【電験3種・理論】頻出問題「三相交流回路の電流・電力・力率改善」の攻略ポイント」の過去問解説

電験3種（理論）の頻出問題である「三相交流回路の電流・電力・力率改善」について解説します。

「三相交流回路の電流・電力・力率改善」の攻略ポイント

電験3種の理論科目では、三相交流回路の電流・電力・力率改善に関する計算問題が毎年のように出題されます。出題形式は、$\Delta$-$\text{Y}$変換を用いた$1$相分の等価回路解析と、進相コンデンサ接続による力率改善の計算が中心です。

さらに、$\text{V}$結線電源、$1$線断線時の不平衡回路、複素ベクトル表記を用いた線電流・相電流の位相計算も問われます。線間と相間の$\sqrt{3}$倍および$\dfrac{\pi}{6}\text{ [rad]}$の位相差を正確に整理することが解法の基本です。

基本公式とポイント

三相交流回路の電流・電力・力率改善の計算で重要となる基本公式とポイントを以下の表に整理しました。

項目	基本公式	ポイント
$\text{Y}$結線と$\Delta$結線の電圧・電流	・$\text{Y}$結線：$V_\ell = \sqrt{3}V_p\text{ [V]}$、$I_\ell = I_p\text{ [A]}$ ・$\Delta$結線：$V_\ell = V_p\text{ [V]}$、$I_\ell = \sqrt{3}I_p\text{ [A]}$	・対称三相では線間電圧が相電圧より$\dfrac{\pi}{6}\text{ [rad]}$進む ・平衡$\Delta$負荷では線電流が相電流より$\dfrac{\pi}{6}\text{ [rad]}$遅れる
負荷および電源の$\Delta$-$\text{Y}$変換	・平衡負荷：$\dot{Z}_Y = \dfrac{\dot{Z}_\Delta}{3}$、$\dot{Z}_\Delta = 3\dot{Z}_Y$ ・不平衡負荷：$R_a = \dfrac{R_{ab}R_{ca}}{R_{ab}+R_{bc}+R_{ca}}$ ・対称電源：$\dot{E}_Y = \dfrac{\dot{V}_\Delta}{\sqrt{3}}\angle -\dfrac{\pi}{6}$	・平衡負荷を$\Delta$から$\text{Y}$へ変換すると$1$相インピーダンスは$\dfrac{1}{3}$倍になる ・線間電圧一定のまま$\text{Y}$から$\Delta$へ組み換えると消費電力は$3$倍になる
三相電力と力率	・有効電力：$P = \sqrt{3}V_\ell I_\ell \cos\theta = 3V_p I_p \cos\theta\text{ [W]}$ ・無効電力：$Q = \sqrt{3}V_\ell I_\ell \sin\theta = 3V_p I_p \sin\theta\text{ [var]}$ ・皮相電力：$S = \sqrt{3}V_\ell I_\ell = \sqrt{P^2 + Q^2}\text{ [V}\cdot\text{A]}$	・$\text{Y}$・$\Delta$を問わず線間電圧$V_\ell$と線電流$I_\ell$で同じ表式が使える ・消費電力公式に相の値を使うとき係数は$\sqrt{3}$ではなく$3$となる
進相コンデンサによる力率改善	・力率$1$の条件：$Q_C = Q_L\text{ [var]}$ ・無効電力比較：$Q_C = 3V_\ell^2 \omega C_\Delta = V_\ell^2 \omega C_Y\text{ [var]}$、$C_\Delta = \dfrac{1}{3}C_Y$ ・並列換算：$B_L = \dfrac{X_L}{R^2 + X_L^2} = \omega C_Y = 3\omega C_\Delta$	・負荷と並列にコンデンサを接続すると$\Delta$接続なら$C$は$\text{Y}$接続の$\dfrac{1}{3}$で済む ・直列$RL$負荷はアドミタンスへ変換して虚部$B_L$を打ち消すと計算が速い
不平衡・断線回路の解析	・$\text{c}$-$\text{a}$単相化時は線間電圧$V_{ca}$のみが印加 ・開放端電圧は電源と負荷側の電位差から算出	・$1$線断線や不平衡負荷では平衡$1$相分の等価回路は使えない ・直並列合成または不平衡$\Delta$-$\text{Y}$変換を用いて回路を解く

【令和8年上期・問15】Δ結線とY結線の等価変換とリアクタンスの導出

図のような平衡三相回路の負荷において，誘導性リアクタンス$X_L\text{ [}\Omega\text{]}$に流れる電流の大きさを$I_L\text{ [A]}$，容量性リアクタンス$X_C\text{ [}\Omega\text{]}$に流れる電流の大きさを$I_C\text{ [A]}$とするとき，次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a) $X_L$による$\Delta$結線の負荷をこれと等価な$\text{Y}$結線の負荷に変換したとき，変換後の$1$相の誘導性リアクタンス$X_L'\text{ [}\Omega\text{]}$に流れる電流$I_L'\text{ [A]}$の大きさとして，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $\dfrac{1}{\sqrt{3}}I_L$
(2) $\dfrac{1}{\sqrt{2}}I_L$
(3) $I_L$
(4) $\sqrt{2}I_L$
(5) $\sqrt{3}I_L$

(b) 図の回路において，電流$I_L$と電流$I_C$が$I_L = \dfrac{2}{\sqrt{3}}I_C$の関係にあるとき，$X_L\text{ [}\Omega\text{]}$の値として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $25$
(2) $20$
(3) $15$
(4) $10$
(5) $5$

解説

正解は(a)が(5)、(b)が(3)です。

平衡負荷の$\Delta$-$\text{Y}$変換と各相電圧に対する電流の関係がポイントです。

はじめに(a)を考えます。$\Delta$結線の各相リアクタンス$X_L\text{ [}\Omega\text{]}$には線間電圧$V\text{ [V]}$がそのまま加わります。したがって、電流$I_L\text{ [A]}$の大きさは次式のとおりです。

$$I_L = \frac{V}{X_L}\text{ [A]}$$

この負荷を等価な$\text{Y}$結線に変換すると、$1$相のリアクタンス$X_L'\text{ [}\Omega\text{]}$は元の$\dfrac{1}{3}$倍になります。

$$X_L' = \frac{X_L}{3}\text{ [}\Omega\text{]}$$

変換後の$\text{Y}$結線において、$1$相に加わる電圧は相電圧$\dfrac{V}{\sqrt{3}}\text{ [V]}$です。そのため、$X_L'$に流れる電流$I_L'\text{ [A]}$は次のとおり求められます。

$$I_L' = \frac{\dfrac{V}{\sqrt{3}}}{X_L'} = \frac{\dfrac{V}{\sqrt{3}}}{\dfrac{X_L}{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}}\frac{V}{X_L} = \sqrt{3}I_L\text{ [A]}$$

これは$\Delta$結線の相電流から線電流を求める関係とも一致し、(5)が正解です。

次に(b)を求めます。図より$\text{Y}$結線側の容量性リアクタンスは$X_C = 10\text{ }\Omega$です。相電圧$\dfrac{V}{\sqrt{3}}\text{ [V]}$が印加されるため、電流$I_C\text{ [A]}$は次式で表されます。

$$I_C = \frac{V}{\sqrt{3} X_C} = \frac{V}{10\sqrt{3}}\text{ [A]}$$

与えられた関係式$I_L = \dfrac{2}{\sqrt{3}}I_C$へ$I_L$と$I_C$の式を代入します。

$$\frac{V}{X_L} = \frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{V}{10\sqrt{3}} = \frac{2V}{30} = \frac{V}{15}$$

両辺を比較すると$X_L = 15\text{ }\Omega$が得られ、(3)が正解です。

【電験3種・法規】令和8年度上期の過去問題と解説集

令和8年度上期の電験3種試験（理論分野）で出題された過去問題の解き方を解説します。

電験超入門部

2026.11.14

【令和7年下期・問15】並列共振を含むY結線RLC負荷の電流と有効電力

図のように線間電圧$200\text{ V}$，周波数$50\text{ Hz}$の対称三相交流電源に$\text{RLC}$負荷が接続されている。$R = 10\text{ }\Omega$，電源角周波数を$\omega\text{ [rad/s]}$として，$\omega L = 20\text{ }\Omega$，$\dfrac{1}{\omega C} = 20\text{ }\Omega$である。次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a) 電源電流$I$の値$\text{[A]}$として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $5.77$
(2) $7.00$
(3) $11.5$
(4) $14.0$
(5) $22.5$

(b) 三相負荷の有効電力$P$の値$\text{[kW]}$として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $2.6$
(2) $1.3$
(3) $4.0$
(4) $3.5$
(5) $12$

解説

正解は(a)が(3)、(b)が(3)です。

$L$と$C$による並列共振状態を見抜くことがポイントです。

図の三相負荷は$\text{Y}$結線であり、各相は$R$、$L$、$C$の並列回路で構成されています。ここで$\omega L = 20\text{ }\Omega$および$\dfrac{1}{\omega C} = 20\text{ }\Omega$と等しい値です。したがって、$L$と$C$の並列部分は並列共振状態となります。

