電験3種（理論）の頻出問題である「直流回路（RL・RC・RLC回路）の過渡現象と時定数」について解説します。
- 「直流回路の過渡現象と時定数」の攻略ポイント
- 【令和8年上期・問10】RL直列回路における過渡電流・電圧と時定数（難易度：やや易）
- 【令和7年下期・問10、令和3年・問10】RL直列回路における抵抗値変更時の過渡電流波形（難易度：普通）
- 【令和7年上期・問10、令和6年上期・問10】RLC回路におけるスイッチ投入後の電流波形（難易度：難）
- 【令和6年下期・問10】コンデンサを含む直流回路の初期電流と定常電流の比（難易度：やや易）
- 【令和5年下期・問10】RC直列回路の放電過程と時定数（難易度：やや易）
- 【令和5年上期・問10】電流時間変化グラフから求めるコイルの最大端子電圧（難易度：やや難）
- 【令和4年下期・問10】RLC回路におけるスイッチ閉成後の定電流波形（難易度：やや難）
- 【令和2年・問10】テブナンの定理を用いたRC回路の時定数と最終値（難易度：普通）
- 【令和元年・問10】RC直列回路の時定数と抵抗消費エネルギーの計算（難易度：易）
- 【平成30年・問10】内部抵抗をもつ直流電源によるコンデンサ充電の時定数（難易度：易）
- 【平成29年・問10】RL並列部を含む直流回路の初期電流と定常電流（難易度：易）
- 【平成28年・問10】RC直列回路の放電過程と電圧極性（難易度：やや易）
- 【平成27年・問10】RL直列回路とRC直列回路の過渡波形比較（難易度：普通）
- 【平成26年・問11】逆極性電源への切り換えによるコンデンサ電圧波形（難易度：普通）
- 【平成25年・問12】スイッチの開閉に伴うコイル端子電圧の過渡波形（難易度：難）
- 【平成24年・問9】2段RL並列回路におけるスイッチ順次閉成後の電流波形（難易度：やや難）
- 【平成23年・問10】2電源切り換えに伴うRC回路の放電電流波形（難易度：普通）
- 【平成23年・問16】LC無損失回路の振動電流波形と最大値・周期（難易度：普通）
- 【平成22年・問10】コンデンサを含む直流回路の電流比条件からの抵抗値導出（難易度：やや難）
- 【平成21年・問10】RL直列回路に方形波電圧パルスを加えた際の出力波形（難易度：普通）
「直流回路の過渡現象と時定数」の攻略ポイント
電験3種の理論科目では、直流回路の過渡現象と時定数が毎年出題されます。出題形式は、$RL$回路や$RC$回路のスイッチ操作直後と定常状態における電流・電圧の算出が中心です。
さらに、時定数の定義や過渡波形の選択、テブナンの定理を組み合わせた複合回路の解析も頻出します。微分方程式を直接解かなくても、初期値・最終値・時定数の$3$要素を整理すれば正答を導けます。
基本公式とポイント
直流回路の過渡現象と時定数の計算で重要となる基本公式とポイントを以下の表に整理しました。
| 項目 | 基本公式 | ポイント |
|---|---|---|
| $RL$直列回路の過渡応答と時定数 | ・時定数：$\tau = \dfrac{L}{R}\text{ [s]}$ ・電流（充電）：$i(t) = \dfrac{E}{R}\left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\right)\text{ [A]}$ ・抵抗電圧：$v_R(t) = E\left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\right)\text{ [V]}$ ・コイル電圧：$v_L(t) = E e^{-\frac{t}{\tau}}\text{ [V]}$ |
・時定数$\tau$は$L$に比例し、$R$に反比例する ・$t = \tau$のとき、立上がり波形は最終値の$1 - e^{-1} \fallingdotseq 0.632$倍に達する ・$t = \tau$のとき、減衰波形は初期値の$e^{-1} \fallingdotseq 0.368$倍に減少する |
| $RC$直列回路の過渡応答と時定数 | ・時定数：$\tau = CR\text{ [s]}$ ・コンデンサ電圧（充電）：$v_C(t) = E\left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\right)\text{ [V]}$ ・コンデンサ電圧（放電）：$v_C(t) = E e^{-\frac{t}{\tau}}\text{ [V]}$ ・消費エネルギー：$W = \dfrac{1}{2}CV^2\text{ [J]}$ |
・時定数$\tau$は$C$および$R$に比例する ・放電時の電流初期値は$i(0^+) = \dfrac{E}{R}$であり、$C$には無関係である ・充電された静電エネルギーは放電完了までに抵抗で熱消費される |
| 初期状態と定常状態の等価置換 | ・コイルの電流連続性：$i_L(0^+) = i_L(0^-)$ ・コンデンサの電圧連続性：$v_C(0^+) = v_C(0^-)$ |
・初期電流$0\text{ A}$のコイルは、$t = 0^+$で開放とみなす ・初期電荷$0\text{ C}$のコンデンサは、$t = 0^+$で短絡とみなす ・直流定常状態（$t \to \infty$）では、コイルは短絡、コンデンサは開放となる |
| 複合回路の時定数（テブナンの定理） | ・$RC$回路の時定数：$\tau = C R_{\text{th}}\text{ [s]}$ ・$RL$回路の時定数：$\tau = \dfrac{L}{R_{\text{th}}}\text{ [s]}$ ・$R_{\text{th}}$：対象素子から見た電源短絡時の合成抵抗 |
・$L$または$C$を除いた端子から左側をテブナンの等価回路に変換する ・$v(t)$や$i(t)$の最終値は、定常状態の等価回路から分圧・分流で求める |
| 誘導起電力と$LC$振動回路 | ・コイルの端子電圧：$v = L\dfrac{di}{dt}\text{ [V]}$ ・角周波数：$\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}\text{ [rad/s]}$ ・周期：$T = 2\pi\sqrt{LC}\text{ [s]}$ ・最大電流：$\dfrac{1}{2}LI_m^2 = \dfrac{1}{2}CV_0^2 \implies I_m = V_0\sqrt{\dfrac{C}{L}}\text{ [A]}$ |
・コイル電圧の大きさは電流の時間変化率$\left\vert\dfrac{di}{dt}\right\vert$に比例する ・抵抗$0\text{ }\Omega$の$LC$回路では減衰せず正弦波振動が持続する |
【令和8年上期・問10】RL直列回路における過渡電流・電圧と時定数（難易度：やや易）
図のように，電圧$E\text{ [V]}$の直流電源，開いた状態のスイッチ$\text{S}$，抵抗値$R\text{ [}\Omega\text{]}$の抵抗及びインダクタンス$L\text{ [H]}$のコイルからなる回路がある。この回路において，スイッチ$\text{S}$を時刻$t = 0\text{ s}$で閉じた場合に流れる電流$i\text{ [A]}$，各素子の端子間電圧$v_R\text{ [V]}$，$v_L\text{ [V]}$に関する記述として，誤っているものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。ただし，自然対数の底を$2.718$とする。
(1) この回路の時定数は，$R$の値$\text{[}\Omega\text{]}$に反比例する。
(2) コイルの端子間電圧$v_L\text{ [V]}$は，$L$の値$\text{[H]}$が大きいほど緩やかに変化する。
