【電験3種・理論】頻出問題「RLC直列・並列共振回路」の過去問解説

電験3種（理論）の頻出問題である「RLC直列・並列共振回路」について解説します。

「RLC直列・並列共振回路」の攻略ポイント

電験3種の理論科目では、RLC直列・並列共振回路の計算や論説問題が頻出です。
誘導性リアクタンスと容量性リアクタンスが等しくなる共振条件を基準に考えます。

周波数変化によるインピーダンスや位相の推移を整理しておくことが大切です。

基本公式とポイント

RLC直列・並列共振回路の計算や特性判定で重要な基本公式とポイントを以下の表にまとめました。

項目	基本公式	ポイント
RLC直列共振の条件と特徴	・共振条件：$\omega_0 L = \dfrac{1}{\omega_0 C}$（$\omega_0^2 LC = 1$） ・共振周波数：$f_0 = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\text{ [Hz]}$ ・共振時インピーダンス：$Z_0 = R\text{ [}\Omega\text{]}$（最小）	・共振時は電源電流が最大（$I_0 = \dfrac{V}{R}$）となり電源電圧と同相になる ・$\dot{V}_L + \dot{V}_C = \dot{0}$となるが各素子の電圧の大きさ$V_L = V_C$は$0$ではない ・$f < f_0$では容量性（電流進み）、$f > f_0$では誘導性（電流遅れ）となる
RLC並列共振の条件と特徴	・共振条件：$\omega_0 C = \dfrac{1}{\omega_0 L}$（$\omega_0^2 LC = 1$） ・共振周波数：$f_0 = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\text{ [Hz]}$ ・共振時アドミタンス：$Y_0 = \dfrac{1}{R}\text{ [S]}$（最小）	・共振時はインピーダンスが最大となり電源電流が最小（力率$1$）になる ・$\dot{I}_L + \dot{I}_C = \dot{0}$となるがコイルとコンデンサには大きさ$I_L = I_C$の電流が流れる ・$f < f_0$では誘導性（電流遅れ）、$f > f_0$では容量性（電流進み）となる
共振回路の選択度と電圧拡大率$Q$	・直列共振時：$Q = \dfrac{\omega_0 L}{R} = \dfrac{1}{\omega_0 CR} = \dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L}{C}}$ ・素子電圧：$V_L = V_C = Q V$（電源電圧$V$の$Q$倍）	・共振時のコイルやコンデンサの両端には電源電圧より高い電圧が生じる ・電圧比$\dfrac{V_L}{V_R} = \dfrac{\omega_0 L}{R} = Q$の関係から共振周波数を逆算する問題が多い
コイルの内部抵抗を含む並列等価変換	・直列インピーダンス：$\dot{Z} = r + j\omega L\text{ [}\Omega\text{]}$ ・$r \ll \omega L$のときの並列等価抵抗：$R_{\text{p}} \fallingdotseq \dfrac{(\omega L)^2}{r}\text{ [}\Omega\text{]}$	・アドミタンス$\dot{Y} = \dfrac{1}{r + j\omega L} = \dfrac{r - j\omega L}{r^2 + (\omega L)^2}$を有理化して実部を比較する ・コンデンサと並列接続する問題では$r \ll \omega L$より$r^2 + (\omega L)^2 \fallingdotseq (\omega L)^2$と近似する
直並列複合回路の共振条件	・並列部のみ共振（開放状態）：$\dot{Z}_{\text{p}} \to \infty$（並列共振） ・回路全体の虚部が$0$：$\mathrm{Im}(\dot{Z}) = 0$（直列共振）	・並列部のみの共振角周波数と全体の虚部が$0$になる角周波数を分けて求める ・合成リアクタンスやアドミタンスを文字式のまま整理すると見通しがよい

【令和6年上期・問8】2つのLC直列共振回路を直列接続した際の共振周波数の大小関係

図のように、二つの$LC$直列共振回路$\text{A}$、$\text{B}$があり、それぞれの共振周波数が$f_{\text{A}}\text{ [Hz]}$、$f_{\text{B}}\text{ [Hz]}$である。これら$\text{A}$、$\text{B}$をさらに直列に接続した場合、全体としての共振周波数が$f_{\text{AB}}\text{ [Hz]}$になった。$f_{\text{A}}$、$f_{\text{B}}$及び$f_{\text{AB}}$の大小関係として、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $f_{\text{A}} < f_{\text{B}} < f_{\text{AB}}$
(2) $f_{\text{A}} < f_{\text{AB}} < f_{\text{B}}$
(3) $f_{\text{B}} < f_{\text{AB}} < f_{\text{A}}$
(4) $f_{\text{AB}} < f_{\text{A}} < f_{\text{B}}$
(5) $f_{\text{AB}} < f_{\text{B}} < f_{\text{A}}$