並列共振時、$L$に流れる遅れ電流と$C$に流れる進み電流は大きさが等しく逆位相です。そのため、電源側から見ると$LC$並列部は開放状態とみなせます。

よって、回路は$1$相あたり抵抗$R = 10\text{ }\Omega$のみの平衡$\text{Y}$結線負荷と等価です。線間電圧が$200\text{ V}$なので、相電圧$V_p\text{ [V]}$と電源電流$I\text{ [A]}$を求めます。

$$V_p = \frac{200}{\sqrt{3}}\text{ [V]}$$ $$I = \frac{V_p}{R} = \frac{200}{\sqrt{3} \times 10} = \frac{20}{\sqrt{3}} \fallingdotseq 11.55\text{ [A]}$$

最も近い値は$11.5$であり、(a)は(3)が正解です。

次に(b)について、三相負荷で消費される有効電力$P\text{ [W]}$を計算します。純抵抗$R = 10\text{ }\Omega$の$\text{Y}$結線負荷であるため、$3$相分の電力は次のとおりです。

$$P = 3 I^2 R = 3 \times \left(\frac{20}{\sqrt{3}}\right)^2 \times 10 = 3 \times \frac{400}{3} \times 10 = 4\,000\text{ [W]} = 4.0\text{ [kW]}$$

したがって、(b)も(3)が正解です。

【令和7年上期・問15】Δ結線電源に接続したY結線負荷の線電流と電源相電流

図のように，相電圧$200\text{ V}$の対称三相交流電源に，複素インピーダンス$\dot{Z} = 5\sqrt{3} + j5\text{ [}\Omega\text{]}$の負荷が$\text{Y}$結線された平衡三相負荷を接続した回路がある。次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a) 電流$\dot{I}_1$の値$\text{[A]}$として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $20.00\angle -\dfrac{\pi}{3}$
(2) $11.55\angle -\dfrac{\pi}{3}$
(3) $16.51\angle -\dfrac{\pi}{6}$
(4) $20.00\angle -\dfrac{\pi}{6}$
(5) $11.55\angle -\dfrac{\pi}{6}$

(b) 電流$\dot{I}_{ab}$の値$\text{[A]}$として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $20.00\angle -\dfrac{\pi}{6}$
(2) $6.67\angle -\dfrac{\pi}{6}$
(3) $11.55\angle -\dfrac{\pi}{6}$
(4) $6.67\angle -\dfrac{\pi}{3}$
(5) $11.55\angle -\dfrac{\pi}{3}$

解説

正解は(a)が(2)、(b)が(2)です。

$\Delta$結線電源の$\text{Y}$等価変換と、節点における線電流・相電流の位相関係がポイントです。

図において、電源の起電力$\dot{E}_a$の矢印は端子$\text{b}$から端子$\text{a}$へ向いています。同様に$\dot{E}_b$は$\text{c}$から$\text{b}$へ、$\dot{E}_c$は$\text{a}$から$\text{c}$へ向く線間電圧です。

線間電圧$\dot{V}_{ab} = \dot{E}_a = 200\angle 0\text{ [V]}$を基準とし、対称三相電源を等価な$\text{Y}$結線電源に変換します。$\text{a}$相の相電圧$\dot{E}_a'\text{ [V]}$は、大きさが$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$倍となり、位相は$\dfrac{\pi}{6}\text{ [rad]}$遅れます。

$$\dot{E}_a' = \frac{200}{\sqrt{3}}\angle -\frac{\pi}{6}\text{ [V]}$$

一方、負荷のインピーダンス$\dot{Z}\text{ [}\Omega\text{]}$を極座標表示で表した結果は次のとおりです。

$$\dot{Z} = 5\sqrt{3} + j5 = \sqrt{(5\sqrt{3})^2 + 5^2}\angle\tan^{-1}\frac{5}{5\sqrt{3}} = 10\angle \frac{\pi}{6}\text{ [}\Omega\text{]}$$

以上より、$\text{a}$相の線電流$\dot{I}_1\text{ [A]}$を計算します。

$$\dot{I}_1 = \frac{\dot{E}_a'}{\dot{Z}} = \frac{\dfrac{200}{\sqrt{3}}\angle -\dfrac{\pi}{6}}{10\angle \dfrac{\pi}{6}} = \frac{20}{\sqrt{3}}\angle -\frac{\pi}{3} \fallingdotseq 11.55\angle -\frac{\pi}{3}\text{ [A]}$$

よって、(a)は(2)が正解です。

次に(b)を求めます。図の端子$\text{a}$は$\dot{I}_{ab}$の流入点であり、流出するのは$\dot{I}_{ca}$と$\dot{I}_1$です。キルヒホッフの第$1$法則より次式が成り立ちます。

$$\dot{I}_1 = \dot{I}_{ab} - \dot{I}_{ca}$$

相順が$\text{a}$、$\text{b}$、$\text{c}$であるため、$\dot{I}_{ca}$は$\dot{I}_{ab}$より$\dfrac{4\pi}{3}\text{ [rad]}$遅れです。すなわち$\dfrac{2\pi}{3}\text{ [rad]}$進みとなり、次のベクトル演算を行えます。

$$\dot{I}_1 = \dot{I}_{ab}\left(1 - 1\angle\frac{2\pi}{3}\right) = \dot{I}_{ab}\left(1 - \left(-\frac{1}{2} + j\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right) = \dot{I}_{ab}\left(\frac{3}{2} - j\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \sqrt{3}\dot{I}_{ab}\angle -\frac{\pi}{6}$$

この式を$\dot{I}_{ab}$について解き、$\dot{I}_1$の値を代入します。

$$\dot{I}_{ab} = \frac{\dot{I}_1}{\sqrt{3}}\angle \frac{\pi}{6} = \frac{11.55}{\sqrt{3}}\angle\left(-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}\right) \fallingdotseq 6.67\angle -\frac{\pi}{6}\text{ [A]}$$

したがって、(b)も(2)が正解です。

【令和6年下期・問15】Δ-Y回路の負荷電流とΔ接続コンデンサによる力率改善

図$1$のように，相電圧$200\text{ V}$，周波数$50\text{ Hz}$の対称三相交流電源に，抵抗とインダクタンスからなる三相平衡負荷を接続した交流回路がある。次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a) 図$1$の回路において，負荷電流$I$の値$\text{[A]}$として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $22.2$
(2) $23.1$
(3) $40$
(4) $66.6$
(5) $69.2$

(b) 図$2$のように，静電容量$C\text{ [F]}$のコンデンサを$\Delta$結線して，その端子$\text{a}'$，$\text{b}'$及び$\text{c}'$をそれぞれ図$1$の端子$\text{a}$，$\text{b}$及び$\text{c}$に接続した。その結果，三相交流電源から見た負荷の力率は$1$になったという。静電容量$C$の値$\text{[F]}$として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $1.9 \times 10^{-6}$
(2) $1.7 \times 10^{-4}$
(3) $2.1 \times 10^{-4}$
(4) $7.4 \times 10^{-4}$
(5) $5.9 \times 10^{-2}$

解説

正解は(a)が(2)、(b)が(2)です。

電源が$\Delta$結線である点に注意し、$1$相分のインピーダンスと無効電力の補償式を立てることがポイントです。

図$1$の電源は相電圧$200\text{ V}$の$\Delta$結線です。そのため、電源の線間電圧は$200\text{ V}$になります。対して負荷は$\text{Y}$結線であるため、負荷$1$相の相電圧は$V_p = \dfrac{200}{\sqrt{3}}\text{ [V]}$です。

まず、誘導性リアクタンス$X_L\text{ [}\Omega\text{]}$と$1$相のインピーダンス$Z\text{ [}\Omega\text{]}$を求めます。

$$X_L = 2\pi f L = 2\pi \times 50 \times 12.75 \times 10^{-3} \fallingdotseq 4.006\text{ [}\Omega\text{]} \fallingdotseq 4\text{ [}\Omega\text{]}$$ $$Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\text{ [}\Omega\text{]}$$

したがって、図$1$の負荷電流$I\text{ [A]}$は次式で求められます。

$$I = \frac{V_p}{Z} = \frac{200}{\sqrt{3} \times 5} = \frac{40}{\sqrt{3}} \fallingdotseq 23.09\text{ [A]}$$

最も近い選択肢は$23.1$であり、(a)は(2)が正解です。

次に(b)を求めます。コンデンサ接続前の誘導性負荷の無効電力$Q_L\text{ [var]}$を計算します。

$$Q_L = 3 I^2 X_L = 3 \times \left(\frac{40}{\sqrt{3}}\right)^2 \times 4.006 = 1\,600 \times 4.006 \fallingdotseq 6\,410\text{ [var]}$$

力率を$1$にするためには、コンデンサの進み無効電力$Q_C\text{ [var]}$を$Q_L$と一致させます。$\Delta$結線コンデンサの各相電圧は線間電圧$V = 200\text{ V}$です。よって、$Q_C$と$C$の関係は次のとおり表せます。

$$Q_C = 3 V^2 \omega C = 3 \times 200^2 \times (2\pi \times 50) \times C = 6\,410$$ $$C = \frac{6\,410}{3 \times 40\,000 \times 100\pi} \fallingdotseq 1.70 \times 10^{-4}\text{ [F]}$$

したがって、(b)も(2)が正解です。

【令和5年下期・問15】Y結線からΔ結線への負荷組換えによる電流と電力の計算

抵抗$R\text{ [}\Omega\text{]}$，誘導性リアクタンス$X\text{ [}\Omega\text{]}$からなる平衡三相負荷（力率$80\text{ \%}$）に対称三相交流電源を接続した交流回路がある。次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a) 図$1$のように，$\text{Y}$結線した平衡三相負荷に線間電圧$210\text{ V}$の三相電圧を加えたとき，回路を流れる線電流$I$は$\dfrac{14}{\sqrt{3}}\text{ A}$であった。負荷の誘導性リアクタンス$X$の値$\text{[}\Omega\text{]}$として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $4$
(2) $5$
(3) $9$
(4) $12$
(5) $15$