(3) 時刻$t = 0\text{ s}$から回路の時定数の$2$倍だけ時間が経過すると，抵抗の端子間電圧$v_R\text{ [V]}$は電源電圧$E\text{ [V]}$の$0.865$倍に等しい。
(4) 時刻$t = 0\text{ s}$から回路の時定数だけ時間が経過すると，コイルの端子間電圧$v_L\text{ [V]}$は電源電圧$E\text{ [V]}$の$0.632$倍に等しい。
(5) 時刻$t = 0\text{ s}$から回路の時定数だけ時間が経過すると，電流$i\text{ [A]}$は$\dfrac{E}{R}$の$0.632$倍に等しい。
解説
正解は(4)です。
$RL$直列回路の時定数$\tau = \dfrac{L}{R}\text{ [s]}$と各過渡応答式がポイントです。
時刻$t = 0\text{ s}$でスイッチ$\text{S}$を閉じたあとの電流$i(t)\text{ [A]}$は次式で表されます。
$$i(t) = \frac{E}{R}\left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\right)\text{ [A]}$$ただし、時定数$\tau\text{ [s]}$は次式で与えられます。
$$\tau = \frac{L}{R}\text{ [s]}$$したがって、$\tau$は$R$に反比例し、$L$に比例します。よって、選択肢(1)と(2)の記述は正しいです。
また、抵抗の端子間電圧$v_R(t)\text{ [V]}$とコイルの端子間電圧$v_L(t)\text{ [V]}$は次式で表されます。
$$v_R(t) = R i(t) = E\left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\right)\text{ [V]}$$ $$v_L(t) = E - v_R(t) = E e^{-\frac{t}{\tau}}\text{ [V]}$$選択肢(3)について、$t = 2\tau$を$v_R(t)$の式に代入して計算します。
$$v_R(2\tau) = E\left(1 - e^{-2}\right) = E\left(1 - \frac{1}{2.718^2}\right) \fallingdotseq 0.865E\text{ [V]}$$したがって、選択肢(3)の記述は正しいです。
次に、選択肢(4)と(5)について、$t = \tau$を$v_L(t)$と$i(t)$の式にそれぞれ代入します。
$$v_L(\tau) = E e^{-1} = \frac{E}{2.718} \fallingdotseq 0.368E\text{ [V]}$$ $$i(\tau) = \frac{E}{R}\left(1 - e^{-1}\right) = \frac{E}{R}\left(1 - \frac{1}{2.718}\right) \fallingdotseq 0.632\frac{E}{R}\text{ [A]}$$よって、時刻$t = \tau$での$v_L$は$E$の$0.368$倍となり、選択肢(4)が誤りです。選択肢(5)は正しいです。
【令和7年下期・問10、令和3年・問10】RL直列回路における抵抗値変更時の過渡電流波形（難易度：普通）
開放電圧が$V\text{ [V]}$で出力抵抗が十分に低い直流電圧源と，インダクタンスが$L\text{ [H]}$のコイルが与えられ，抵抗$R\text{ [}\Omega\text{]}$が図$1$のようにスイッチ$\text{S}$を介して接続されている。時刻$t = 0$でスイッチ$\text{S}$を閉じ，コイルの電流$i_L\text{ [A]}$の時間に対する変化を計測して，波形として表す。$R = 1\text{ }\Omega$としたところ，波形が図$2$であったとする。$R = 2\text{ }\Omega$であればどのような波形となるか，波形の変化を最も適切に表すものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
ただし，選択肢の図中の点線は図$2$と同じ波形を表し，実線は$R = 2\text{ }\Omega$のときの波形を表している。
解説
正解は(4)です。
$RL$直列回路における定常電流$\dfrac{V}{R}\text{ [A]}$と時定数$\tau = \dfrac{L}{R}\text{ [s]}$の変化がポイントです。
時刻$t = 0\text{ s}$でスイッチ$\text{S}$を閉じたあと、コイルに流れる電流$i_L(t)\text{ [A]}$は次式で表されます。
$$i_L(t) = \frac{V}{R}\left(1 - e^{-\frac{R}{L}t}\right)\text{ [A]}$$図$2$（$R = 1\text{ }\Omega$）の波形では、時間経過とともに電流は$3\text{ A}$に漸近しています。定常電流は$\dfrac{V}{R} = 3\text{ A}$であるため、電源電圧は$V = 3 \times 1 = 3\text{ V}$です。
次に、$R = 2\text{ }\Omega$に変更した場合の定常電流$I_\infty'\text{ [A]}$と時定数$\tau'\text{ [s]}$を求めます。定常電流は$R$に反比例するため、$R = 1\text{ }\Omega$のときの半分です。
$$I_\infty' = \frac{V}{2} = \frac{3}{2} = 1.5\text{ [A]}$$時定数$\tau = \dfrac{L}{R}$も$R$に反比例します。そのため、$R = 2\text{ }\Omega$のときの時定数$\tau'$は、図$2$のときの半分です。
$$\tau' = \frac{L}{2} = \frac{\tau}{2}\text{ [s]}$$なお、$t = 0$での初期傾き$\dfrac{di_L}{dt} = \dfrac{V}{L}$は、$R$の値によらず一定です。よって、同じ初期傾きで立ち上がり、より速く$1.5\text{ A}$に収束する(4)が正解となります。
【令和7年上期・問10、令和6年上期・問10】RLC回路におけるスイッチ投入後の電流波形（難易度：難）
図の回路のスイッチ$\text{S}$を$t = 0\text{ s}$で閉じる。電流$i_S\text{ [A]}$の波形として最も適切に表すものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
ただし，スイッチ$\text{S}$を閉じる直前に，回路は定常状態にあったとする。
解説
正解は(3)です。
スイッチ閉成によって回路が左右の$2$つの独立した閉回路に分かれる点がポイントです。
まず、スイッチ$\text{S}$を閉じる直前（$t < 0$）の状態を確認します。直流定常状態ではコンデンサが開放とみなせるため、回路電流は$0\text{ A}$です。そのため、コイルの初期電流は$0\text{ A}$となります。また、$2\text{ F}$のコンデンサは$1\text{ V}$（左側が正極）に充電されています。
時刻$t = 0\text{ s}$でスイッチ$\text{S}$を閉じると、スイッチの節点は回路下端と同電位（$0\text{ V}$）です。そのため、左側の$RL$回路からの電流$i_1(t)$と、右側の$RC$回路の放電電流$i_2(t)$の和がスイッチに流れます。
左側の$RL$閉回路（$1\text{ V}$、$1\text{ }\Omega$、$1\text{ H}$）の時定数は$\tau_1 = \dfrac{1}{1} = 1\text{ s}$です。$i_1(0^+) = 0\text{ A}$で定常値は$1\text{ A}$であるため、$i_1(t)$は次式で表されます。