解説

正解は(3)です。

$LC$直列回路の合成値と共振条件$\omega_0^2 LC = 1$がポイントになります。

まず、回路$\text{A}$と回路$\text{B}$の共振周波数$f_{\text{A}}$、$f_{\text{B}}$を式で表します。
いずれも直列共振の公式$f_0 = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$を適用可能です。

$$f_{\text{A}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\text{ [Hz]}$$ $$f_{\text{B}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{2LC}} = \frac{1}{\sqrt{2}} f_{\text{A}} \fallingdotseq 0.707 f_{\text{A}}\text{ [Hz]}$$

次に、全体の合成インダクタンス$L_{\text{AB}}$と合成容量$C_{\text{AB}}$を求めます。
直列のため$L$は和になり、$C$は逆数の和の逆数です。

$$L_{\text{AB}} = L + 2L = 3L\text{ [H]}$$ $$C_{\text{AB}} = \frac{C \cdot C}{C + C} = \frac{C}{2}\text{ [F]}$$

これより、直列回路全体の共振周波数$f_{\text{AB}}\text{ [Hz]}$を算出できます。

$$f_{\text{AB}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_{\text{AB}} C_{\text{AB}}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{3L \cdot \dfrac{C}{2}}} = \sqrt{\frac{2}{3}} f_{\text{A}} \fallingdotseq 0.816 f_{\text{A}}\text{ [Hz]}$$

係数は$\dfrac{1}{\sqrt{2}} < \sqrt{\dfrac{2}{3}} < 1$の順で大きくなります。
したがって、求める大小関係は$f_{\text{B}} < f_{\text{AB}} < f_{\text{A}}$です。

【令和6年上期・問13】内部抵抗をもつコイルを含む並列共振回路の等価並列抵抗

図$1$は、静電容量$C\text{ [F]}$のコンデンサとコイルからなる共振回路の等価回路である。このようにコイルに内部抵抗$r\text{ [}\Omega\text{]}$が存在する場合は、インダクタンス$L\text{ [H]}$と抵抗$r\text{ [}\Omega\text{]}$の直列回路として表すことができる。この直列回路は、コイルの抵抗$r\text{ [}\Omega\text{]}$が、誘導性リアクタンス$\omega L\text{ [}\Omega\text{]}$に比べて十分小さいものとすると、図$2$のように、等価抵抗$R_{\text{p}}\text{ [}\Omega\text{]}$とインダクタンス$L\text{ [H]}$の並列回路に変換することができる。このときの等価抵抗$R_{\text{p}}\text{ [}\Omega\text{]}$の値を表す式として、正しいのは次のうちどれか。
ただし、$I_{\text{c}}\text{ [A]}$は電流源の電流を表す。

(1) $\dfrac{\omega L}{r}$
(2) $\dfrac{r}{(\omega L)^2}$
(3) $\dfrac{(\omega L)^2}{r}$
(4) $\dfrac{r^2}{\omega L}$
(5) $r(\omega L)^2$

解説

正解は(3)です。

図$1$のコイル枝と図$2$の並列枝で複素アドミタンスを比較します。

まず、図$1$における$r$と$L$の直列枝のアドミタンス$\dot{Y}_1\text{ [S]}$を求めます。
分母と分子に共役複素数を掛けて実部と虚部に分けると便利です。

$$\dot{Y}_1 = \frac{1}{r + j\omega L} = \frac{r - j\omega L}{r^2 + (\omega L)^2}\text{ [S]}$$

ここで$r \ll \omega L$のため、$r^2 + (\omega L)^2 \fallingdotseq (\omega L)^2$と近似します。

$$\dot{Y}_1 \fallingdotseq \frac{r - j\omega L}{(\omega L)^2} = \frac{r}{(\omega L)^2} - j\frac{1}{\omega L}\text{ [S]}$$

一方、図$2$における並列枝のアドミタンス$\dot{Y}_2\text{ [S]}$は次式のとおりです。

$$\dot{Y}_2 = \frac{1}{R_{\text{p}}} + \frac{1}{j\omega L} = \frac{1}{R_{\text{p}}} - j\frac{1}{\omega L}\text{ [S]}$$