(b) 図$1$の各相の負荷を使って$\Delta$結線し，図$2$のように相電圧$200\text{ V}$の対称三相電源に接続した。この平衡三相負荷の全消費電力の値$\text{[kW]}$として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $8$
(2) $11.1$
(3) $13.9$
(4) $19.2$
(5) $33.3$

解説

正解は(a)が(3)、(b)が(4)です。

$\text{Y}$結線でのインピーダンス算出と、$\Delta$結線へ組み換えた際の電源電圧の読み取りがポイントです。

図$1$の$\text{Y}$結線では、線間電圧が$210\text{ V}$と与えられています。そのため、負荷$1$相に加わる相電圧$V_{p1}\text{ [V]}$は$\dfrac{210}{\sqrt{3}}\text{ [V]}$です。また、線電流と相電流は等しくなるので、$1$相のインピーダンスの大きさ$Z\text{ [}\Omega\text{]}$を求めます。

$$Z = \frac{V_{p1}}{I} = \frac{\dfrac{210}{\sqrt{3}}}{\dfrac{14}{\sqrt{3}}} = \frac{210}{14} = 15\text{ [}\Omega\text{]}$$

力率$\cos\phi = 0.8$より、無効率$\sin\phi = \sqrt{1 - 0.8^2} = 0.6$です。よって、誘導性リアクタンス$X\text{ [}\Omega\text{]}$と抵抗$R\text{ [}\Omega\text{]}$は次のとおり求まります。

$$X = Z\sin\phi = 15 \times 0.6 = 9\text{ [}\Omega\text{]}$$ $$R = Z\cos\phi = 15 \times 0.8 = 12\text{ [}\Omega\text{]}$$

以上より、(a)は(3)が正解です。

次に(b)を求めます。図$2$の電源は$\text{Y}$結線で相電圧が$200\text{ V}$と示されています。そのため、電源の線間電圧$V_{\ell 2}\text{ [V]}$は$200\sqrt{3}\text{ [V]}$です。

負荷は$1$相のインピーダンス$Z = 15\text{ }\Omega$（$R = 12\text{ }\Omega$）をそのまま用いた$\Delta$結線です。よって、$\Delta$結線負荷の相電流$I_{p2}\text{ [A]}$と全消費電力$P\text{ [W]}$を順に計算します。

$$I_{p2} = \frac{V_{\ell 2}}{Z} = \frac{200\sqrt{3}}{15}\text{ [A]}$$ $$P = 3 I_{p2}^2 R = 3 \times \left(\frac{200\sqrt{3}}{15}\right)^2 \times 12 = 3 \times \frac{40\,000 \times 3}{225} \times 12 = 19\,200\text{ [W]} = 19.2\text{ [kW]}$$

したがって、(b)は(4)が正解です。

【令和5年上期・問15】単相・三相接続時のY-Δ混成抵抗回路の抵抗と消費電力

図の平衡三相回路について，次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a) 端子$\text{a}$，$\text{c}$に$100\text{ V}$の単相交流電源を接続したところ，回路の消費電力は$200\text{ W}$であった。抵抗$R$の値$\text{[}\Omega\text{]}$として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $0.30$
(2) $30$
(3) $33$
(4) $50$
(5) $83$

(b) 端子$\text{a}$，$\text{b}$，$\text{c}$に線間電圧$200\text{ V}$の対称三相交流電源を接続したときの全消費電力の値$\text{[kW]}$として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $0.48$
(2) $0.80$
(3) $1.2$
(4) $1.6$
(5) $4.0$

解説

正解は(a)が(2)、(b)が(4)です。

単相給電時は端子間の直並列抵抗をそのまま計算し、三相給電時は$\Delta$-$\text{Y}$変換を使うことがポイントです。

(a)では端子$\text{b}$を開放し、端子$\text{a}$、$\text{c}$間に単相電圧$100\text{ V}$を加えます。このとき、中央の$\Delta$部には抵抗$R$の枝路と、抵抗$R + R = 2R$の枝路が並列に入ります。さらにその両端に$\dfrac{R}{2}$が直列接続されるため、$\text{a}$-$\text{c}$間の合成抵抗$R_{ac}\text{ [}\Omega\text{]}$は次のとおりです。

$$R_{ac} = \frac{R}{2} + \frac{R \times 2R}{R + 2R} + \frac{R}{2} = R + \frac{2}{3}R = \frac{5}{3}R\text{ [}\Omega\text{]}$$

消費電力$P_1 = 200\text{ W}$と電源電圧$100\text{ V}$の関係式から$R$を解きます。

$$P_1 = \frac{100^2}{R_{ac}} = \frac{10\,000}{\dfrac{5}{3}R} = 200 \implies R = \frac{3 \times 10\,000}{5 \times 200} = 30\text{ [}\Omega\text{]}$$

よって、(a)は(2)が正解です。

次に(b)を考えます。$\Delta$結線部分の抵抗$R\text{ [}\Omega\text{]}$を等価な$\text{Y}$結線へ変換すると、$1$相あたりの抵抗は$\dfrac{R}{3}\text{ [}\Omega\text{]}$になります。線路側の直列抵抗$\dfrac{R}{2}\text{ [}\Omega\text{]}$と合わせた$1$相の合成抵抗$R_Y\text{ [}\Omega\text{]}$は次のとおりです。

$$R_Y = \frac{R}{2} + \frac{R}{3} = \frac{5}{6}R = \frac{5}{6} \times 30 = 25\text{ [}\Omega\text{]}$$

線間電圧$200\text{ V}$の対称三相電源を接続するため、全消費電力$P_3\text{ [W]}$を相電圧$\dfrac{200}{\sqrt{3}}\text{ [V]}$から求めます。

$$P_3 = 3 \times \frac{\left(\dfrac{200}{\sqrt{3}}\right)^2}{R_Y} = \frac{200^2}{25} = \frac{40\,000}{25} = 1\,600\text{ [W]} = 1.6\text{ [kW]}$$

したがって、(b)は(4)が正解です。

【令和4年下期・問15】Y負荷とΔ負荷が並列接続された三相回路の抵抗と消費電力

図のように，抵抗$6\text{ }\Omega$と誘導性リアクタンス$8\text{ }\Omega$を$\text{Y}$結線し，抵抗$r\text{ [}\Omega\text{]}$を$\Delta$結線した平衡三相負荷に，$200\text{ V}$の対称三相交流電源を接続した回路がある。抵抗$6\text{ }\Omega$と誘導性リアクタンス$8\text{ }\Omega$に流れる電流の大きさを$I_1\text{ [A]}$，抵抗$r\text{ [}\Omega\text{]}$に流れる電流の大きさを$I_2\text{ [A]}$とする。電流$I_1\text{ [A]}$と$I_2\text{ [A]}$の大きさが等しいとき，次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a) 抵抗$r$の値$\text{[}\Omega\text{]}$として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $6.0$
(2) $10.0$
(3) $11.5$
(4) $17.3$
(5) $19.2$

(b) 図中の回路が消費する電力の値$\text{[kW]}$として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $2.4$
(2) $3.1$
(3) $4.0$
(4) $9.3$
(5) $10.9$

解説

正解は(a)が(4)、(b)が(4)です。

$I_1$が$\text{Y}$負荷の相電流（線電流）、$I_2$が$\Delta$負荷の相電流であることを正しく読み取るのがポイントです。

$\text{Y}$負荷の$1$相インピーダンスの大きさ$Z_Y\text{ [}\Omega\text{]}$は$\sqrt{6^2 + 8^2} = 10\text{ }\Omega$になります。線間電圧が$200\text{ V}$なので、$\text{Y}$負荷の相電圧は$\dfrac{200}{\sqrt{3}}\text{ [V]}$です。したがって、電流$I_1\text{ [A]}$は次のとおり求められます。

$$I_1 = \frac{200}{\sqrt{3} \times 10} = \frac{20}{\sqrt{3}}\text{ [A]}$$

一方、図より$I_2$は$\Delta$結線の抵抗$r\text{ [}\Omega\text{]}$に直接流れる相電流です。抵抗$r$には線間電圧$200\text{ V}$がそのまま加わるため、$I_2 = \dfrac{200}{r}\text{ [A]}$と表せます。

条件より$I_1 = I_2$であるため、抵抗$r\text{ [}\Omega\text{]}$を次のとおり算出します。

$$\frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{200}{r} \implies r = 10\sqrt{3} \fallingdotseq 17.32\text{ [}\Omega\text{]}$$

よって、(a)は(4)が正解です。

次に(b)を求めます。回路全体の消費電力$P\text{ [W]}$は、$\text{Y}$負荷の電力$P_Y$と$\Delta$負荷の電力$P_\Delta$の和です。各抵抗で消費される電力を個別に計算して加算します。

$$P_Y = 3 I_1^2 \times 6 = 3 \times \left(\frac{20}{\sqrt{3}}\right)^2 \times 6 = 2\,400\text{ [W]}$$ $$P_\Delta = 3 I_2^2 r = 3 \times \left(\frac{200}{r}\right)^2 r = 3 \times \frac{200^2}{10\sqrt{3}} = \frac{12\,000}{\sqrt{3}} = 4\,000\sqrt{3} \fallingdotseq 6\,928\text{ [W]}$$ $$P = P_Y + P_\Delta = 2\,400 + 6\,928 = 9\,328\text{ [W]} \fallingdotseq 9.3\text{ [kW]}$$