$$i_1(t) = 1 - e^{-t}\text{ [A]}$$右側の$RC$閉回路（$2\text{ F}$、$1\text{ }\Omega$）の時定数は$\tau_2 = 2 \times 1 = 2\text{ s}$です。左側が正極で$1\text{ V}$に充電されているため、コンデンサはスイッチ側へ放電します。したがって、放電電流$i_2(t)$の式は次のとおりです。
$$i_2(t) = \frac{1}{1}e^{-\frac{t}{2}} = e^{-\frac{t}{2}}\text{ [A]}$$これらより、スイッチ$\text{S}$を流れる電流$i_S(t)\text{ [A]}$は次のとおり求められます。
$$i_S(t) = i_1(t) + i_2(t) = 1 - e^{-t} + e^{-\frac{t}{2}}\text{ [A]}$$時刻$t = 0^+$での電流値は$i_S(0^+) = 1 - 1 + 1 = 1\text{ A}$です。$t > 0$では常に$e^{-t/2} > e^{-t}$となるため、$i_S(t)$は一度$1\text{ A}$を上回ったのち$1\text{ A}$に収束します。この特徴と一致する波形は(3)です。
【令和6年下期・問10】コンデンサを含む直流回路の初期電流と定常電流の比（難易度：やや易）
図に示す回路において，スイッチ$\text{S}$を閉じた瞬間（時刻$t = 0$）に点$\text{A}$を流れる電流を$I_0\text{ [A]}$とし，十分に時間が経ち，定常状態に達したのちに点$\text{A}$を流れる電流を$I\text{ [A]}$とする。電流比$\dfrac{I_0}{I}$の値として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
ただし，コンデンサの初期電荷は零とする。
(1) $0.5$
(2) $1.0$
(3) $1.5$
(4) $2.0$
(5) $2.5$
解説
正解は(4)です。
コンデンサを$t = 0$で短絡、定常状態で開放とみなす等価回路の置換がポイントです。
コンデンサの初期電荷は$0\text{ C}$であるため、スイッチ$\text{S}$を閉じた瞬間（$t = 0$）の両端電圧は$0\text{ V}$となります。すなわち、コンデンサは短絡状態と同じ状態です。
このとき、点$\text{A}$より右側は$4\text{ }\Omega$と$12\text{ }\Omega$の並列回路となります。全体の合成抵抗$R_0\text{ [}\Omega\text{]}$と電流$I_0\text{ [A]}$は次のとおりです。
$$R_0 = 6 + \frac{4 \times 12}{4 + 12} = 6 + 3 = 9\text{ [}\Omega\text{]}$$ $$I_0 = \frac{E}{R_0} = \frac{E}{9}\text{ [A]}$$次に、十分な時間が経過した定常状態では、コンデンサに電流が流れず開放状態とみなせます。そのため、$4\text{ }\Omega$の抵抗にも電流は流れません。
したがって、定常状態の回路は$6\text{ }\Omega$と$12\text{ }\Omega$の直列接続となります。合成抵抗$R_\infty\text{ [}\Omega\text{]}$と電流$I\text{ [A]}$の式は次のとおりです。
$$R_\infty = 6 + 12 = 18\text{ [}\Omega\text{]}$$ $$I = \frac{E}{R_\infty} = \frac{E}{18}\text{ [A]}$$以上より、電流比$\dfrac{I_0}{I}$は次のとおり算出されます。
$$\frac{I_0}{I} = \frac{\dfrac{E}{9}}{\dfrac{E}{18}} = \frac{18}{9} = 2.0$$【令和5年下期・問10】RC直列回路の放電過程と時定数（難易度：やや易）
図のように，電圧$E\text{ [V]}$の直流電源，スイッチ$\text{S}$，$R\text{ [}\Omega\text{]}$の抵抗及び静電容量$C\text{ [F]}$のコンデンサからなる回路がある。この回路において，スイッチ$\text{S}$を$1$側に接続してコンデンサを十分に充電した後，時刻$t = 0\text{ s}$でスイッチ$\text{S}$を$1$側から$2$側に切り換えた。$2$側に切り換えた以降の記述として，誤っているものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
ただし，自然対数の底は，$2.718$とする。
(1) 回路の時定数は，$C$の値$\text{[F]}$に比例する。
(2) コンデンサの端子電圧$v_C\text{ [V]}$は，$R$の値$\text{[}\Omega\text{]}$が大きいほど緩やかに減少する。
(3) 時刻$t = 0\text{ s}$から回路の時定数だけ時間が経過すると，コンデンサの端子電圧$v_C\text{ [V]}$は直流電源の電圧$E\text{ [V]}$の$0.368$倍に減少する。
(4) 抵抗の端子電圧$v_R\text{ [V]}$の値は負である。
(5) 時刻$t = 0\text{ s}$における回路の電流$i\text{ [A]}$は，$C$の値$\text{[F]}$に関係する。
解説
正解は(5)です。
$RC$直列回路における放電時の時定数$\tau = CR\text{ [s]}$と各電圧・電流の過渡応答式がポイントです。
スイッチ$\text{S}$を$1$側に接続した定常状態では、コンデンサ電圧は$v_C = E\text{ [V]}$に充電されています。時刻$t = 0\text{ s}$で$2$側に切り換えると、コンデンサは抵抗$R$を通して放電します。
放電時の時定数$\tau = CR\text{ [s]}$は$C$と$R$に比例するため、選択肢(1)と(2)の記述は正しいです。
$$\tau = CR\text{ [s]}$$放電中のコンデンサ端子電圧$v_C(t)\text{ [V]}$は次式で表されます。
$$v_C(t) = E e^{-\frac{t}{\tau}}\text{ [V]}$$選択肢(3)について、$t = \tau$を代入してコンデンサ電圧を確認します。
$$v_C(\tau) = E e^{-1} = \frac{E}{2.718} \fallingdotseq 0.368E\text{ [V]}$$よって、選択肢(3)の記述は正しいです。
次に、図中の矢印の向きに注意して、抵抗の端子電圧$v_R(t)\text{ [V]}$と電流$i(t)\text{ [A]}$を求めます。$2$側では$R$の左端が下側配線（$0\text{ V}$）に接続されるため、左向きを正とする$v_R$は常に負です。
$$v_R(t) = -v_C(t) = -E e^{-\frac{t}{\tau}}\text{ [V]}$$ $$i(t) = -\frac{E}{R}e^{-\frac{t}{\tau}}\text{ [A]}$$したがって、選択肢(4)の記述は正しいです。一方、時刻$t = 0\text{ s}$の電流は$i(0^+) = -\dfrac{E}{R}\text{ [A]}$となり、$C$の値には無関係となります。よって、選択肢(5)が誤りです。
【令和5年上期・問10】電流時間変化グラフから求めるコイルの最大端子電圧（難易度：やや難）
