電験3種（理論分野）で出題される「Δ-Y変換・Y-Δ変換」の計算式や使い方、過去問題を詳しく解説します。
「Δ-Y変換」と「Y-Δ変換」とは？
Δ-Y変換は、Δ結線（デルタ結線）された電源もしくはインピーダンスをY結線（スター結線）に変換します。逆に、Y-Δ変換は、Y結線（スター結線）された電源もしくはインピーダンスをΔ結線（デルタ結線）に変換します。三相交流回路において、電源がΔ結線で負荷がY結線である場合などに、どちらか一方の形式に統一することで、単相分の等価回路として計算を簡略化することができます。
Δ-Y変換の計算式
Δ-Y変換は、Δ結線（デルタ結線）された電源もしくはインピーダンスをY結線（スター結線）に変換します。
インピーダンスの場合
Δ結線のインピーダンスからY結線の各インピーダンスを求める計算式は以下のとおりです。
$$Z_a = \frac{Z_{ab} Z_{ca}}{Z_{ab} + Z_{bc} + Z_{ca}}$$
$$Z_b = \frac{Z_{ab} Z_{bc}}{Z_{ab} + Z_{bc} + Z_{ca}}$$
$$Z_c = \frac{Z_{bc} Z_{ca}}{Z_{ab} + Z_{bc} + Z_{ca}}$$
計算式の分母はΔ結線の3つのインピーダンスの和となり、分子は求めたい端子に隣接する2つのインピーダンスの積となります。以下のように計算式を覚えると、試験時に素早く解けるのでおすすめです。
② $\dot{Z}_b$ を求める時は、分子に $\dot{Z}_b$ の両側 $\dot{Z}_{ab} \times \dot{Z}_{bc}$ をかけ、分母に $\dot{Z}_{ab} + \dot{Z}_{bc} + \dot{Z}_{ca}$ を入れる
③ $\dot{Z}_c$ を求める時は、分子に $\dot{Z}_c$ の両側 $\dot{Z}_{bc} \times \dot{Z}_{ca}$ をかけ、分母に $\dot{Z}_{ab} + \dot{Z}_{bc} + \dot{Z}_{ca}$ を入れる
電源の場合
Δ結線の電源（相電圧＝線間電圧）をY結線の電源（相電圧）に変換する場合、外部から見た線間電圧の特性を維持するように変換します。平衡三相電源において、Δ結線の各相の起電力を $\dot{E_{ab}}, \dot{E_{bc}}, \dot{E_{ca}}$、変換後のY結線の各相の起電力を $\dot{E_a}, \dot{E_b}, \dot{E_c}$ とすると、以下の関係になります。
$$\dot{E_a} = \frac{\dot{E_{ab}}}{\sqrt{3}} \angle -30^\circ$$
$$\dot{E_b} = \frac{\dot{E_{bc}}}{\sqrt{3}} \angle -30^\circ$$
$$\dot{E_c} = \frac{\dot{E_{ca}}}{\sqrt{3}} \angle -30^\circ$$
実効値の大きさは $1/\sqrt{3}$ 倍になり、位相は元の線間電圧よりも $30^\circ$ 遅れます。
Y-Δ変換の計算式
インピーダンスの場合
Y結線のインピーダンスからΔ結線の各インピーダンスを求める計算式は以下のとおりです。
$$Z_{ab} = \frac{Z_a Z_b + Z_b Z_c + Z_c Z_a}{Z_c}$$
$$Z_{bc} = \frac{Z_a Z_b + Z_b Z_c + Z_c Z_a}{Z_a}$$
$$Z_{ca} = \frac{Z_a Z_b + Z_b Z_c + Z_c Z_a}{Z_b}$$
分子はY線のインピーダンスを2つずつ掛け合わせて足した総和となり、分母は求めたい辺の向かい側（対面）にある端子のインピーダンスとなります。以下のように計算式を覚えると、試験時に素早く解けるのでおすすめです。
② $\dot{Z}_{bc}$ を求める時は、分子に $\dot{Z}_a\dot{Z}_b + \dot{Z}_b\dot{Z}_c + \dot{Z}_c\dot{Z}_a$、分母に $\dot{Z}_a$
③ $\dot{Z}_{ca}$ を求める時は、分子に $\dot{Z}_a\dot{Z}_b + \dot{Z}_b\dot{Z}_c + \dot{Z}_c\dot{Z}_a$、分母に $\dot{Z}_b$
電源の場合
Y結線の電源（相電圧）をΔ結線の電源（相電圧＝線間電圧）に変換する場合、以下の関係になります。
$$\dot{E_{ab}} = \sqrt{3} \dot{E_a} \angle 30^\circ$$
$$\dot{E_{bc}} = \sqrt{3} \dot{E_b} \angle 30^\circ$$
$$\dot{E_{ca}} = \sqrt{3} \dot{E_c} \angle 30^\circ$$
平衡負荷のΔ-Y変換、Y-Δ変換
平衡負荷（3つのインピーダンスがすべて同じ値）の場合、 「Y結線の1相のインピーダンス$\dot{Z_Y}$は、Δ結線の1相のインピーダンス（$\dot{Z_{\Delta}}$）の3分の1」になります。よって、以下の計算式で簡単に求まります。
$$\dot{Z_Y} = \frac{1}{3}\dot{Z_{\Delta}} $$
$$\dot{Z_{\Delta}} = 3\dot{Z_Y} $$
【令和7年度上期・問15】平衡三相負荷の電流計算
図のように、相電圧 $200\text{V}$ の対称三相交流電源に、複素インピーダンス $\dot{Z} = 5\sqrt{3} + j5 \text{ [}\Omega\text{ ]}$ の負荷が Y 結線された平衡三相負荷を接続した回路がある。次の(a)及び(b)の問に答えよ。