$\dot{Y}_1$と$\dot{Y}_2$の実部を比較すると、$\dfrac{1}{R_{\text{p}}} = \dfrac{r}{(\omega L)^2}$が成り立ちます。
よって、等価並列抵抗は$R_{\text{p}} = \dfrac{(\omega L)^2}{r}$です。

【令和5年下期・問8】RLC直列共振回路におけるインダクタ端子電圧からの共振周波数計算

図のような交流回路において、電源の周波数を変化させたところ、共振時のインダクタンス$L$の端子電圧$V_L$は$314\text{ V}$であった。共振周波数の値$[\text{kHz}]$として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $2.0$
(2) $2.5$
(3) $3.0$
(4) $3.5$
(5) $4.0$

解説

正解は(2)です。

RLC直列共振時はリアクタンス成分が打ち消し合います。
その結果、回路全体のインピーダンスは抵抗$R$に等しいです。

まず、共振時に回路へ流れる電流$I_0\text{ [A]}$を計算します。

$$I_0 = \frac{V}{R} = \frac{1}{0.5} = 2\text{ [A]}$$

次に、共振周波数$f_0\text{ [Hz]}$における端子電圧$V_L\text{ [V]}$は次のとおりです。

$$V_L = \omega_0 L I_0 = 2\pi f_0 L I_0\text{ [V]}$$

数値を代入するため、$L = 10\text{ mH} = 10 \times 10^{-3}\text{ H}$へ単位を揃えます。
これと$V_L = 314\text{ V}$、$I_0 = 2\text{ A}$を代入した式は次のとおりです。

$$f_0 = \frac{V_L}{2\pi L I_0} \fallingdotseq \frac{314}{2 \times 3.14 \times 10 \times 10^{-3} \times 2} = \frac{50}{2 \times 10^{-2}} = 2500\text{ [Hz]} = 2.5\text{ [kHz]}$$

以上より、共振周波数の値は$2.5\text{ kHz}$と求まります。

【令和5年上期・問8】RLC直列共振回路の共振周波数と前後のリアクタンス特性

次の文章は、$RLC$直列共振回路に関する記述である。
$R\text{ [}\Omega\text{]}$の抵抗、インダクタンス$L\text{ [H]}$のコイル、静電容量$C\text{ [F]}$のコンデンサを直列に接続した回路がある。
この回路に交流電圧を加え、その周波数を変化させると、特定の周波数$f_{\text{r}}\text{ [Hz]}$のときに誘導性リアクタンス$= 2\pi f_{\text{r}} L\text{ [}\Omega\text{]}$と容量性リアクタンス$= \dfrac{1}{2\pi f_{\text{r}} C}\text{ [}\Omega\text{]}$の大きさが等しくなり、その作用が互いに打ち消し合って回路のインピーダンスが (ア) なり、 (イ) 電流が流れるようになる。この現象を直列共振といい、このときの周波数$f_{\text{r}}\text{ [Hz]}$をその回路の共振周波数という。回路のリアクタンスは共振周波数$f_{\text{r}}\text{ [Hz]}$より低い周波数では (ウ) となり、電圧より位相が (エ) 電流が流れる。また、共振周波数$f_{\text{r}}\text{ [Hz]}$より高い周波数では (オ) となり、電圧より位相が (カ) 電流が流れる。

上記の記述中の空白箇所(ア)～(カ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

	(ア)	(イ)	(ウ)	(エ)	(オ)	(カ)
(1)	大きく	小さな	容量性	進んだ	誘導性	遅れた
(2)	小さく	大きな	誘導性	遅れた	容量性	進んだ
(3)	小さく	大きな	容量性	進んだ	誘導性	遅れた
(4)	大きく	小さな	誘導性	遅れた	容量性	進んだ
(5)	小さく	大きな	容量性	遅れた	誘導性	進んだ

解説

正解は(3)です。

RLC直列回路のインピーダンス$Z\text{ [}\Omega\text{]}$は次式で表されます。

$$Z = \sqrt{R^2 + \left(2\pi f L - \frac{1}{2\pi f C}\right)^2}\text{ [}\Omega\text{]}$$

共振周波数$f_{\text{r}}$では$X_L = X_C$となり、インピーダンス$Z$は最小値$R$です。
そのため、(ア)は「小さく」、(イ)は「大きな」となります。

次に、$f < f_{\text{r}}$では$X_L = 2\pi f L$より$X_C = \dfrac{1}{2\pi f C}$の方が大きいです。
よって、回路は容量性となり、電流の位相は電圧より進みます。