図$1$のように，インダクタンス$L = 5\text{ H}$のコイルに直流電流源$J$が電流$i\text{ [mA]}$を供給している回路がある。電流$i\text{ [mA]}$は図$2$のような時間変化をしている。このとき，コイルの端子間に現れる電圧の大きさ$\vert v\vert$の最大値$\text{[V]}$として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) $0.25$
(2) $0.5$
(3) $1$
(4) $1.25$
(5) $1.5$
解説
正解は(4)です。
コイルに発生する自己誘導起電力の式$\vert v\vert = L\left\vert\dfrac{di}{dt}\right\vert\text{ [V]}$がポイントです。
インダクタンス$L = 5\text{ H}$のコイルでは、電流が一定の区間における電圧は$0\text{ V}$となります。電流が直線的に変化する$3$つの区間について、電圧の大きさ$\vert v\vert\text{ [V]}$は次のとおりです。
最初の$5\text{ ms}$間では、電流が$0\text{ mA}$から$1.0\text{ mA}$へ増加します。
$$\vert v_1\vert = L\left\vert\frac{\Delta i_1}{\Delta t_1}\right\vert = 5 \times \frac{1.0 \times 10^{-3}}{5 \times 10^{-3}} = 1.0\text{ [V]}$$中央の$5\text{ ms}$間では、電流が$1.0\text{ mA}$から$0.5\text{ mA}$への減少です。
$$\vert v_2\vert = L\left\vert\frac{\Delta i_2}{\Delta t_2}\right\vert = 5 \times \frac{0.5 \times 10^{-3}}{5 \times 10^{-3}} = 0.5\text{ [V]}$$最後の$2\text{ ms}$間では、電流が$0.5\text{ mA}$から$0\text{ mA}$へ減少します。
$$\vert v_3\vert = L\left\vert\frac{\Delta i_3}{\Delta t_3}\right\vert = 5 \times \frac{0.5 \times 10^{-3}}{2 \times 10^{-3}} = 1.25\text{ [V]}$$以上を比較すると、$\vert v\vert$の最大値は$1.25\text{ V}$です。
【令和4年下期・問10】RLC回路におけるスイッチ閉成後の定電流波形（難易度：やや難）
図の回路のスイッチ$\text{S}$を$t = 0\text{ s}$で閉じる。電流$i_S\text{ [A]}$の波形として最も適切に表すものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
ただし，スイッチ$\text{S}$を閉じる直前に，回路は定常状態にあったとする。
解説
正解は(5)です。
左右の閉回路の時定数が一致し、過渡項が相殺されて一定電流となる点がポイントです。
スイッチ$\text{S}$を閉じる直前（$t < 0$）は直流定常状態であるため、コンデンサは開放とみなせます。よって回路電流は$0\text{ A}$であり、コイルの初期電流も$0\text{ A}$です。一方、$1\text{ F}$のコンデンサは左側を正極として$1\text{ V}$に充電されています。
時刻$t = 0\text{ s}$でスイッチ$\text{S}$を閉じると、回路は左右$2$つの独立した閉回路に分離します。スイッチ電流$i_S(t)$は、左側の電流$i_1(t)$と右側の放電電流$i_2(t)$の和です。
左側の$RL$閉回路（$1\text{ V}$、$1\text{ }\Omega$、$1\text{ H}$）の時定数は$\tau_1 = \dfrac{1}{1} = 1\text{ s}$です。よって、電流$i_1(t)\text{ [A]}$は次式で表されます。
$$i_1(t) = \frac{1}{1}\left(1 - e^{-\frac{t}{1}}\right) = 1 - e^{-t}\text{ [A]}$$右側の$RC$閉回路（$1\text{ F}$、$1\text{ }\Omega$）の時定数は$\tau_2 = 1 \times 1 = 1\text{ s}$です。よって、コンデンサからの放電電流$i_2(t)\text{ [A]}$は次式で表されます。
$$i_2(t) = \frac{1}{1}e^{-\frac{t}{1}} = e^{-t}\text{ [A]}$$これらを足し合わせると、$i_S(t)\text{ [A]}$は次のとおり定数になります。
$$i_S(t) = i_1(t) + i_2(t) = (1 - e^{-t}) + e^{-t} = 1\text{ [A]}$$時刻$t \ge 0$において$i_S(t)$は常に$1\text{ A}$で一定となるため、正解は(5)です。
【令和2年・問10】テブナンの定理を用いたRC回路の時定数と最終値（難易度：普通）
図の回路のスイッチを閉じたあとの電圧$v(t)$の波形を考える。破線から左側にテブナンの定理を適用することで，回路の時定数$\text{[s]}$と$v(t)$の最終値$\text{[V]}$の組合せとして，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
ただし，初めスイッチは開いており，回路は定常状態にあったとする。
| 時定数$\text{[s]}$ | 最終値$\text{[V]}$ | |
|---|---|---|
| (1) | $0.75$ | $10$ |
| (2) | $0.75$ | $2.5$ |
| (3) | $4$ | $2.5$ |
| (4) | $1$ | $10$ |
| (5) | $1$ | $0$ |
解説
正解は(2)です。
破線から左側をテブナンの等価回路に置き換え、等価電圧源と等価抵抗を求めることがポイントです。
スイッチを閉じた状態において、破線から右側（$1\text{ F}$のコンデンサ）を切り離し、破線端子の開放電圧$V_0\text{ [V]}$を求めます。$10\text{ V}$の電源電圧が$3\text{ }\Omega$と$1\text{ }\Omega$で分圧されるため、$V_0$は次のとおりです。
$$V_0 = 10 \times \frac{1}{3 + 1} = \frac{10}{4} = 2.5\text{ [V]}$$定常状態では充電電流が$0\text{ A}$となるため、最終値はこの開放電圧$V_0 = 2.5\text{ V}$となります。
次に、$10\text{ V}$の直流電源を短絡して、破線端子から左側を見た等価内部抵抗$R_0\text{ [}\Omega\text{]}$を求めます。$3\text{ }\Omega$と$1\text{ }\Omega$の並列接続となるため、$R_0$の計算式は次のとおりです。
$$R_0 = \frac{3 \times 1}{3 + 1} = \frac{3}{4} = 0.75\text{ [}\Omega\text{]}$$コンデンサの静電容量は$C = 1\text{ F}$であるため、回路の時定数$\tau\text{ [s]}$は次のとおり算出されます。
$$\tau = C R_0 = 1 \times 0.75 = 0.75\text{ [s]}$$以上より、時定数は$0.75\text{ s}$、$v(t)$の最終値は$2.5\text{ V}$です。
【令和元年・問10】RC直列回路の時定数と抵抗消費エネルギーの計算（難易度：易）