(a) 電流 $\dot{I}_1$ の値 $\text{[A]}$ として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) $20.00 \angle -\frac{\pi}{3}$
(2) $11.55 \angle -\frac{\pi}{3}$
(3) $16.51 \angle -\frac{\pi}{6}$
(4) $20.00 \angle -\frac{\pi}{6}$
(5) $11.55 \angle -\frac{\pi}{6}$
(b) 電流 $\dot{I}_{ab}$ の値 $\text{[A]}$ として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) $20.00 \angle -\frac{\pi}{6}$
(2) $6.67 \angle -\frac{\pi}{6}$
(3) $11.55 \angle -\frac{\pi}{6}$
(4) $6.67 \angle -\frac{\pi}{3}$
(5) $11.55 \angle -\frac{\pi}{3}$
解説
正解は (a)が(2)、(b)が(2)です。
(a) 線電流 $\dot{I}_1$ の計算を行います。負荷のインピーダンスを $\dot{Z} = R + jX \text{ [}\Omega\text{ ]}$ とすると、その絶対値 $|\dot{Z}|$ と位相角 $\theta$ は以下の公式で求められます。
$$|\dot{Z}| = \sqrt{R^2 + X^2}$$
$$\theta = \tan^{-1} \frac{X}{R}$$
数値を代入します。
$$|\dot{Z}| = \sqrt{(5\sqrt{3})^2 + 5^2} = \sqrt{75 + 25} = 10 \text{ [}\Omega\text{ ]}$$
$$\theta = \tan^{-1} \frac{5}{5\sqrt{3}} = \tan^{-1} \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6} \text{ [rad]}$$
$$\dot{Z} = 10 \angle \frac{\pi}{6} \text{ [}\Omega\text{ ]}$$
線間電圧を $V_l$、相電圧を $E_a$ とすると、Y 結線における大きさの関係と、線間電圧 $\dot{V}_{ab}$ を基準とした場合の各インピーダンスに加わる相電圧 $\dot{E}_p$ は以下の通りです。
$$E_p = \frac{V_l}{\sqrt{3}}$$
$$\dot{E}_p = E_a \angle -\frac{\pi}{6}$$
$V_l = 200\text{V}$ の線間電圧が、Y 結線された負荷に加わります。Y 結線において、各インピーダンス $\dot{Z}$ に加わる電圧（相電圧 $\dot{E}_p$）は、線間電圧の $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 倍になります。数値を代入します。
$$E_p = \frac{200}{\sqrt{3}} \approx 115.5 \text{ [V]}$$
$$\dot{E}_p = 115.5 \angle -\frac{\pi}{6} \text{ [V]}$$
Y 結線では線電流 $\dot{I}_l$ と相電流 $\dot{I}_p$ は等しく、オームの法則より以下の公式で求められます。
$$\dot{I_1} = \frac{\dot{E}_p}{\dot{Z}}$$
数値を代入します。
$$\dot{I_1} = \frac{115.5 \angle -\frac{\pi}{6}}{10 \angle \frac{\pi}{6}} = 11.55 \angle \left( -\frac{\pi}{6} – \frac{\pi}{6} \right) = 11.55 \angle -\frac{\pi}{3} \text{ [A]}$$
したがって、(a)の正解は(2)です。
(b) 端子 a, b 間を流れる電流 $\dot{I_{ab}}$ は、負荷を $\Delta$ 結線に変換することで、線間電圧 $\dot{V_{ab}}$ を直接使って求めることができます。平衡負荷において、Y 結線のインピーダンス $\dot{Z_Y}$ を $\Delta$ 結線のインピーダンス $\dot{Z_\Delta}$ に変換します。
$$\dot{Z_\Delta} = 3 \dot{Z}_Y$$
$$\dot{Z_\Delta} = 3 \times 10 \angle \frac{\pi}{6} = 30 \angle \frac{\pi}{6} \text{ [}\Omega\text{ ]}$$
$\Delta$ 結線の相には線間電圧 $\dot{V}_{ab}$ が直接加わるため、以下のオームの法則で電流が求まります。
$$\dot{I_{ab}} = \frac{\dot{V_{ab}}}{\dot{Z_\Delta}}$$
線間電圧を基準（$\dot{V_{ab}} = 200 \angle 0$）とします。
$$\dot{I_{ab}} = \frac{200 \angle 0}{30 \angle \frac{\pi}{6}} = \frac{200}{30} \angle \left( 0 – \frac{\pi}{6} \right) \approx 6.67 \angle -\frac{\pi}{6} \text{ [A]}$$
したがって、(b)の正解は(2)となります。
関連コンテンツ
コメント