一方、$f > f_{\text{r}}$では$X_L > X_C$となるため誘導性です。
このときは電流の位相が電圧より遅れると分かります。

以上より、(ウ)「容量性」、(エ)「進んだ」となります。
また、(オ)「誘導性」、(カ)「遅れた」の組合せが正しいです。

【令和4年上期・問9】RLC直列共振状態におけるコイル電圧と抵抗電圧の倍率

図のように、$5\text{ }\Omega$の抵抗、$200\text{ mH}$のインダクタンスをもつコイル、$20\text{ }\mu\text{F}$の静電容量をもつコンデンサを直列に接続した回路に周波数$f\text{ [Hz]}$の正弦波交流電圧$E\text{ [V]}$を加えた。周波数$f$を回路に流れる電流が最大となるように変化させたとき、コイルの両端の電圧の大きさは抵抗の両端の電圧の大きさの何倍か。最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $5$
(2) $10$
(3) $15$
(4) $20$
(5) $25$

解説

正解は(4)です。

回路電流が最大になるのは直列共振条件$\omega_0^2 LC = 1$を満たすときです。

回路定数は$L = 0.2\text{ H}$および$C = 20 \times 10^{-6}\text{ F}$と表せます。
これらより共振角周波数$\omega_0\text{ [rad/s]}$の値を計算します。

$$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{0.2 \times 20 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{4 \times 10^{-6}}} = 500\text{ [rad/s]}$$

次に、共振時の誘導性リアクタンス$X_L\text{ [}\Omega\text{]}$の値は次式のとおりです。

$$X_L = \omega_0 L = 500 \times 0.2 = 100\text{ [}\Omega\text{]}$$

直列回路のため、抵抗$R = 5\text{ }\Omega$とコイルには共通の電流$I$が流れます。
よって、電圧の比$\dfrac{V_L}{V_R}$はインピーダンスの比に等しいです。

$$\frac{V_L}{V_R} = \frac{X_L I}{R I} = \frac{100}{5} = 20$$

以上より、コイルの両端の電圧は抵抗の電圧の$20$倍となります。

【令和3年・問9】RLC直列共振回路と並列共振回路の電圧・電流特性の正誤

実効値$V\text{ [V]}$、角周波数$\omega\text{ [rad/s]}$の交流電圧源、$R\text{ [}\Omega\text{]}$の抵抗$\text{R}$、インダクタンス$L\text{ [H]}$のコイル$\text{L}$、静電容量$C\text{ [F]}$のコンデンサ$\text{C}$からなる共振回路に関する記述として、正しいものと誤りのものの組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(a) RLC直列回路の共振状態において、$\text{L}$と$\text{C}$の端子間電圧の大きさはともに$0$である。
(b) RLC並列回路の共振状態において、$\text{L}$と$\text{C}$に電流は流れない。
(c) RLC直列回路の共振状態において交流電圧源を流れる電流は、RLC並列回路の共振状態において交流電圧源を流れる電流と等しい。

	(a)	(b)	(c)
(1)	誤り	誤り	正しい
(2)	誤り	正しい	誤り
(3)	正しい	誤り	誤り
(4)	誤り	誤り	誤り
(5)	正しい	正しい	正しい

解説

正解は(1)です。

(a)について、RLC直列共振時はベクトル和$\dot{V}_L + \dot{V}_C = \dot{0}$となります。
しかし各素子の電圧は$V_L = V_C = \omega L I \neq 0$であり、記述は誤りです。

(b)について、RLC並列共振時は電流のベクトル和$\dot{I}_L + \dot{I}_C = \dot{0}$です。
各枝に$I_L = I_C = \dfrac{V}{\omega L} \neq 0$の電流が流れるため誤りとなります。

(c)について、直列共振時は$\dot{Z} = R$で電源電流は$I = \dfrac{V}{R}$となります。
並列共振時も$\dot{Y} = \dfrac{1}{R}$のため、電源電流は同じく$I = \dfrac{V}{R}$です。

両者の電流の大きさは一致するため、記述(c)は正しいと言えます。

【令和2年・問9】RLC直列共振回路および並列共振回路における電圧・電流の位相関係

図のように、$R\text{ [}\Omega\text{]}$の抵抗、インダクタンス$L\text{ [H]}$のコイル、静電容量$C\text{ [F]}$のコンデンサと電圧$\dot{V}\text{ [V]}$、角周波数$\omega\text{ [rad/s]}$の交流電源からなる二つの回路$\text{A}$と$\text{B}$がある。両回路においてそれぞれ$\omega^2 LC = 1$が成り立つとき、各回路における図中の電圧ベクトルと電流ベクトルの位相の関係として、正しいものの組合せを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。ただし、ベクトル図における進み方向は反時計回りとする。

