分流器や倍率器の原理について解説します。
分流器・倍率器とは
大きな電流/電圧を測るには、分流器/分圧器を用います。分流器とは、電流の測定範囲を広げるために電流計に並列接続する抵抗のことです。倍率器とは、電圧の測定範囲を広げるために電圧計に直列接続する抵抗のことです。
分流器の原理と計算式
分流器の倍率を$m$(電流計の測定範囲を$m$倍)、電流計の内部抵抗をrとするときの分流器の抵抗値$R$は以下の式で計算できます。
$$R=\frac{r}{m-1}$$
導出
電流計の測定範囲 $I_a $ [A]を $I_o$ [A]に拡大するには、上図のように分流器(抵抗)を電流計に対して並列接続します。このとき、電流計に流れる電流 $I_a $ は以下の式で計算できます。
$$I_a = I_o\times \frac{R}{R+r}$$
よって、抵抗値$R$は以下の式で計算できます。
$$R=\frac{r}{(I_o/I_a)-1}$$
ここで、 $I_o/I_a$ は分流器の倍率mのことなので、以下の式で表せます。
$$R=\frac{r}{m-1}$$
よって分流器の抵抗値$R$は倍率$m$と電流計の内部抵抗$r$から求まることがわかります。
倍率器の原理と計算式
倍率器の倍率を $m$ (電圧計の測定範囲を $m$倍)、電圧計の内部抵抗をrとするときの倍率器の抵抗値$R$は以下の式で計算できます。
$$R=(m-1)r$$
導出
電圧計の測定範囲 $V_v $ [A]を $V_o$ [A]に拡大するには、上図のように倍率器(抵抗)を電圧計に対して直列接続します。このとき、電圧計にかかる電圧 $V_v $ は以下の式で計算できます。
$$V_v = V_o\times \frac{r}{R+r}$$
よって、抵抗値 $R$ は以下の式で計算できます。
$$R=(V_o/V_v-1)r$$
ここで、 $\frac{V_o}{V_v}$ は倍率器の倍率$m$のことなので、抵抗値$R$は以下の式で表せます。
$$R=(m-1)r$$
よって倍率器の抵抗値$R$は倍率$m$と電圧計の内部抵抗$r$から求まることがわかります。
【例題1】電圧計・倍率器の抵抗値
最大目盛$1[V]$、内部抵抗$R_v=1000$[Ω]の電圧計がある。この電圧計の測定範囲を倍率器を用いて、最大目盛$15[V]$まで拡大したい。このとき、倍率器の抵抗rはいくらになるか。
解説
最大目盛$1[V]$を最大目$盛15[V]$まで拡大するので、倍率$m=15$となる。
よって、倍率器の抵抗$r$は計算式より$14k$Ωとわかる。
$$R_m=(m-1)R_v=14\cdot R_v= 14 \cdot 1000 = 14000 = 14k$$
【例題2】2台の電圧計と倍率器の抵抗値
直流電圧計$V_1$(最大目盛$150V$、内部抵抗$18k$Ω)と、直流電圧計$V_2$(最大目盛$300 V$、内部抵抗$30k$Ω)がある。
①この2つの直流電圧計$V_1$、$V_2$を直列に接続して使用したときに測定できる電圧の最大値[V]はいくらか。
②直流電圧$450V$を測定するために、2つの直流電圧計$V_1$、$V_2$の指示を最大目盛にして測定したい。そのためには，直流電圧計$V_1$に何Ωの抵抗を並列に接続し、これに直流電圧計$V_2$を直列に接続すれば良いか。
解説
① 2つの電圧計それぞれにかかる電圧$V_1、V_2$は以下のとおり。
$$V_1=\frac{R_1}{R_1+R_2}V=\frac{18k}{18k+30k}V=0.375V$$
$$V_2=\frac{R_2}{R_1+R_2}V=\frac{30k}{18k+30k}V=0.625V$$
仮に直流電圧計$V_1$に最大目盛り$V_1=150[V]$まで電圧が加わったとする。このとき、2台の電圧計に加わる電圧の合計値Vは、以下のとおり400Vと求まる。
このとき、直流電圧計$V_2$には$400-150=250[V]$の電圧が加わるが、最大目盛りの範囲内である。
$$V_1=150=0.375V $$
$$V=400[V]$$
次に直流電圧計$V_2$に最大目盛り$V_1=300[V]$まで電圧が加わったとする。このとき、2台の電圧計に加わる電圧の合計値Vは、以下のとおり$480V$と求まる。