したがって、(b)も(4)が正解です。

【令和4年上期・問15】不平衡Δ抵抗負荷を平衡化するための直列抵抗と力率

図のように，線間電圧$200\text{ V}$の対称三相交流電源に，三相負荷として誘導性リアクタンス$X = 9\text{ }\Omega$の$3$個のコイルと$R\text{ [}\Omega\text{]}$，$20\text{ }\Omega$，$20\text{ }\Omega$，$60\text{ }\Omega$の$4$個の抵抗を接続した回路がある。端子$\text{a}$，$\text{b}$，$\text{c}$から流入する線電流の大きさは等しいものとする。この回路について，次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a) 線電流の大きさが$7.7\text{ A}$，三相負荷の無効電力が$1.6\text{ kvar}$であるとき，三相負荷の力率の値として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $0.5$
(2) $0.6$
(3) $0.7$
(4) $0.8$
(5) $1.0$

(b) $\text{a}$相に接続された$R$の値$\text{[}\Omega\text{]}$として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $4$
(2) $8$
(3) $12$
(4) $40$
(5) $80$

解説

正解は(a)が(4)、(b)が(2)です。

(a)は電力三角形、また(b)は不平衡$\Delta$-$\text{Y}$変換を適用して$3$相の抵抗をそろえることがポイントです。

はじめに(a)を考えます。線間電圧$V = 200\text{ V}$、線電流$I = 7.7\text{ A}$の平衡電流であるため、皮相電力$S\text{ [V}\cdot\text{A]}$は次のとおりです。

$$S = \sqrt{3} V I = \sqrt{3} \times 200 \times 7.7 \fallingdotseq 2\,667.4\text{ [V}\cdot\text{A]}$$

無効電力は$Q = 1.6\text{ kvar} = 1\,600\text{ var}$です。電力三角形の関係$S^2 = P^2 + Q^2$より、有効電力$P\text{ [W]}$と力率$\cos\theta$を求めます。

$$P = \sqrt{S^2 - Q^2} = \sqrt{2\,667.4^2 - 1\,600^2} \fallingdotseq \sqrt{4\,555\,023} \fallingdotseq 2\,134\text{ [W]}$$ $$\cos\theta = \frac{P}{S} \fallingdotseq \frac{2\,134}{2\,667.4} \fallingdotseq 0.800$$

したがって、(a)は(4)が正解です。

次に(b)を求めます。図中の$20\text{ }\Omega$、$20\text{ }\Omega$、$60\text{ }\Omega$の不平衡$\Delta$結線を$\text{Y}$結線に変換します。変換後の各相の抵抗は$R_a'$、$R_b'$、$R_c'\text{ [}\Omega\text{]}$です。

$$R_a' = \frac{20 \times 20}{20 + 20 + 60} = \frac{400}{100} = 4\text{ [}\Omega\text{]}$$ $$R_b' = R_c' = \frac{20 \times 60}{20 + 20 + 60} = \frac{1\,200}{100} = 12\text{ [}\Omega\text{]}$$

図では$3$本すべての線路に同じ$X = 9\text{ }\Omega$があり、$\text{a}$相のみ直列抵抗$R\text{ [}\Omega\text{]}$が入ります。線電流の大きさが等しいため、$R_a' + R$が$R_b'$および$R_c'$と等しい条件です。

$$4 + R = 12 \implies R = 8\text{ [}\Omega\text{]}$$

よって、(b)は(2)が正解です。

【令和元年・問16】Y結線RLC並列三相負荷の電源電流と有効電力

図のように線間電圧$200\text{ V}$，周波数$50\text{ Hz}$の対称三相交流電源に$\text{RLC}$負荷が接続されている。$R = 10\text{ }\Omega$，電源角周波数を$\omega\text{ [rad/s]}$として，$\omega L = 10\text{ }\Omega$，$\dfrac{1}{\omega C} = 20\text{ }\Omega$である。次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a) 電源電流$I$の値$\text{[A]}$として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $7$
(2) $10$
(3) $13$
(4) $17$
(5) $22$

(b) 三相負荷の有効電力の値$\text{[kW]}$として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $1.3$
(2) $2.6$
(3) $3.6$
(4) $4.0$
(5) $12$

解説

正解は(a)が(3)、(b)が(4)です。

本問の回路図は$\text{Y}$結線電源から$\text{Y}$結線の$R$、$L$、$C$並列負荷へ給電する構成です。相ごとの有効電流と無効電流をベクトル合成して求めます。

線間電圧が$200\text{ V}$であるため、$\text{Y}$結線負荷の相電圧は$V_p = \dfrac{200}{\sqrt{3}}\text{ [V]}$です。各並列枝路に流れる電流$I_R$、$I_L$、$I_C\text{ [A]}$の大きさを求めます。

$$I_R = \frac{V_p}{R} = \frac{200}{\sqrt{3} \times 10} = \frac{20}{\sqrt{3}}\text{ [A]}$$ $$I_L = \frac{V_p}{\omega L} = \frac{200}{\sqrt{3} \times 10} = \frac{20}{\sqrt{3}}\text{ [A]}$$ $$I_C = \frac{V_p}{\dfrac{1}{\omega C}} = \frac{200}{\sqrt{3} \times 20} = \frac{10}{\sqrt{3}}\text{ [A]}$$

誘導電流$I_L$は$\dfrac{\pi}{2}\text{ [rad]}$遅れ、容量電流$I_C$は$\dfrac{\pi}{2}\text{ [rad]}$進みます。両者は互いに逆向きであるため、電源電流$I\text{ [A]}$の大きさは次のとおりです。

$$I = \sqrt{I_R^2 + (I_L - I_C)^2} = \sqrt{\left(\frac{20}{\sqrt{3}}\right)^2 + \left(\frac{20}{\sqrt{3}} - \frac{10}{\sqrt{3}}\right)^2} = \frac{\sqrt{400 + 100}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{500}{3}} \fallingdotseq 12.91\text{ [A]}$$

最も近い値は$13$であり、(a)は(3)が正解です。

次に(b)について、有効電力を消費するのは純抵抗$R = 10\text{ }\Omega$のみです。よって、三相有効電力$P\text{ [W]}$は次の式から求まります。

$$P = 3 I_R^2 R = 3 \times \left(\frac{20}{\sqrt{3}}\right)^2 \times 10 = 4\,000\text{ [W]} = 4.0\text{ [kW]}$$

したがって、(b)は(4)が正解です。

【平成30年・問15】3個の単相定電圧源を組み合わせた三相回路の電流と消費電力

図のように，起電力$\dot{E}_a\text{ [V]}$，$\dot{E}_b\text{ [V]}$，$\dot{E}_c\text{ [V]}$をもつ三つの定電圧源に，スイッチ$\text{S}_1$，$\text{S}_2$，$R_1 = 10\text{ }\Omega$及び$R_2 = 20\text{ }\Omega$の抵抗を接続した交流回路がある。次の(a)及び(b)の問に答えよ。
ただし，$\dot{E}_a\text{ [V]}$，$\dot{E}_b\text{ [V]}$，$\dot{E}_c\text{ [V]}$の正の向きはそれぞれ図の矢印のようにとり，これらの実効値は$100\text{ V}$，位相は$\dot{E}_a\text{ [V]}$，$\dot{E}_b\text{ [V]}$，$\dot{E}_c\text{ [V]}$の順に$\dfrac{2}{3}\pi\text{ [rad]}$ずつ遅れているものとする。

(a) スイッチ$\text{S}_2$を開いた状態でスイッチ$\text{S}_1$を閉じたとき，$R_1\text{ [}\Omega\text{]}$の抵抗に流れる電流$\dot{I}_1$の実効値$\text{[A]}$として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $0$
(2) $5.77$
(3) $10.0$
(4) $17.3$
(5) $20.0$

(b) スイッチ$\text{S}_1$を開いた状態でスイッチ$\text{S}_2$を閉じたとき，$R_2\text{ [}\Omega\text{]}$の抵抗で消費される電力の値$\text{[W]}$として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $0$
(2) $500$
(3) $1\,500$
(4) $2\,000$
(5) $4\,500$

解説

正解は(a)が(4)、(b)が(4)です。

定電圧源の直列・逆極性接続から各点の電位を求め、平衡条件$\dot{E}_a + \dot{E}_b + \dot{E}_c = 0$を使うことがポイントです。

図の下側の配線を基準電位$0\text{ V}$にとります。起電力の矢印から、$\dot{E}_b$および$\dot{E}_c$の上側端子電位はそれぞれ$\dot{E}_b$、$\dot{E}_c$です。また、$\dot{E}_a$の下側が$\dot{E}_b$の上側とつながるため、$\dot{E}_a$の上側電位は$\dot{E}_a + \dot{E}_b$になります。