解説

正解は(2)です。

共振条件$\omega L = \dfrac{1}{\omega C}$と各素子の位相差からベクトル図を判定します。

まず、回路$\text{A}$（RLC直列回路）の複素インピーダンス$\dot{Z}\text{ [}\Omega\text{]}$を表します。

$$\dot{Z} = R + j\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)\text{ [}\Omega\text{]}$$

共振条件により虚部が$0$になるため、全体のインピーダンスは$\dot{Z} = R$です。
共通電流$\dot{I} = \dfrac{\dot{V}}{R}$は電圧$\dot{V}$と同相になり、各素子の電圧は次のとおりです。

$$\dot{V}_R = R\dot{I} = \dot{V} \quad \text{（}\dot{V}\text{と同相：右向き）}$$ $$\dot{V}_L = j\omega L\dot{I} \quad \text{（}\dot{V}\text{より}90^\circ\text{進み：上向き）}$$ $$\dot{V}_C = -j\frac{1}{\omega C}\dot{I} \quad \text{（}\dot{V}\text{より}90^\circ\text{遅れ：下向き）}$$

次に、回路$\text{B}$（RLC並列回路）では各素子に共通の電圧$\dot{V}$が印加されます。
オームの法則$\dot{I} = \dfrac{\dot{V}}{\dot{Z}}$より、各枝の電流ベクトルが求まります。

$$\dot{I}_R = \frac{\dot{V}}{R} \quad \text{（}\dot{V}\text{と同相：右向き）}$$ $$\dot{I}_L = \frac{\dot{V}}{j\omega L} = -j\frac{\dot{V}}{\omega L} \quad \text{（}\dot{V}\text{より}90^\circ\text{遅れ：下向き）}$$ $$\dot{I}_C = \frac{\dot{V}}{-j\dfrac{1}{\omega C}} = j\omega C\dot{V} \quad \text{（}\dot{V}\text{より}90^\circ\text{進み：上向き）}$$

回路$\text{A}$は上向きが$\dot{V}_L$、回路$\text{B}$は上向きが$\dot{I}_C$となる図が正解です。

【令和元年・問9】RLC並列回路における角周波数変化と電源電流実効値の大小関係

図は、実効値が$1\text{ V}$で角周波数$\omega\text{ [krad/s]}$が変化する正弦波交流電源を含む回路である。いま、$\omega$の値が$\omega_1 = 5\text{ krad/s}$、$\omega_2 = 10\text{ krad/s}$、$\omega_3 = 30\text{ krad/s}$と$3$通りの場合を考え、$\omega = \omega_k$（$k = 1, 2, 3$）のときの電流$i\text{ [A]}$の実効値を$I_k$と表すとき、$I_1$、$I_2$、$I_3$の大小関係として、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $I_1 < I_2 < I_3$
(2) $I_1 = I_2 < I_3$
(3) $I_2 < I_1 < I_3$
(4) $I_2 < I_1 = I_3$
(5) $I_3 < I_2 < I_1$

解説

正解は(3)です。

回路定数を単位換算すると$R = 10^5\text{ }\Omega$、$C = 10^{-5}\text{ F}$、$L = 10^{-3}\text{ H}$です。
この並列回路の複素アドミタンス$\dot{Y}\text{ [S]}$は次の式で表せます。

$$\dot{Y} = \frac{1}{R} + j\left(\omega C - \frac{1}{\omega L}\right) = 10^{-5} + j\left(\omega \times 10^{-5} - \frac{10^3}{\omega}\right)\text{ [S]}$$

電源電圧が$V = 1\text{ V}$で一定のため、電流の大きさは$I_k = |\dot{Y}_k|$と等しいです。
実部$10^{-5}\text{ S}$が一定のため、虚部$B_k$の絶対値の大小で比較できます。

各角周波数$\omega_k$における虚部$B_k = \omega_k C - \dfrac{1}{\omega_k L}$の値を計算します。

$$\omega_1 = 5\times 10^3\text{ [rad/s]} \text{のとき：} \quad B_1 = 5\times 10^3 \times 10^{-5} - \frac{10^3}{5\times 10^3} = 0.05 - 0.20 = -0.15\text{ [S]}$$ $$\omega_2 = 10\times 10^3\text{ [rad/s]} \text{のとき：} \quad B_2 = 10\times 10^3 \times 10^{-5} - \frac{10^3}{10\times 10^3} = 0.10 - 0.10 = 0\text{ [S]}$$ $$\omega_3 = 30\times 10^3\text{ [rad/s]} \text{のとき：} \quad B_3 = 30\times 10^3 \times 10^{-5} - \frac{10^3}{30\times 10^3} = 0.30 - \frac{1}{30} \fallingdotseq 0.267\text{ [S]}$$