図のように，電圧$1\text{ kV}$に充電された静電容量$100\text{ }\mu\text{F}$のコンデンサ，抵抗$1\text{ k}\Omega$，スイッチからなる回路がある。スイッチを閉じた直後に過渡的に流れる電流の時定数$\tau$の値$\text{[s]}$と，スイッチを閉じてから十分に時間が経過するまでに抵抗で消費されるエネルギー$W$の値$\text{[J]}$の組合せとして，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
| $\tau$ | $W$ | |
|---|---|---|
| (1) | $0.1$ | $0.1$ |
| (2) | $0.1$ | $50$ |
| (3) | $0.1$ | $1\,000$ |
| (4) | $10$ | $0.1$ |
| (5) | $10$ | $50$ |
解説
正解は(2)です。
$RC$直列回路の時定数$\tau = CR\text{ [s]}$と静電エネルギーの公式$W = \dfrac{1}{2}CV^2\text{ [J]}$がポイントです。
まず、与えられた回路定数を基本単位に換算します。静電容量は$C = 100\text{ }\mu\text{F} = 10^{-4}\text{ F}$、抵抗は$R = 1\text{ k}\Omega = 10^3\text{ }\Omega$です。また、初期充電電圧は$V = 1\text{ kV} = 10^3\text{ V}$となります。
これらより、$RC$直列回路の時定数$\tau\text{ [s]}$は次のとおりです。
$$\tau = CR = 10^{-4} \times 10^3 = 0.1\text{ [s]}$$次に、抵抗で消費されるエネルギー$W\text{ [J]}$を求めます。放電完了までに抵抗で消費される全エネルギーは、最初の静電エネルギーに等しくなります。
$$W = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2} \times 10^{-4} \times (10^3)^2 = \frac{1}{2} \times 10^{-4} \times 10^6 = 50\text{ [J]}$$したがって、$\tau = 0.1\text{ s}$、$W = 50\text{ J}$です。
【平成30年・問10】内部抵抗をもつ直流電源によるコンデンサ充電の時定数（難易度：易）
静電容量が$1\text{ F}$で初期電荷が$0\text{ C}$のコンデンサがある。起電力が$10\text{ V}$で内部抵抗が$0.5\text{ }\Omega$の直流電源を接続してこのコンデンサを充電するとき，充電電流の時定数の値$\text{[s]}$として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) $0.5$
(2) $1$
(3) $2$
(4) $5$
(5) $10$
解説
正解は(1)です。
直流電源の内部抵抗$r\text{ [}\Omega\text{]}$とコンデンサ$C\text{ [F]}$の直列回路における時定数$\tau = Cr\text{ [s]}$がポイントです。
内部抵抗$r = 0.5\text{ }\Omega$をもつ直流電源に静電容量$C = 1\text{ F}$のコンデンサを接続した回路を考えます。これは抵抗$r$とコンデンサ$C$の直列回路と等価です。
$RC$直列回路の時定数$\tau\text{ [s]}$は$C$と$r$の積で決まり、起電力$E$には依存しません。したがって、時定数$\tau$は次式により算出されます。
$$\tau = Cr = 1 \times 0.5 = 0.5\text{ [s]}$$【平成29年・問10】RL並列部を含む直流回路の初期電流と定常電流（難易度：易）
図のように，電圧$E\text{ [V]}$の直流電源に，開いた状態のスイッチ$\text{S}$，$R_1\text{ [}\Omega\text{]}$の抵抗，$R_2\text{ [}\Omega\text{]}$の抵抗及び電流が$0\text{ A}$のコイル（インダクタンス$L\text{ [H]}$）を接続した回路がある。次の文章は，この回路に関する記述である。
$1$ スイッチ$\text{S}$を閉じた瞬間（時刻$t = 0\text{ s}$）に$R_1\text{ [}\Omega\text{]}$の抵抗に流れる電流は，$\text{(ア)}\text{ [A]}$となる。
$2$ スイッチ$\text{S}$を閉じて回路が定常状態とみなせるとき，$R_1\text{ [}\Omega\text{]}$の抵抗に流れる電流は，$\text{(イ)}\text{ [A]}$となる。
上記の記述中の空白箇所(ア)及び(イ)に当てはまる式の組合せとして，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
| (ア) | (イ) | |
|---|---|---|
| (1) | $\dfrac{E}{R_1 + R_2}$ | $\dfrac{E}{R_1}$ |
| (2) | $\dfrac{R_2 E}{(R_1 + R_2)R_1}$ | $\dfrac{E}{R_1}$ |
| (3) | $\dfrac{E}{R_1}$ | $\dfrac{E}{R_1 + R_2}$ |
| (4) | $\dfrac{E}{R_1}$ | $\dfrac{E}{R_1}$ |
| (5) | $\dfrac{E}{R_1 + R_2}$ | $\dfrac{E}{R_1 + R_2}$ |
解説
正解は(1)です。
コイルが$t = 0\text{ s}$で開放状態、定常状態で短絡状態になる性質がポイントです。
スイッチ$\text{S}$を閉じた瞬間（$t = 0\text{ s}$）では、コイルの初期電流が$0\text{ A}$であり、電流は急激に変化できません。そのため、コイルは開放状態とみなせます。
このとき、電流は$R_1$と$R_2$の直列回路のみを流れるため、(ア)に入る電流値は次のとおりです。
$$I_{(ア)} = \frac{E}{R_1 + R_2}\text{ [A]}$$次に、十分時間が経過した定常状態では、電流変化が$0$となり、コイルの誘導起電力も$0\text{ V}$になります。そのため、コイルは短絡と等価です。
コイルが$R_2$を短絡するため、電流は$R_2$を通らずにすべてコイル側へ流れます。よって、回路の抵抗は$R_1$のみとなり、(イ)に入る電流値は次のとおりです。
$$I_{(イ)} = \frac{E}{R_1}\text{ [A]}$$【平成28年・問10】RC直列回路の放電過程と電圧極性（難易度：やや易）
図のように，電圧$E\text{ [V]}$の直流電源，スイッチ$\text{S}$，$R\text{ [}\Omega\text{]}$の抵抗及び静電容量$C\text{ [F]}$のコンデンサからなる回路がある。この回路において，スイッチ$\text{S}$を$1$側に接続してコンデンサを十分に充電した後，時刻$t = 0\text{ s}$でスイッチ$\text{S}$を$1$側から$2$側に切り換えた。$2$側に切り換えた以降の記述として，誤っているものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
ただし，自然対数の底は，$2.718$とする。
(1) 回路の時定数は，$C$の値$\text{[F]}$に比例する。
(2) コンデンサの端子電圧$v_C\text{ [V]}$は，$R$の値$\text{[}\Omega\text{]}$が大きいほど緩やかに減少する。
(3) 時刻$t = 0\text{ s}$から回路の時定数だけ時間が経過すると，コンデンサの端子電圧$v_C\text{ [V]}$は直流電源の電圧$E\text{ [V]}$の$0.368$倍に減少する。