ここで(a)を考えます。$\text{S}_1$を閉じたとき、$R_1 = 10\text{ }\Omega$の左側は$\dot{E}_b$、右側は$\dot{E}_c$の電位です。したがって、$R_1$にかかる電圧$\dot{V}_{R1}\text{ [V]}$は次式で表せます。

$$\dot{V}_{R1} = \dot{E}_b - \dot{E}_c$$

大きさ$100\text{ V}$で位相差が$\dfrac{2}{3}\pi\text{ [rad]}$の差であるため、$|\dot{V}_{R1}| = 100\sqrt{3}\text{ [V]}$です。これにより電流$I_1\text{ [A]}$を計算します。

$$I_1 = \frac{100\sqrt{3}}{10} = 10\sqrt{3} \fallingdotseq 17.32\text{ [A]}$$

最も近い値は$17.3$であり、(a)は(4)が正解です。

次に(b)を求めます。$\text{S}_1$を開き$\text{S}_2$を閉じると、$R_2 = 20\text{ }\Omega$の左側は$\dot{E}_a + \dot{E}_b$、右側は$\dot{E}_c$です。ここで対称三相電源より$\dot{E}_a + \dot{E}_b + \dot{E}_c = 0$が成り立ちます。よって、$\dot{E}_a + \dot{E}_b = -\dot{E}_c$と変形できます。

したがって、$R_2$の端子間電圧$\dot{V}_{R2}\text{ [V]}$の式は次のとおりです。

$$\dot{V}_{R2} = (\dot{E}_a + \dot{E}_b) - \dot{E}_c = -\dot{E}_c - \dot{E}_c = -2\dot{E}_c$$ $$|\dot{V}_{R2}| = 2 \times 100 = 200\text{ [V]}$$

よって、抵抗$R_2$で消費される電力$P_2\text{ [W]}$は次のとおりです。

$$P_2 = \frac{|\dot{V}_{R2}|^2}{R_2} = \frac{200^2}{20} = 2\,000\text{ [W]}$$

したがって、(b)も(4)が正解です。

【平成29年・問16】Y結線RL負荷の消費電力・力率とΔ接続コンデンサ容量の導出

図のように，線間電圧$V\text{ [V]}$，周波数$f\text{ [Hz]}$の対称三相交流電源に，$R\text{ [}\Omega\text{]}$の抵抗とインダクタンス$L\text{ [H]}$のコイルからなる三相平衡負荷を接続した交流回路がある。この回路には，スイッチ$\text{S}$を介して，負荷に静電容量$C\text{ [F]}$の三相平衡コンデンサを接続することができる。次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a) スイッチ$\text{S}$を開いた状態において，$V = 200\text{ V}$，$f = 50\text{ Hz}$，$R = 5\text{ }\Omega$，$L = 5\text{ mH}$のとき，三相負荷全体の有効電力の値$\text{[W]}$と力率の値の組合せとして，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

	有効電力	力率
(1)	$2.29 \times 10^3$	$0.50$
(2)	$7.28 \times 10^3$	$0.71$
(3)	$7.28 \times 10^3$	$0.95$
(4)	$2.18 \times 10^4$	$0.71$
(5)	$2.18 \times 10^4$	$0.95$

(b) スイッチ$\text{S}$を閉じてコンデンサを接続したとき，電源からみた負荷側の力率が$1$になった。
このとき，静電容量$C$の値$\text{[F]}$を示す式として，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
ただし，角周波数を$\omega\text{ [rad/s]}$とする。

(1) $C = \dfrac{L}{R^2 + \omega^2 L^2}$
(2) $C = \dfrac{\omega L}{R^2 + \omega^2 L^2}$
(3) $C = \dfrac{L}{\sqrt{3}(R^2 + \omega^2 L^2)}$
(4) $C = \dfrac{L}{3(R^2 + \omega^2 L^2)}$
(5) $C = \dfrac{\omega L}{3(R^2 + \omega^2 L^2)}$

解説

正解は(a)が(3)、(b)が(4)です。

$\text{Y}$負荷の$1$相計算と、$\Delta$コンデンサの$\text{Y}$変換後のアドミタンス虚部消去がポイントです。

まず(a)で誘導性リアクタンス$X_L\text{ [}\Omega\text{]}$とインピーダンス$Z\text{ [}\Omega\text{]}$を計算します。

$$X_L = 2\pi f L = 2\pi \times 50 \times 5 \times 10^{-3} = 0.5\pi \fallingdotseq 1.571\text{ [}\Omega\text{]}$$ $$Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{5^2 + 1.571^2} \fallingdotseq \sqrt{27.47} \fallingdotseq 5.241\text{ [}\Omega\text{]}$$

よって、力率$\cos\phi$および三相全体の有効電力$P\text{ [W]}$は次のとおり求められます。

$$\cos\phi = \frac{R}{Z} = \frac{5}{5.241} \fallingdotseq 0.954$$ $$P = 3 I^2 R = 3 \left(\frac{V}{\sqrt{3} Z}\right)^2 R = \frac{200^2 \times 5}{27.47} \fallingdotseq 7\,281\text{ [W]} \fallingdotseq 7.28 \times 10^3\text{ [W]}$$

有効電力と力率の組合せより、(a)は(3)が正解です。

次に(b)を求めます。$\Delta$結線のコンデンサ$C\text{ [F]}$を等価な$\text{Y}$結線に変換すると、$1$相の容量は$C_Y = 3C\text{ [F]}$です。一方、$RL$直列負荷のアドミタンス$\dot{Y}_L\text{ [S]}$は次式で表されます。

$$\dot{Y}_L = \frac{1}{R + j\omega L} = \frac{R - j\omega L}{R^2 + \omega^2 L^2} = \frac{R}{R^2 + \omega^2 L^2} - j\frac{\omega L}{R^2 + \omega^2 L^2}\text{ [S]}$$

これに並列となる$\text{Y}$換算コンデンサのアドミタンスは$j\omega C_Y = j3\omega C\text{ [S]}$です。力率が$1$となる条件は全体の虚部が$0$になることであるため、次の関係が成り立ちます。

$$3\omega C = \frac{\omega L}{R^2 + \omega^2 L^2} \implies C = \frac{L}{3(R^2 + \omega^2 L^2)}\text{ [F]}$$

したがって、(b)は(4)が正解です。

【平成28年・問15】三相交流回路における1線断線時の負荷電流比と断線点電圧

図のように，$r\text{ [}\Omega\text{]}$の抵抗$6$個が線間電圧の大きさ$V\text{ [V]}$の対称三相電源に接続されている。$\text{b}$相の$\times$印の位置で断線し，$\text{c}$-$\text{a}$相間が単相状態になったとき，次の(a)及び(b)の問に答えよ。
ただし，電源の線間電圧の大きさ及び位相は，断線によって変化しないものとする。

(a) 図中の電流$I$の大きさ$\text{[A]}$は，断線前の何倍となるか。その倍率として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $0.50$
(2) $0.58$
(3) $0.87$
(4) $1.15$
(5) $1.73$

(b) $\times$印の両側に現れる電圧の大きさ$\text{[V]}$は，電源の線間電圧の大きさ$V\text{ [V]}$の何倍となるか。その倍率として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $0$
(2) $0.58$
(3) $0.87$
(4) $1.00$
(5) $1.15$

解説

正解は(a)が(1)、(b)が(3)です。

断線前後の回路をそれぞれ対称三相等価回路と単相直並列回路に整理することがポイントです。

まず断線前における電流$I_0\text{ [A]}$を求めます。右側の$\Delta$負荷（各辺$r\text{ [}\Omega\text{]}$）を$\text{Y}$変換すると$1$相あたり$\dfrac{r}{3}\text{ [}\Omega\text{]}$です。線路抵抗$r$と合計した$1$相抵抗は$r + \dfrac{r}{3} = \dfrac{4}{3}r\text{ [}\Omega\text{]}$となります。

相電圧は$\dfrac{V}{\sqrt{3}}\text{ [V]}$であるため、断線前の線電流$I_L$および相電流$I_0$は次のとおりです。

$$I_L = \frac{\dfrac{V}{\sqrt{3}}}{\dfrac{4}{3}r} = \frac{\sqrt{3}V}{4r}\text{ [A]}$$ $$I_0 = \frac{I_L}{\sqrt{3}} = \frac{V}{4r}\text{ [A]}$$

次に断線後を考えます。$\text{b}$相が開放されるため、$\text{c}$-$\text{a}$相間に線間電圧$V\text{ [V]}$の単相電源が加わります。$\Delta$部は抵抗$r$と直列枝$2r$の並列となるため、合成抵抗$R_{ca}\text{ [}\Omega\text{]}$は次のとおりです。

$$R_{ca} = r + \frac{r \times 2r}{r + 2r} + r = 2r + \frac{2}{3}r = \frac{8}{3}r\text{ [}\Omega\text{]}$$

全電流$I_a = \dfrac{V}{R_{ca}} = \dfrac{3V}{8r}\text{ [A]}$は並列枝で$2:1$に分流します。電流$I$は$2r$側を通るため、全体の$\dfrac{1}{3}$です。

$$I = \frac{1}{3} I_a = \frac{1}{3} \times \frac{3V}{8r} = \frac{V}{8r} = \frac{1}{2} I_0 = 0.50 I_0\text{ [A]}$$

したがって、(a)は(1)が正解です。

続いて(b)を求めます。断線後の$\text{b}$側抵抗には電流が流れないため、電圧降下は$0\text{ V}$です。そのため、$\times$印の右側の電位は$\Delta$部の頂点$\text{b}'$と同じで、端子$\text{a}$と端子$\text{c}$のちょうど中点電位になります。