絶対値は$0 < |-0.15| < 0.267$となり、実部$10^{-5}$を足しても順序は変わりません。
したがって、電流実効値の大小関係は$I_2 < I_1 < I_3$です。

【平成30年・問9】直列抵抗を含むRLC並列共振回路の最小電流周波数と位相

次の文章は、図の回路に関する記述である。
交流電圧源の出力電圧を$10\text{ V}$に保ちながら周波数$f\text{ [Hz]}$を変化させるとき、交流電圧源の電流の大きさが最小となる周波数は (ア) $\text{Hz}$である。このとき、この電流の大きさは (イ) $\text{A}$であり、その位相は電源電圧を基準として (ウ) 。
ただし、電流の向きは図に示す矢印のとおりとする。

上記の記述中の空白箇所(ア)、(イ)及び(ウ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

	(ア)	(イ)	(ウ)
(1)	$\dfrac{1}{\sqrt{3}\pi}$	$5$	同相である
(2)	$\dfrac{1}{\sqrt{3}\pi}$	$10$	$\dfrac{\pi}{2}\text{ rad}$だけ進む
(3)	$\dfrac{1}{2\sqrt{3}\pi}$	$5$	同相である
(4)	$\dfrac{1}{2\sqrt{3}\pi}$	$10$	$\dfrac{\pi}{2}\text{ rad}$だけ遅れる
(5)	$\dfrac{1}{2\sqrt{3}\pi}$	$5$	$\dfrac{\pi}{2}\text{ rad}$だけ進む

解説

正解は(3)です。

右側の並列部分のサセプタンスを$B = \omega C - \dfrac{1}{\omega L}\text{ [S]}$と置きます。
並列部分のアドミタンスが$1 + jB$のため、全体のインピーダンス$\dot{Z}$は次式になります。

$$\dot{Z} = 1 + \frac{1}{1 + jB} = 1 + \frac{1 - jB}{1 + B^2}\text{ [}\Omega\text{]}$$

この大きさの$2$乗を計算すると$|\dot{Z}|^2 = 1 + \dfrac{3}{1 + B^2}$です。
電流が最小になるのは$|\dot{Z}|$が最大のとき、すなわち$B = 0$の並列共振状態になります。

共振条件$B = 0$（$\omega_0^2 LC = 1$）より、共振周波数$f_0\text{ [Hz]}$を求めます。

$$f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{2 \times 1.5}} = \frac{1}{2\sqrt{3}\pi}\text{ [Hz]}$$

このとき$\dot{Z} = 1 + 1 = 2\text{ }\Omega$となり、リアクタンス成分のない純抵抗です。
よって電流の大きさは$I = \dfrac{10}{2} = 5\text{ A}$であり、位相は電源電圧と同相になります。

【平成28年・問9】RLC直並列複合回路における直列共振・並列共振角周波数

図のように、$R = 1\text{ }\Omega$の抵抗、インダクタンス$L_1 = 0.4\text{ mH}$、$L_2 = 0.2\text{ mH}$のコイル、及び静電容量$C = 8\text{ }\mu\text{F}$のコンデンサからなる直並列回路がある。この回路に交流電圧$V = 100\text{ V}$を加えたとき、回路のインピーダンスが極めて小さくなる直列共振角周波数$\omega_1$の値$[\text{rad/s}]$及び回路のインピーダンスが極めて大きくなる並列共振角周波数$\omega_2$の値$[\text{rad/s}]$の組合せとして、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

	$\omega_1$	$\omega_2$
(1)	$2.5\times 10^4$	$3.5\times 10^3$
(2)	$2.5\times 10^4$	$3.1\times 10^4$
(3)	$3.5\times 10^3$	$2.5\times 10^4$
(4)	$3.1\times 10^4$	$3.5\times 10^3$
(5)	$3.1\times 10^4$	$2.5\times 10^4$