(4) 抵抗の端子電圧$v_R\text{ [V]}$の極性は，切り換え前（コンデンサ充電中）と逆になる。
(5) 時刻$t = 0\text{ s}$における回路の電流$i\text{ [A]}$は，$C$の値$\text{[F]}$に関係する。
解説
正解は(5)です。
$RC$直列回路における放電時の時定数$\tau = CR\text{ [s]}$と充放電時の電流向きの反転がポイントです。
放電時の時定数は$\tau = CR\text{ [s]}$であり、$C$および$R$に比例します。よって、選択肢(1)と(2)は正しいです。
また、コンデンサの端子電圧は$v_C(t) = E e^{-t/\tau}\text{ [V]}$と表されます。$t = \tau$のとき$v_C(\tau) = E e^{-1} \fallingdotseq 0.368E\text{ [V]}$となるため、選択肢(3)は正しいです。
次に、抵抗の端子電圧$v_R$の極性を確認します。切り換え前（充電中）は電源側からコンデンサへ向かって右向きに電流が流れるため、$R$の左端が高電位（$v_R > 0$）です。切り換え後はコンデンサから$2$側へ向かって左向きに放電電流が流れるため、$R$の右端が高電位（$v_R < 0$）となり、極性が逆になります。したがって、選択肢(4)は正しいです。
一方、切り換え直後の時刻$t = 0\text{ s}$における電流は$i(0^+) = -\dfrac{E}{R}\text{ [A]}$となります。この初期値は$E$と$R$のみで決まり、$C$の値には無関係であるため、選択肢(5)が誤りです。
【平成27年・問10】RL直列回路とRC直列回路の過渡波形比較（難易度：普通）
図のように，直流電圧$E\text{ [V]}$の電源，抵抗$R\text{ [}\Omega\text{]}$の抵抗器，インダクタンス$L\text{ [H]}$のコイルまたは静電容量$C\text{ [F]}$のコンデンサ，スイッチ$\text{S}$からなる$2$種類の回路（$RL$回路，$RC$回路）がある。各回路において，時刻$t = 0\text{ s}$でスイッチ$\text{S}$を閉じたとき，回路を流れる電流$i\text{ [A]}$，抵抗の端子電圧$v_r\text{ [V]}$，コイルの端子電圧$v_l\text{ [V]}$，コンデンサの端子電圧$v_c\text{ [V]}$の波形の組合せを示す図として，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
ただし，電源の内部インピーダンス及びコンデンサの初期電荷は零とする。
解説
正解は(2)です。
$RL$回路と$RC$回路における初期値（$t = 0$）と最終値（$t \to \infty$）の違いがポイントです。
$RL$回路では、スイッチ閉成直後（$t = 0\text{ s}$）にコイルが開放状態となるため、$i(0) = 0\text{ A}$となります。そのため、抵抗電圧は$v_r(0) = 0\text{ V}$であり、コイルに全電圧が加わり$v_l(0) = E\text{ V}$です。
定常状態に達するとコイルは短絡状態となり、$i(\infty) = \dfrac{E}{R}\text{ A}$、$v_r(\infty) = E\text{ V}$となります。同時に、コイルの端子電圧は$v_l(\infty) = 0\text{ V}$に収束します。
一方、$RC$回路の$t = 0\text{ s}$では初期電荷$0\text{ C}$のコンデンサが短絡状態となるため、$v_c(0) = 0\text{ V}$です。電源電圧のすべてが抵抗に加わり、$v_r(0) = E\text{ V}$、$i(0) = \dfrac{E}{R}\text{ A}$となります。
定常状態ではコンデンサが開放状態となるため、$i(\infty) = 0\text{ A}$、$v_r(\infty) = 0\text{ V}$です。このときコンデンサの端子電圧は$v_c(\infty) = E\text{ V}$へ収束します。これらすべての波形を正しく示す組合せは(2)です。
【平成26年・問11】逆極性電源への切り換えによるコンデンサ電圧波形（難易度：普通）
図のように，直流電圧$E\text{ [V]}$の電源が$2$個，$R\text{ [}\Omega\text{]}$の抵抗が$2$個，静電容量$C\text{ [F]}$のコンデンサ，スイッチ$\text{S}_1$と$\text{S}_2$からなる回路がある。スイッチ$\text{S}_1$と$\text{S}_2$の初期状態は，共に開いているものとする。電源の内部インピーダンスは零とする。時刻$t = t_1\text{ [s]}$でスイッチ$\text{S}_1$を閉じ，その後，時定数$CR\text{ [s]}$に比べて十分に時間が経過した時刻$t = t_2\text{ [s]}$でスイッチ$\text{S}_1$を開き，スイッチ$\text{S}_2$を閉じる。このとき，コンデンサの端子電圧$v\text{ [V]}$の波形を示す図として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
ただし，コンデンサの初期電荷は零とする。
解説
正解は(4)です。
左右$2$つの直流電源の極性が互いに逆向きである点がポイントです。
時刻$t_1 \le t < t_2$の区間ではスイッチ$\text{S}_1$が閉じ、$\text{S}_2$は開いています。左側電源は上側が正極であるため、初期電荷$0\text{ C}$のコンデンサは時定数$CR\text{ [s]}$で充電されます。
時刻$t = t_2$まで十分に時間が経過しているため、直前のコンデンサ電圧は定常値$v = +E\text{ [V]}$です。
時刻$t = t_2\text{ s}$で$\text{S}_1$を開き$\text{S}_2$を閉じると、コンデンサは右側の直列回路に接続されます。右側の電源は上側が負極であるため、$v$の矢印に対して電圧$-E\text{ [V]}$の電源と等価です。
コンデンサ電圧は連続に変化するため、$+E\text{ [V]}$から最終値$-E\text{ [V]}$へ時定数$CR\text{ [s]}$で変化します。
$$v(t) = -E + 2E e^{-\frac{t - t_2}{CR}}\text{ [V]} \quad (t \ge t_2)$$以上より、$+E$から$-E$へ減衰変化する(4)が正解です。
【平成25年・問12】スイッチの開閉に伴うコイル端子電圧の過渡波形（難易度：難）
図の回路において，十分に長い時間開いていたスイッチ$\text{S}$を時刻$t = 0\text{ [ms]}$から時刻$t = 15\text{ [ms]}$の間だけ閉じた。このとき，インダクタンス$20\text{ [mH]}$のコイルの端子間電圧$v\text{ [V]}$の時間変化を示す図として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
解説
正解は(4)です。
$t = 0\text{ ms}$での初期電圧、$t = 15\text{ ms}$直前のコイル電流、およびスイッチ開放直後の電圧極性がポイントです。
時刻$t = 0\text{ ms}$でスイッチ$\text{S}$を閉じた瞬間、初期電流$0\text{ A}$のコイルは開放状態とみなせます。電源電圧$30\text{ V}$が$10\text{ }\Omega$と$20\text{ }\Omega$で分圧されるため、コイルの初期電圧$v(0^+)$は次式となります。