一方、$\times$印の左側の電位は電源端子$\text{b}$の電位そのままです。線間電圧$V\text{ [V]}$が作る正三角形において、頂点$\text{b}$から対辺$\text{a}$-$\text{c}$の中点までの距離が$\times$印間の電圧となります。正三角形の高さにあたるため、倍率と値は以下のとおりです。

$$V_{\times} = \frac{\sqrt{3}}{2} V \fallingdotseq 0.866 V \fallingdotseq 0.87 V\text{ [V]}$$

よって、(b)は(3)が正解です。

【平成27年・問17】V結線電源に接続されたY結線RL負荷の電力と力率改善コンデンサ

図のような$\text{V}$結線電源と三相平衡負荷とからなる平衡三相回路において，$R = 5\text{ }\Omega$，$L = 16\text{ mH}$である。また，電源の線間電圧$e_a\text{ [V]}$は，時刻$t\text{ [s]}$において$e_a = 100\sqrt{6}\sin(100\pi t)\text{ [V]}$と表され，線間電圧$e_b\text{ [V]}$は$e_a\text{ [V]}$に対して振幅が等しく，位相が$120^\circ$遅れている。ただし，電源の内部インピーダンスは零である。このとき，次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a) 図の点線で示された配線を切断し，$3$個のコンデンサを三相回路から切り離したとき，三相電力$P$の値$\text{[kW]}$として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $1$
(2) $3$
(3) $6$
(4) $9$
(5) $18$

(b) 点線部を接続することによって同じ特性の$3$個のコンデンサを接続したところ，$i_a$の波形は$e_a$の波形に対して位相が$30^\circ$遅れていた。このときのコンデンサ$C$の静電容量の値$\text{[F]}$として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $3.6 \times 10^{-5}$
(2) $1.1 \times 10^{-4}$
(3) $3.2 \times 10^{-4}$
(4) $9.6 \times 10^{-4}$
(5) $2.3 \times 10^{-3}$

解説

正解は(a)が(2)、(b)が(2)です。

$\text{V}$結線電源が作る対称線間電圧の実効値と、電圧$e_a$と電流$i_a$の位相差$30^\circ$の意味を読み解くことがポイントです。

式$e_a = 100\sqrt{6}\sin(100\pi t)$より、線間電圧の実効値$V\text{ [V]}$と角周波数$\omega\text{ [rad/s]}$を読み取ります。$e_b$は大きさが等しく$120^\circ$遅れているため、電源全体は平衡対称三相電圧を供給しています。

$$V = \frac{100\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = 100\sqrt{3}\text{ [V]}$$ $$\omega = 100\pi\text{ [rad/s]}$$

よって、$\text{Y}$負荷の相電圧は$V_p = \dfrac{100\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 100\text{ [V]}$です。(a)ではコンデンサがないため、$1$相の誘導性リアクタンス$X_L\text{ [}\Omega\text{]}$とインピーダンス$Z\text{ [}\Omega\text{]}$を求めます。

$$X_L = \omega L = 100\pi \times 16 \times 10^{-3} \fallingdotseq 5.027\text{ [}\Omega\text{]}$$ $$Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{5^2 + 5.027^2} \fallingdotseq 7.090\text{ [}\Omega\text{]}$$

したがって、三相電力$P\text{ [W]}$は次のとおりです。

$$P = 3 I^2 R = 3 \times \left(\frac{100}{7.090}\right)^2 \times 5 \fallingdotseq 2\,984\text{ [W]} \fallingdotseq 3\text{ [kW]}$$

よって、(a)は(2)が正解です。

次に(b)を求めます。図中の極性より、$e_a$は電源接続点と$i_a$の流れる$\text{a}$相端子間の線間電圧$V_{ac}$です。また、$e_b$が$e_a$より$120^\circ$遅れるとき、$\text{a}$相の相電圧$\dot{V}_a$は線間電圧$\dot{V}_{ac}$より位相が$30^\circ$遅れます。

設問では$i_a$の波形が$e_a$に対して$30^\circ$遅れています。そのため、$i_a$は相電圧$\dot{V}_a$と同相になり、負荷全体の力率は$1$です。

$\Delta$結線のコンデンサ$C\text{ [F]}$を$\text{Y}$結線に換算すると$C_Y = 3C\text{ [F]}$となります。並列共振（力率$1$）の条件よりサセプタンスを等置して$C$を算出します。

$$\omega (3C) = \frac{X_L}{R^2 + X_L^2} \implies C = \frac{5.027}{3 \times 100\pi \times (5^2 + 5.027^2)} \fallingdotseq 1.06 \times 10^{-4}\text{ [F]}$$

最も近い値は$1.1 \times 10^{-4}$であり、(b)も(2)が正解です。

【平成26年・問16】RL並列Y負荷の電力と無効電力補償用のΔ結線コンデンサ容量

図$1$のように，線間電圧$200\text{ V}$，周波数$50\text{ Hz}$の対称三相交流電源に$1\text{ }\Omega$の抵抗と誘導性リアクタンス$\dfrac{4}{3}\text{ }\Omega$のコイルとの並列回路からなる平衡三相負荷（$\text{Y}$結線）が接続されている。また，スイッチ$\text{S}$を介して，コンデンサ$C$（$\Delta$結線）を接続することができるものとする。次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a) スイッチ$\text{S}$が開いた状態において，三相負荷の有効電力$P$の値$\text{[kW]}$と無効電力$Q$の値$\text{[kvar]}$の組合せとして，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

	$P$	$Q$
(1)	$40$	$30$
(2)	$40$	$53$
(3)	$80$	$60$
(4)	$120$	$90$
(5)	$120$	$160$

(b) 図$2$のように三相負荷のコイルの誘導性リアクタンスを$\dfrac{2}{3}\text{ }\Omega$に置き換え，スイッチ$\text{S}$を閉じてコンデンサ$C$を接続する。このとき，電源からみた有効電力と無効電力が図$1$の場合と同じ値となったとする。コンデンサ$C$の静電容量の値$\text{[}\mu\text{F]}$として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $800$
(2) $1\,200$
(3) $2\,400$
(4) $4\,800$
(5) $7\,200$

解説

正解は(a)が(1)、(b)が(1)です。

$1$相が抵抗とコイルの並列接続であるため、相電圧から$P$と$Q$を独立して計算できる点がポイントです。

まず(a)を考えます。線間電圧が$V = 200\text{ V}$の対称三相電源であるため、$\text{Y}$負荷の相電圧は$V_p = \dfrac{200}{\sqrt{3}}\text{ [V]}$です。抵抗とコイルが並列なので、有効電力$P\text{ [W]}$と遅れ無効電力$Q\text{ [var]}$は次式で求められます。

$$P = 3 \frac{V_p^2}{R} = 3 \times \frac{\left(\dfrac{200}{\sqrt{3}}\right)^2}{1} = 200^2 = 40\,000\text{ [W]} = 40\text{ [kW]}$$ $$Q = 3 \frac{V_p^2}{X_L} = 3 \times \frac{\left(\dfrac{200}{\sqrt{3}}\right)^2}{\dfrac{4}{3}} = \frac{200^2}{\dfrac{4}{3}} = 30\,000\text{ [var]} = 30\text{ [kvar]}$$

したがって、(a)は(1)が正解です。

次に(b)を求めます。図$2$における誘導性リアクタンスは元の半分の$X_L' = \dfrac{2}{3}\text{ }\Omega$です。そのため、コイルの遅れ無効電力$Q_L'\text{ [var]}$は$2$倍の$60\text{ kvar}$になります。

電源側の無効電力を図$1$と同じ$30\text{ kvar}$に保つことが条件です。よって$\Delta$結線コンデンサで進み無効電力$Q_C\text{ [var]}$を補償します。

$$Q_C = Q_L' - Q = 60 - 30 = 30\text{ [kvar]} = 30\,000\text{ [var]}$$

$\Delta$結線の各コンデンサに加わるのは線間電圧$V = 200\text{ V}$です。この電圧と$Q_C = 3V^2 \omega C$の関係から$C\text{ [F]}$を求めます。

$$C = \frac{Q_C}{3 V^2 \omega} = \frac{30\,000}{3 \times 200^2 \times 2\pi \times 50} = \frac{1}{400\pi} \fallingdotseq 7.96 \times 10^{-4}\text{ [F]} = 796\text{ [}\mu\text{F]}$$

最も近い選択肢は$800$であり、(b)も(1)が正解です。

【平成25年・問15】Δ電源・Y負荷の有効電力とΔ結線コンデンサによる力率改善

図$1$のように，周波数$50\text{ [Hz]}$，電圧$200\text{ [V]}$の対称三相交流電源に，インダクタンス$7.96\text{ [mH]}$のコイルと$6\text{ [}\Omega\text{]}$の抵抗からなる平衡三相負荷を接続した交流回路がある。次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a) 図$1$において，三相負荷が消費する有効電力$P\text{ [W]}$の値として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $1\,890$
(2) $3\,280$
(3) $4\,020$
(4) $5\,680$
(5) $9\,840$

(b) 図$2$のように，静電容量$C\text{ [F]}$のコンデンサを$\Delta$結線し，その端子$\text{a}'$，$\text{b}'$及び$\text{c}'$をそれぞれ図$1$の端子$\text{a}$，$\text{b}$及び$\text{c}$に接続した。その結果，三相交流電源からみた負荷の力率が$1$になった。静電容量$C\text{ [F]}$の値として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $6.28 \times 10^{-5}$
(2) $8.88 \times 10^{-5}$
(3) $1.08 \times 10^{-4}$
(4) $1.26 \times 10^{-4}$
(5) $1.88 \times 10^{-4}$