解説

正解は(5)です。

$C$と$L_2$の並列部分のインピーダンスは$\dot{Z}_{\text{p}} = \dfrac{j\omega L_2}{1 - \omega^2 L_2 C}$です。
これに$R$と$L_1$を直列に加えた回路全体のインピーダンス$\dot{Z}$を求めます。

$$\dot{Z} = R + j\omega L_1 + \frac{j\omega L_2}{1 - \omega^2 L_2 C} = R + j\omega \frac{(L_1 + L_2) - \omega^2 L_1 L_2 C}{1 - \omega^2 L_2 C}\text{ [}\Omega\text{]}$$

まず、並列共振角周波数$\omega_2$では分母が$0$になる条件が成り立ちます。
つまり$1 - \omega_2^2 L_2 C = 0$を満たすため、数値の代入結果は次のとおりです。

$$\omega_2 = \frac{1}{\sqrt{L_2 C}} = \frac{1}{\sqrt{0.2\times 10^{-3} \times 8\times 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{16\times 10^{-10}}} = 2.5\times 10^4\text{ [rad/s]}$$

次に、直列共振角周波数$\omega_1$では虚部の分子が$0$になり、$Z = R$まで低下します。
条件$(L_1 + L_2) - \omega_1^2 L_1 L_2 C = 0$から$\omega_1$の値を算出できます。

$$\omega_1 = \sqrt{\frac{L_1 + L_2}{L_1 L_2 C}} = \sqrt{\frac{(0.4 + 0.2)\times 10^{-3}}{0.4\times 10^{-3} \times 0.2\times 10^{-3} \times 8\times 10^{-6}}} = \sqrt{\frac{15}{16}\times 10^9} \fallingdotseq 3.1\times 10^4\text{ [rad/s]}$$

以上より、$\omega_1 \fallingdotseq 3.1\times 10^4\text{ rad/s}$、$\omega_2 = 2.5\times 10^4\text{ rad/s}$です。

【平成26年・問8】RL直列枝にコンデンサを並列接続した回路の最小電流時の力率

図の交流回路において、電源を流れる電流$I\text{ [A]}$の大きさが最小となるように静電容量$C\text{ [F]}$の値を調整した。このときの回路の力率の値として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $0.11$
(2) $0.50$
(3) $0.71$
(4) $0.87$
(5) $1$

解説

正解は(5)です。

右側のRL直列枝は抵抗$R = 100\text{ }\Omega$とリアクタンス$X_L = \omega L$の直列です。
コンデンサ$C$を含めた電源から見た複素アドミタンス$\dot{Y}\text{ [S]}$を求めます。

$$\dot{Y} = j\omega C + \frac{1}{R + jX_L} = \frac{R}{R^2 + X_L^2} + j\left(\omega C - \frac{X_L}{R^2 + X_L^2}\right)\text{ [S]}$$

実部は$C$に無関係で一定のため、電流$I = |\dot{Y}| V$は虚部が$0$のときに最小です。

$$\omega C - \frac{X_L}{R^2 + X_L^2} = 0$$

この並列共振状態では$\dot{Y}$が実部のみとなり、電源電圧と電流は同相になります。
よって、回路の力率は$1$です。

【平成26年・問9】2つのLC直列共振回路を直列接続した際の共振周波数の大小関係

図のように、二つの$LC$直列共振回路$\text{A}$、$\text{B}$があり、それぞれの共振周波数が$f_{\text{A}}\text{ [Hz]}$、$f_{\text{B}}\text{ [Hz]}$である。これら$\text{A}$、$\text{B}$をさらに直列に接続した場合、全体としての共振周波数が$f_{\text{AB}}\text{ [Hz]}$になった。$f_{\text{A}}$、$f_{\text{B}}$、$f_{\text{AB}}$の大小関係として、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $f_{\text{A}} < f_{\text{B}} < f_{\text{AB}}$
(2) $f_{\text{A}} < f_{\text{AB}} < f_{\text{B}}$
(3) $f_{\text{AB}} < f_{\text{A}} < f_{\text{B}}$
(4) $f_{\text{AB}} < f_{\text{B}} < f_{\text{A}}$
(5) $f_{\text{B}} < f_{\text{AB}} < f_{\text{A}}$

解説

正解は(5)です。

各回路の合成インピーダンスの虚部が$0$になる条件から共振周波数を求めます。

まず、回路$\text{A}$および回路$\text{B}$の共振周波数$f_{\text{A}}$、$f_{\text{B}}$はそれぞれ次のとおりです。

$$f_{\text{A}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\text{ [Hz]}$$ $$f_{\text{B}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{2LC}} = \frac{1}{\sqrt{2}} f_{\text{A}} \fallingdotseq 0.707 f_{\text{A}}\text{ [Hz]}$$