$$v(0^+) = 30 \times \frac{20}{10 + 20} = 20\text{ [V]}$$また、コイルから左側を見たテブナン等価抵抗は$R_{\text{th}} = \dfrac{10 \times 20}{10 + 20} = \dfrac{20}{3}\text{ }\Omega$です。したがって、閉成時の時定数は$\tau_{\text{on}} = \dfrac{20 \times 10^{-3}}{20/3} = 3\text{ ms}$となります。
時刻$t = 15\text{ ms}$は時定数の$5$倍（$5\tau_{\text{on}}$）にあたり、回路はほぼ定常状態です。このときコイルは短絡とみなせ、端子電圧は$v \fallingdotseq 0\text{ V}$、コイル電流は$I_L = \dfrac{30}{10} = 3\text{ A}$となります。
時刻$t = 15\text{ ms}$でスイッチ$\text{S}$を開くと、コイルは電流$3\text{ A}$を流し続けます。この電流が$20\text{ }\Omega$の抵抗を下から上へ流れるため、上端が負となり端子電圧$v$は次のとおりです。
$$v(15\text{ ms}^+) = -20 \times 3 = -60\text{ [V]}$$その後、$v$は時定数$\tau_{\text{off}} = \dfrac{20 \times 10^{-3}}{20} = 1\text{ ms}$で$0\text{ V}$へ減衰します。よって、$+20\text{ V}$から$0\text{ V}$へ減衰し、$t = 15\text{ ms}$で$-60\text{ V}$となる(4)が正解です。
【平成24年・問9】2段RL並列回路におけるスイッチ順次閉成後の電流波形（難易度：やや難）
図のように，直流電圧$E\text{ [V]}$の電源，$R\text{ [}\Omega\text{]}$の抵抗，インダクタンス$L\text{ [H]}$のコイル，スイッチ$\text{S}_1$と$\text{S}_2$からなる回路がある。電源の内部インピーダンスは零とする。時刻$t = t_1\text{ [s]}$でスイッチ$\text{S}_1$を閉じ，その後，時定数$\dfrac{L}{R}\text{ [s]}$に比べて十分に時間が経過した時刻$t = t_2\text{ [s]}$でスイッチ$\text{S}_2$を閉じる。このとき，電源から流れ出る電流$i\text{ [A]}$の波形を示す図として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
解説
正解は(3)です。
定常状態において中央のコイルが短絡状態となり、$2$段目の回路に電圧が加わらない点がポイントです。
時刻$t_1 \le t < t_2$の区間ではスイッチ$\text{S}_1$のみが閉じているため、左側の$RL$直列回路が構成されます。電流$i(t)\text{ [A]}$は$0\text{ A}$から時定数$\dfrac{L}{R}\text{ [s]}$で指数関数的に増加し、定常値$\dfrac{E}{R}\text{ [A]}$に達します。
時刻$t = t_2$は時定数$\dfrac{L}{R}$に比べて十分に時間が経過しているため、回路は定常状態です。このとき中央のコイルの電流変化は$0$であり、コイルの両端電圧は$0\text{ V}$（短絡状態）となっています。
したがって、時刻$t = t_2\text{ s}$でスイッチ$\text{S}_2$を閉じても、右側の$RL$枝の両端電位差は$0\text{ V}$のままです。右側の枝には電流が一切流れず、電源電流$i(t)$は$\dfrac{E}{R}\text{ [A]}$で一定に保たれます。この特徴を表す波形は(3)です。
【平成23年・問10】2電源切り換えに伴うRC回路の放電電流波形（難易度：普通）
図のように，$2$種類の直流電源，$R\text{ [}\Omega\text{]}$の抵抗，静電容量$C\text{ [F]}$のコンデンサ及びスイッチ$\text{S}$からなる回路がある。この回路において，スイッチ$\text{S}$を①側に閉じて回路が定常状態に達した後に，時刻$t = 0\text{ [s]}$でスイッチ$\text{S}$を①側から②側に切り換えた。②側への切り換え以降の，コンデンサから流れ出る電流$i\text{ [A]}$の時間変化を示す図として，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
解説
正解は(3)です。
切り換え前後におけるコンデンサ電圧の連続性と、電位差による電流計算がポイントです。
スイッチ$\text{S}$を①側に閉じて定常状態に達すると、コンデンサは$2E\text{ [V]}$（上側が正極）に充電されます。
時刻$t = 0\text{ s}$で②側に切り換えた瞬間も、コンデンサの端子電圧は$2E\text{ [V]}$のままです。②側の電源電圧は上側正極で$E\text{ [V]}$であるため、抵抗$R$には電位差$2E - E = E\text{ [V]}$が加わります。
コンデンサ側の電位のほうが高いため、図中の矢印の向き（左向き）に電流$i$が流れます。切り換え直後（$t = 0^+$）の電流値$i(0^+)\text{ [A]}$の式は次のとおりです。
$$i(0^+) = \frac{2E - E}{R} = \frac{E}{R}\text{ [A]}$$その後、コンデンサ電圧が$2E\text{ [V]}$から$E\text{ [V]}$へ低下し、電流は定常状態で$0\text{ A}$へ減衰します。
$$i(t) = \frac{E}{R}e^{-\frac{t}{CR}}\text{ [A]}$$したがって、$\dfrac{E}{R}$から$0$へ指数関数的に減衰する(3)が正解です。
【平成23年・問16】LC無損失回路の振動電流波形と最大値・周期（難易度：普通）
図のように，電圧$100\text{ [V]}$に充電された静電容量$C = 300\text{ [}\mu\text{F]}$のコンデンサ，インダクタンス$L = 30\text{ [mH]}$のコイル，開いた状態のスイッチ$\text{S}$からなる回路がある。時刻$t = 0\text{ [s]}$でスイッチ$\text{S}$を閉じてコンデンサに充電された電荷を放電すると，回路には振動電流$i\text{ [A]}$（図の矢印の向きを正とする）が流れる。このとき，次の(a)及び(b)の問に答えよ。
ただし，回路の抵抗は無視できるものとする。
(b) 振動電流の最大値$\text{[A]}$及び周期$\text{[ms]}$の値の組合せとして，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
| 最大値 | 周 期 | |
|---|---|---|
| (1) | $1.0$ | $18.8$ |
| (2) | $1.0$ | $188$ |
| (3) | $10.0$ | $1.88$ |
| (4) | $10.0$ | $18.8$ |
| (5) | $10.0$ | $188$ |
解説
正解は(a)が(1)、(b)が(4)です。
$LC$回路におけるエネルギー保存則と固有振動周期の公式$T = 2\pi\sqrt{LC}\text{ [s]}$がポイントです。
小問(a)ではスイッチ閉成直後の電流波形を判別します。直前のコイル電流は$0\text{ A}$で急変できないため、初期電流は$i(0^+) = 0\text{ A}$です。
上側電極板が正に帯電しているため、電流は時計回り（正方向）に流れ始めます。無損失のため減衰せず、正弦波$i(t) = I_m \sin\omega_0 t$を描く(1)が正解です。