解説

正解は(a)が(4)、(b)が(1)です。

$\Delta$電源のため線間電圧が$200\text{ V}$である点を押さえ、$\text{Y}$負荷の$1$相計算を進めることがポイントです。

まず(a)について、コイルの誘導性リアクタンス$X_L\text{ [}\Omega\text{]}$と$1$相インピーダンスの大きさ$Z\text{ [}\Omega\text{]}$を求めます。

$$X_L = 2\pi f L = 2\pi \times 50 \times 7.96 \times 10^{-3} \fallingdotseq 2.501\text{ [}\Omega\text{]} \fallingdotseq 2.5\text{ [}\Omega\text{]}$$ $$Z^2 = R^2 + X_L^2 = 6^2 + 2.5^2 = 36 + 6.25 = 42.25\text{ [}\Omega^2\text{]}$$

図$1$の電源は$\Delta$結線であり、負荷側の線間電圧は$V = 200\text{ V}$です。$\text{Y}$負荷の相電圧$V_p = \dfrac{200}{\sqrt{3}}\text{ [V]}$を用いて、三相有効電力$P\text{ [W]}$を計算します。

$$P = 3 I^2 R = 3 \times \frac{V_p^2}{Z^2} \times R = \frac{200^2 \times 6}{42.25} = \frac{240\,000}{42.25} \fallingdotseq 5\,680\text{ [W]}$$

したがって、(a)は(4)が正解です。

次に(b)を求めます。電源から見た力率を$1$にするには、無効電力の打ち消しが必要です。$\text{Y}$負荷の遅れ無効電力$Q_L\text{ [var]}$と$\Delta$コンデンサの進み無効電力$Q_C\text{ [var]}$を一致させます。

$$Q_L = 3 I^2 X_L = \frac{200^2 \times 2.5}{42.25} \fallingdotseq 2\,366.9\text{ [var]}$$ $$Q_C = 3 V^2 \omega C = 3 \times 200^2 \times 100\pi \times C = 2\,366.9$$ $$C = \frac{2.5}{3 \times 100\pi \times 42.25} \fallingdotseq 6.28 \times 10^{-5}\text{ [F]}$$

よって、(b)は(1)が正解です。

【平成24年・問16】Δ結線対称電源に接続したY結線負荷の線電流とΔ電源電流

図のように，相電圧$200\text{ [V]}$の対称三相交流電源に，複素インピーダンス$\dot{Z} = 5\sqrt{3} + j5\text{ [}\Omega\text{]}$の負荷が$\text{Y}$結線された平衡三相負荷を接続した回路がある。次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a) 電流$\dot{I}_1\text{ [A]}$の値として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $20.00\angle -\dfrac{\pi}{3}$
(2) $20.00\angle -\dfrac{\pi}{6}$
(3) $16.51\angle -\dfrac{\pi}{6}$
(4) $11.55\angle -\dfrac{\pi}{3}$
(5) $11.55\angle -\dfrac{\pi}{6}$

(b) 電流$\dot{I}_{ab}\text{ [A]}$の値として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $20.00\angle -\dfrac{\pi}{6}$
(2) $11.55\angle -\dfrac{\pi}{3}$
(3) $11.55\angle -\dfrac{\pi}{6}$
(4) $6.67\angle -\dfrac{\pi}{3}$
(5) $6.67\angle -\dfrac{\pi}{6}$

解説

正解は(a)が(4)、(b)が(5)です。

$\Delta$電源から$\text{Y}$電源への変換に伴う$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$倍と位相遅れ$\dfrac{\pi}{6}\text{ [rad]}$の扱いがポイントです。

線間電圧$\dot{E}_a = 200\angle 0\text{ [V]}$は端子$\text{b}$から端子$\text{a}$の向きを表します。この電圧を等価な$\text{Y}$電源へ変換した相電圧$\dot{E}_a'\text{ [V]}$は次のとおりです。

$$\dot{E}_a' = \frac{200}{\sqrt{3}}\angle -\frac{\pi}{6}\text{ [V]}$$

負荷の複素インピーダンスを極座標表示で表すと、$\dot{Z} = 5\sqrt{3} + j5 = 10\angle \dfrac{\pi}{6}\text{ [}\Omega\text{]}$になります。よって、$\text{a}$相の線電流$\dot{I}_1\text{ [A]}$は次のとおり算出されます。

$$\dot{I}_1 = \frac{\dot{E}_a'}{\dot{Z}} = \frac{\dfrac{200}{\sqrt{3}}\angle -\dfrac{\pi}{6}}{10\angle \dfrac{\pi}{6}} \fallingdotseq 11.55\angle -\frac{\pi}{3}\text{ [A]}$$

したがって、(a)は(4)が正解です。

次に(b)を求めます。端子$\text{a}$において電流の和をとると$\dot{I}_1 = \dot{I}_{ab} - \dot{I}_{ca}$です。対称三相交流では$\dot{I}_{ca} = \dot{I}_{ab}\angle \dfrac{2\pi}{3}$となるため、両者の関係式が得られます。

$$\dot{I}_1 = \sqrt{3}\dot{I}_{ab}\angle -\frac{\pi}{6}$$ $$\dot{I}_{ab} = \frac{\dot{I}_1}{\sqrt{3}}\angle \frac{\pi}{6} = \frac{11.55}{\sqrt{3}}\angle\left(-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}\right) \fallingdotseq 6.67\angle -\frac{\pi}{6}\text{ [A]}$$

よって、(b)は(5)が正解です。

【平成23年・問15】線路リアクタンスと並列RC負荷からなる三相回路の力率改善と端子電圧

図のように，$R\text{ [}\Omega\text{]}$の抵抗，静電容量$C\text{ [F]}$のコンデンサ，インダクタンス$L\text{ [H]}$のコイルからなる平衡三相負荷に線間電圧$V\text{ [V]}$の対称三相交流電源を接続した回路がある。次の(a)及び(b)の問に答えよ。
ただし，交流電源電圧の角周波数は$\omega\text{ [rad/s]}$とする。

(a) 三相電源からみた平衡三相負荷の力率が$1$になったとき，インダクタンス$L\text{ [H]}$のコイルと静電容量$C\text{ [F]}$のコンデンサの関係を示す式として，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $L = \dfrac{3C^2R^2}{1 + 9(\omega CR)^2}$
(2) $L = \dfrac{3CR^2}{1 + 9(\omega CR)^2}$
(3) $L = \dfrac{3C^2R}{1 + 9(\omega CR)^2}$
(4) $L = \dfrac{9CR^2}{1 + 9(\omega CR)^2}$
(5) $L = \dfrac{R}{1 + 9(\omega CR)^2}$

(b) 平衡三相負荷の力率が$1$になったとき，静電容量$C\text{ [F]}$のコンデンサの端子電圧$\text{[V]}$の値を示す式として，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $\sqrt{3}V\sqrt{1 + 9(\omega CR)^2}$
(2) $V\sqrt{1 + 9(\omega CR)^2}$
(3) $\dfrac{V\sqrt{1 + 9(\omega CR)^2}}{\sqrt{3}}$
(4) $\dfrac{\sqrt{3}V}{\sqrt{1 + 9(\omega CR)^2}}$
(5) $\dfrac{V}{\sqrt{1 + 9(\omega CR)^2}}$

解説

正解は(a)が(2)、(b)が(2)です。

$\Delta$接続のコンデンサを$\text{Y}$変換し、$1$相分の直並列インピーダンスの虚部を$0$にすることがポイントです。

はじめに$\Delta$結線の静電容量$C\text{ [F]}$を等価な$\text{Y}$結線に変換すると、$1$相の容量は$3C\text{ [F]}$になります。この$3C$と抵抗$R$が並列接続された部分のインピーダンス$\dot{Z}_p\text{ [}\Omega\text{]}$を求めます。

$$\dot{Z}_p = \frac{1}{\dfrac{1}{R} + j3\omega C} = \frac{R}{1 + j3\omega CR} = \frac{R - j3\omega CR^2}{1 + 9(\omega CR)^2}\text{ [}\Omega\text{]}$$

回路全体の$1$相分合成インピーダンス$\dot{Z}\text{ [}\Omega\text{]}$は、コイルのリアクタンス$j\omega L$を直列に加えた式です。

$$\dot{Z} = j\omega L + \dot{Z}_p = \frac{R}{1 + 9(\omega CR)^2} + j\left(\omega L - \frac{3\omega CR^2}{1 + 9(\omega CR)^2}\right)\text{ [}\Omega\text{]}$$

(a)では電源から見た力率が$1$であるため、$\dot{Z}$の虚部が$0$になります。

$$\omega L = \frac{3\omega CR^2}{1 + 9(\omega CR)^2} \implies L = \frac{3CR^2}{1 + 9(\omega CR)^2}$$

よって、(a)は(2)が正解です。

次に(b)を求めます。力率が$1$のとき、合成インピーダンスは実部のみとなり、電源の相電圧$\dfrac{V}{\sqrt{3}}\text{ [V]}$から線電流$I\text{ [A]}$が求まります。

$$I = \frac{\dfrac{V}{\sqrt{3}}}{\dfrac{R}{1 + 9(\omega CR)^2}} = \frac{V\left\{1 + 9(\omega CR)^2\right\}}{\sqrt{3} R}\text{ [A]}$$