このとき、直流電圧計$V_1$には$480-300=180[V]$の電圧が加わるが、最大目盛りの範囲外である(測定不可)。
$$V_2=300=0.625V $$
$$V=480[V]$$
よって、測定可能な電圧の最大値は$400V$となる。
【令和6年度上期・問16】直流電流の測定範囲の拡大
直流電流の測定範囲の拡大について、次の(a)及び(b)の問に答えよ。
(a) 直流電流計Iの最大目盛は $100 \text{ A}$、直流電流計IIの最大目盛は $50 \text{ A}$、直流電流計IIIの最大目盛は $50 \text{ A}$ である。この3台の直流電流計を並列に接続し、ある回路に接続したところ、直流電流計Iの指示値は $90 \text{ A}$、直流電流計IIの指示値は $40 \text{ A}$、直流電流計IIIの指示値は $35 \text{ A}$ であった。この接続において計測できる最大電流の値 $\text{[A]}$ として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
| – | (1) | (2) | (3) | (4) | (5) |
|---|---|---|---|---|---|
| 最大電流 $\text{[A]}$ | 100 | 144 | 165 | 183 | 200 |
(b) 次に、直流電流計I、直流電流計II、直流電流計IIIの3台を並列に接続した状態で、別の回路に接続した。この回路を流れる電流の値は $150 \text{ A}$ であった。このとき、各電流計が指示した値は、直流電流計I = (ア) A、直流電流計II = (イ) A、直流電流計III = (ウ) Aであった。
上記の記述中の空白箇所(ア)～(ウ)に当てはまる最も近い数値の組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
| – | (ア) | (イ) | (ウ) |
|---|---|---|---|
| (1) | 31.8 | 36.4 | 81.8 |
| (2) | 31.8 | 81.8 | 36.4 |
| (3) | 36.4 | 31.8 | 81.8 |
| (4) | 81.8 | 31.8 | 36.4 |
| (5) | 81.8 | 36.4 | 31.8 |
解説
(a) 正解は(4)です。
電流計は並列接続されているため、各計器にはそれぞれの内部抵抗に反比例して電流が流れます。流れる電流の比は、 $I_1 : I_2 : I_3 = 90 : 40 : 35 = 18 : 8 : 7$ となります。
各電流計が最大目盛に達したときの全電流を計算し、最も早く上限に達するものが計測できる最大電流となります。
電流計Iが $100 \text{ A}$ に達したとき、
$$I_{max} = 100 \times \frac{18 + 8 + 7}{18} = 100 \times \frac{33}{18} \approx 183.3 \text{ [A]}$$
電流計IIが $50 \text{ A}$ に達したときは約 $206.3 \text{ A}$、電流計IIIが $50 \text{ A}$ に達したときは約 $235.7 \text{ A}$ となるため、最小の $183.3 \text{ A}$ が計測の上限です。
(b) 正解は(5)です。
全電流が $150 \text{ A}$ のとき、各電流計の指示値は先ほどの電流比に比例して分配されます。
$$I_1 = 150 \times \frac{18}{33} = 150 \times \frac{6}{11} \approx 81.8 \text{ [A]}$$
$$I_2 = 150 \times \frac{8}{33} \approx 36.4 \text{ [A]}$$
$$I_3 = 150 \times \frac{7}{33} \approx 31.8 \text{ [A]}$$
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