小問(b)では、$C = 300\text{ }\mu\text{F} = 3 \times 10^{-4}\text{ F}$と換算します。また、$L = 30\text{ mH} = 3 \times 10^{-2}\text{ H}$、$V_0 = 100\text{ V}$です。
初期静電エネルギーがすべて最大磁気エネルギーに変わるとき、電流が最大値$I_m\text{ [A]}$をとります。
$$\frac{1}{2}L I_m^2 = \frac{1}{2}C V_0^2$$ $$I_m = V_0\sqrt{\frac{C}{L}} = 100\sqrt{\frac{3 \times 10^{-4}}{3 \times 10^{-2}}} = 100\sqrt{10^{-2}} = 100 \times 0.1 = 10.0\text{ [A]}$$次に、この$LC$回路における電気振動の周期$T\text{ [s]}$を求めます。
$$T = 2\pi\sqrt{LC} = 2\pi\sqrt{3 \times 10^{-2} \times 3 \times 10^{-4}} = 2\pi \times 3 \times 10^{-3} = 6\pi \times 10^{-3}\text{ [s]}$$$\pi \fallingdotseq 3.1416$を代入して$\text{ms}$単位に換算します。
$$T \fallingdotseq 6 \times 3.1416 \fallingdotseq 18.85\text{ [ms]}$$したがって、最大値は$10.0\text{ A}$、周期は約$18.8\text{ ms}$です。
【平成22年・問10】コンデンサを含む直流回路の電流比条件からの抵抗値導出（難易度：やや難）
図に示す回路において，スイッチ$\text{S}$を閉じた瞬間（時刻$t = 0$）に点$\text{A}$を流れる電流を$I_0\text{ [A]}$とし，十分に時間が経ち，定常状態に達したのちに点$\text{A}$を流れる電流を$I\text{ [A]}$とする。電流比$\dfrac{I_0}{I}$の値を$2$とするために必要な抵抗$R_3\text{ [}\Omega\text{]}$の値を表す式として，正しいのは次のうちどれか。
ただし，コンデンサの初期電荷は零とする。
(1) $\dfrac{R_1}{R_1 + R_2}\left(\dfrac{R_1}{2} + R_2\right)$
(2) $\dfrac{R_1}{R_1 + R_2}\left(\dfrac{R_2}{3} - R_1\right)$
(3) $\dfrac{R_1}{R_1 + R_2}(R_1 - R_2)$
(4) $\dfrac{R_2}{R_1 + R_2}(R_1 + R_2)$
(5) $\dfrac{R_2}{R_1 + R_2}(R_2 - R_1)$
解説
正解は(5)です。
スイッチ投入瞬間（コンデンサ短絡）と定常状態（コンデンサ開放）の合成抵抗から電流比の式を立てることがポイントです。
初期電荷が$0\text{ C}$であるため、時刻$t = 0$ではコンデンサが短絡状態となります。点$\text{A}$の右側は$R_2$と$R_3$の並列回路となり、全体の合成抵抗$R_0\text{ [}\Omega\text{]}$と電流$I_0\text{ [A]}$は次式で表されます。
$$R_0 = R_1 + \frac{R_2 R_3}{R_2 + R_3}\text{ [}\Omega\text{]}$$ $$I_0 = \frac{E}{R_1 + \dfrac{R_2 R_3}{R_2 + R_3}}\text{ [A]}$$一方、十分に時間が経過した定常状態ではコンデンサが開放状態となり、$R_3$には電流が流れません。そのため、電流$I\text{ [A]}$は$R_1$と$R_2$の直列回路に流れる電流となります。
$$I = \frac{E}{R_1 + R_2}\text{ [A]}$$与えられた条件$\dfrac{I_0}{I} = 2$に、$I_0$と$I$の式を代入して整理します。
$$\frac{I_0}{I} = \frac{R_1 + R_2}{R_1 + \dfrac{R_2 R_3}{R_2 + R_3}} = 2$$ $$R_1 + R_2 = 2R_1 + \frac{2R_2 R_3}{R_2 + R_3}$$ $$R_2 - R_1 = \frac{2R_2 R_3}{R_2 + R_3}$$両辺に$(R_2 + R_3)$を掛けて$R_3$について解きます。
$$(R_2 - R_1)(R_2 + R_3) = 2R_2 R_3$$ $$R_2(R_2 - R_1) + R_2 R_3 - R_1 R_3 = 2R_2 R_3$$ $$R_2(R_2 - R_1) = (R_1 + R_2)R_3$$ $$R_3 = \frac{R_2}{R_1 + R_2}(R_2 - R_1)\text{ [}\Omega\text{]}$$【平成21年・問10】RL直列回路に方形波電圧パルスを加えた際の出力波形（難易度：普通）
図$1$のようなインダクタンス$L\text{ [H]}$のコイルと$R\text{ [}\Omega\text{]}$の抵抗からなる直列回路に，図$2$のような振幅$E\text{ [V]}$，パルス幅$T_0\text{ [s]}$の方形波電圧$v_i\text{ [V]}$を加えた。このときの抵抗$R\text{ [}\Omega\text{]}$の端子間電圧$v_R\text{ [V]}$の波形を示す図として，正しいのは次のうちどれか。
ただし，図$1$の回路の時定数$\dfrac{L}{R}\text{ [s]}$は$T_0\text{ [s]}$より十分小さく（$\dfrac{L}{R} \ll T_0$），方形波電圧$v_i\text{ [V]}$を発生する電源の内部インピーダンスは$0\text{ [}\Omega\text{]}$とし，コイルに流れる初期電流は$0\text{ [A]}$とする。
解説
正解は(5)です。
時定数$\tau = \dfrac{L}{R}$とパルス幅$T_0$の大小関係（$\tau \ll T_0$）、および抵抗電圧$v_R = R i$の連続性がポイントです。
時刻$0 \le t \le T_0$の区間では、入力電圧$v_i = E\text{ [V]}$が印加されます。初期電流は$0\text{ A}$のため、$v_R(t)\text{ [V]}$は$0\text{ V}$から時定数$\tau = \dfrac{L}{R}$で$E\text{ [V]}$へ立ち上がります。
$$v_R(t) = E\left(1 - e^{-\frac{R}{L}t}\right)\text{ [V]} \quad (0 \le t \le T_0)$$ここで$\tau \ll T_0$の条件があるため、時刻$t = T_0$より十分早い段階で$v_R(t)$はほぼ定常値$E\text{ [V]}$に達した状態です。
時刻$t > T_0$では入力電圧が$v_i = 0\text{ V}$になりますが、内部インピーダンスが$0\text{ }\Omega$のため閉回路は保たれます。コイルの電流連続性により抵抗電圧は$E\text{ [V]}$から連続変化し、時定数$\tau = \dfrac{L}{R}$で$0\text{ [V]}$へ急減衰します。
$$v_R(t) = E e^{-\frac{R}{L}(t - T_0)}\text{ [V]} \quad (t > T_0)$$以上より、パルス幅$T_0$内で$E$に達し、$t = T_0$以降に速やかに$0$へ減衰する(5)が正解です。
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