コンデンサの端子電圧は$\Delta$負荷側の線間電圧$V_C\text{ [V]}$に相当します。ここで並列部インピーダンスの大きさは$|\dot{Z}_p| = \dfrac{R}{\sqrt{1 + 9(\omega CR)^2}}$です。したがって$V_C$の計算式は次のとおりです。

$$V_C = \sqrt{3} I |\dot{Z}_p| = \sqrt{3} \times \frac{V\left\{1 + 9(\omega CR)^2\right\}}{\sqrt{3} R} \times \frac{R}{\sqrt{1 + 9(\omega CR)^2}} = V\sqrt{1 + 9(\omega CR)^2}\text{ [V]}$$

したがって、(b)も(2)が正解です。

【平成22年・問9】Y-Y結線平衡三相抵抗回路における電圧・電流・電力の関係

$\text{Y}$結線の対称三相交流電源に$\text{Y}$結線の平衡三相抵抗負荷を接続した場合を考える。負荷側における線間電圧を$V_\ell\text{ [V]}$，線電流を$I_\ell\text{ [A]}$，相電圧を$V_p\text{ [V]}$，相電流を$I_p\text{ [A]}$，各相の抵抗を$R\text{ [}\Omega\text{]}$，三相負荷の消費電力を$P\text{ [W]}$とする。このとき，誤っているのは次のうちどれか。

(1) $V_\ell = \sqrt{3}V_p$が成り立つ。
(2) $I_\ell = I_p$が成り立つ。
(3) $I_\ell = \dfrac{V_p}{R}$が成り立つ。
(4) $P = \sqrt{3}V_p I_p$が成り立つ。
(5) 電源と負荷の中性点を中性線で接続しても，中性線に電流は流れない。

解説

正解は(4)です。

$\text{Y}$-$\text{Y}$結線における線間の値と相の値の換算係数および電力式がポイントです。

$\text{Y}$結線の平衡三相回路では、線間電圧$V_\ell$は相電圧$V_p$の$\sqrt{3}$倍、線電流$I_\ell$は相電流$I_p$と等しくなります。さらに負荷は各相純抵抗$R\text{ [}\Omega\text{]}$であるため、相電流の大きさは$\dfrac{V_p}{R}$です。したがって、(1)、(2)、(3)の記述はいずれも正しい内容です。

また、各相の電流は大きさが等しく位相が$\dfrac{2\pi}{3}\text{ [rad]}$ずつずれているため、ベクトル和は$0\text{ A}$となります。よって中性線に電流は流れず、(5)も正しい記述です。

一方、三相負荷の消費電力$P\text{ [W]}$（力率$1$）は、$1$相電力の$3$倍として次式で表されます。

$$P = 3 V_p I_p = 3 \times \frac{V_\ell}{\sqrt{3}} \times I_\ell = \sqrt{3} V_\ell I_\ell\text{ [W]}$$

選択肢(4)は相電圧$V_p$と相電流$I_p$のまま係数を$\sqrt{3}$としているため誤りです。

【平成22年・問15】単相・三相給電時におけるY-Δ混成抵抗負荷の抵抗値と全消費電力

図の平衡三相回路について，次の(a)及び(b)に答えよ。

(a) 端子$\text{a}$，$\text{c}$に$100\text{ [V]}$の単相交流電源を接続したところ，回路の消費電力は$200\text{ [W]}$であった。抵抗$R\text{ [}\Omega\text{]}$の値として，正しいのは次のうちどれか。

(1) $0.30$
(2) $30$
(3) $33$
(4) $50$
(5) $83$

(b) 端子$\text{a}$，$\text{b}$，$\text{c}$に線間電圧$200\text{ [V]}$の対称三相交流電源を接続したときの全消費電力$\text{[kW]}$の値として，正しいのは次のうちどれか。

(1) $0.48$
(2) $0.80$
(3) $1.2$
(4) $1.6$
(5) $4.0$

解説

正解は(a)が(2)、(b)が(4)です。

端子$\text{a}$-$\text{c}$間の合成抵抗と、三相接続における$\Delta$-$\text{Y}$等価変換の使い分けがポイントです。

(a)では端子$\text{b}$が開放されるため、$\Delta$結線部分の抵抗は$R$と$R + R = 2R$の並列回路になります。これに両側の線路抵抗$\dfrac{R}{2}$を加えた$\text{a}$-$\text{c}$間の合成抵抗$R_{ac}\text{ [}\Omega\text{]}$は次のとおりです。

$$R_{ac} = \frac{R}{2} + \frac{R \times 2R}{R + 2R} + \frac{R}{2} = \frac{5}{3}R\text{ [}\Omega\text{]}$$

単相電圧$100\text{ V}$で消費電力が$200\text{ W}$であるため、$R$の値を求めます。

$$\frac{100^2}{\dfrac{5}{3}R} = 200 \implies R = \frac{3 \times 10\,000}{5 \times 200} = 30\text{ [}\Omega\text{]}$$

よって、(a)は(2)が正解です。

次に(b)について、$\Delta$負荷（各相$R = 30\text{ }\Omega$）を等価な$\text{Y}$負荷に変換すると$1$相は$\dfrac{R}{3} = 10\text{ }\Omega$です。線路の$\dfrac{R}{2} = 15\text{ }\Omega$と合計した$1$相あたりの抵抗$R_Y\text{ [}\Omega\text{]}$は$25\text{ }\Omega$になります。

線間電圧$200\text{ V}$に対する相電圧は$\dfrac{200}{\sqrt{3}}\text{ [V]}$です。したがって、全消費電力$P\text{ [W]}$は次のとおり求められます。

$$P = 3 \times \frac{\left(\dfrac{200}{\sqrt{3}}\right)^2}{25} = \frac{40\,000}{25} = 1\,600\text{ [W]} = 1.6\text{ [kW]}$$

したがって、(b)は(4)が正解です。

【平成21年・問16】線路インピーダンスとΔ結線平衡負荷からなる三相回路の線電流と相電流

平衡三相回路について，次の(a)及び(b)に答えよ。

(a) 図$1$のように，抵抗$R\text{ [}\Omega\text{]}$が接続された平衡三相負荷に線間電圧$E\text{ [V]}$の対称三相交流電源を接続した。このとき，図$1$に示す電流$\dot{I}_1\text{ [A]}$の大きさの値を表す式として，正しいのは次のうちどれか。

(1) $\dfrac{E}{4\sqrt{3}R}$
(2) $\dfrac{E}{4R}$
(3) $\dfrac{\sqrt{3}E}{4R}$
(4) $\dfrac{\sqrt{3}E}{R}$
(5) $\dfrac{4E}{\sqrt{3}R}$

(b) 次に，図$1$を図$2$のように，抵抗$R\text{ [}\Omega\text{]}$をインピーダンス$\dot{Z} = 12 + j9\text{ [}\Omega\text{]}$の負荷に置き換え，線間電圧$E = 200\text{ [V]}$とした。このとき，図$2$に示す電流$\dot{I}_2\text{ [A]}$の大きさの値として，最も近いのは次のうちどれか。

(1) $2.5$
(2) $3.3$
(3) $4.4$
(4) $5.8$
(5) $7.7$

解説

正解は(a)が(3)、(b)が(2)です。

線路の直列負荷と$\Delta$結線負荷の$\text{Y}$等価変換、および$\Delta$負荷内における相電流への換算がポイントです。

図$1$の$\Delta$結線された各辺の抵抗$R\text{ [}\Omega\text{]}$を$\text{Y}$結線へ変換すると、$1$相の抵抗は$\dfrac{R}{3}\text{ [}\Omega\text{]}$になります。これと各線路の直列抵抗$R\text{ [}\Omega\text{]}$が直列になるため、$1$相全体の合成抵抗$R_Y\text{ [}\Omega\text{]}$は次のとおりです。

$$R_Y = R + \frac{R}{3} = \frac{4}{3}R\text{ [}\Omega\text{]}$$

線間電圧が$E\text{ [V]}$であるため、相電圧は$\dfrac{E}{\sqrt{3}}\text{ [V]}$となります。よって、線電流の大きさ$I_1\text{ [A]}$は次式で求められます。

$$I_1 = \frac{\dfrac{E}{\sqrt{3}}}{\dfrac{4}{3}R} = \frac{3E}{4\sqrt{3}R} = \frac{\sqrt{3}E}{4R}\text{ [A]}$$

したがって、(a)は(3)が正解です。

次に(b)を求めます。インピーダンス$\dot{Z} = 12 + j9\text{ [}\Omega\text{]}$の大きさ$Z\text{ [}\Omega\text{]}$は$\sqrt{12^2 + 9^2} = 15\text{ }\Omega$です。図$1$と同様に$1$相の等価$\text{Y}$インピーダンスの大きさ$Z_Y\text{ [}\Omega\text{]}$と線電流の大きさ$I_L\text{ [A]}$を算出します。

$$Z_Y = \frac{4}{3}Z = \frac{4}{3} \times 15 = 20\text{ [}\Omega\text{]}$$ $$I_L = \frac{\dfrac{200}{\sqrt{3}}}{20} = \frac{10}{\sqrt{3}}\text{ [A]}$$

図$2$に示される$\dot{I}_2$は、線電流ではなく$\Delta$負荷の$1$辺を流れる相電流です。そのため、大きさは線電流$I_L$の$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$倍となります。

$$I_2 = \frac{I_L}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{10}{3} \fallingdotseq 3.33\text{ [A]}$$

最も近い選択肢は$3.3$であり、(b)は(2)が正解です。