ |
| (5) | $eE$ | $\sqrt{\frac{4eE}{m}}$ |
解説
正解は(2)です。
電荷 $-e \text{ [C]}$ の電子を電位差 $V \text{ [V]}$ の電界で移動させたとき、電界が電子に与えるエネルギーは $eV \text{ [J]}$ となります。このエネルギーがすべて電子の運動エネルギーに変換されるため、以下の式が成り立ちます。
$\frac{1}{2}mv^2 = eV$
したがって、(ア)には $eV$ が当てはまります。この式を電子の速さ $v$ について解くと、次のようになります。
$v = \sqrt{\frac{2eV}{m}}$
したがって、(イ)には $\sqrt{\frac{2eV}{m}}$ が当てはまります。
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