次に、回路$\text{A}$と回路$\text{B}$を直列にした全体のインピーダンス$\dot{Z}_{\text{AB}}$を計算します。

$$\dot{Z}_{\text{AB}} = j\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right) + j\left(2\omega L - \frac{1}{\omega C}\right) = j\left(3\omega L - \frac{2}{\omega C}\right)\text{ [}\Omega\text{]}$$

虚部が$0$となる条件$3\omega_{\text{AB}} L = \dfrac{2}{\omega_{\text{AB}} C}$より、$\omega_{\text{AB}}^2 = \dfrac{2}{3LC}$です。

$$f_{\text{AB}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{2}{3LC}} = \sqrt{\frac{2}{3}} f_{\text{A}} \fallingdotseq 0.816 f_{\text{A}}\text{ [Hz]}$$

係数は$\dfrac{1}{\sqrt{2}} < \sqrt{\dfrac{2}{3}} < 1$の大小関係になります。
したがって、$f_{\text{B}} < f_{\text{AB}} < f_{\text{A}}$が正解です。

【平成25年・問9】RLC並列回路における電流ベクトルと時間波形の位相関係

図$1$のように、$R\text{ [}\Omega\text{]}$の抵抗、インダクタンス$L\text{ [H]}$のコイル、静電容量$C\text{ [F]}$のコンデンサからなる並列回路がある。この回路に角周波数$\omega\text{ [rad/s]}$の交流電圧$v\text{ [V]}$を加えたところ、この回路に流れる電流は$i\text{ [A]}$であった。電圧$v\text{ [V]}$及び電流$i\text{ [A]}$のベクトルをそれぞれ電圧$\dot{V}\text{ [V]}$と電流$\dot{I}\text{ [A]}$とした場合、両ベクトルの関係を示す図$2$（ア、イ、ウ）及び$v\text{ [V]}$と$i\text{ [A]}$の時間$t\text{ [s]}$の経過による変化を示す図$3$（エ、オ、カ）の組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
ただし、$R \gg \omega L$及び$\omega L = \dfrac{2}{\omega C}$とし、一切の過渡現象は無視するものとする。

	図2	図3
(1)	ア	オ
(2)	ア	カ
(3)	イ	エ
(4)	ウ	オ
(5)	ウ	カ

解説

正解は(5)です。

条件$\omega L = \dfrac{2}{\omega C}$より、$\omega C = \dfrac{2}{\omega L}$が成り立ちます。
これを並列回路の複素電流の式へ代入して整理した結果は次のとおりです。

$$\dot{I} = \left\{\frac{1}{R} + j\left(\omega C - \frac{1}{\omega L}\right)\right\}\dot{V} = \left\{\frac{1}{R} + j\left(\frac{2}{\omega L} - \frac{1}{\omega L}\right)\right\}\dot{V} = \left(\frac{1}{R} + j\frac{1}{\omega L}\right)\dot{V}\text{ [A]}$$

ここで$R \gg \omega L$のため$\dfrac{1}{R} \ll \dfrac{1}{\omega L}$となり、$\dot{I} \fallingdotseq j\dfrac{\dot{V}}{\omega L}$と近似できます。
$+j$が付くことから電流$\dot{I}$は電圧$\dot{V}$よりほぼ$90^\circ$進む位相です。

よって、図$2$では反時計回りに$90^\circ$進んだウが該当します。
また、時間波形では$90^\circ$進む電流$i$の方が先に正の最大値に達します。

$t = 0\text{ s}$で正の最大値から始まる波形カが該当するため、組合せはウとカです。

【平成25年・問10】RLC直列回路で抵抗の端子間電圧が零となる周波数条件

図は、インダクタンス$L\text{ [H]}$のコイルと静電容量$C\text{ [F]}$のコンデンサ、並びに$R\text{ [}\Omega\text{]}$の抵抗の直列回路に、周波数が$f\text{ [Hz]}$で実効値が$V(\neq 0)\text{ [V]}$である電源電圧を与えた回路を示している。この回路において、抵抗の端子間電圧の実効値$V_R\text{ [V]}$が零となる周波数$f\text{ [Hz]}$の条件を全て列挙したものとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) 題意を満たす周波数はない
(2) $f = 0$
(3) $f = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$
(4) $f = 0$、$f \to \infty$
(5) $f = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$、$f \to \infty$

解説

正解は(4)です。

回路全体のインピーダンスの大きさを用いると、抵抗電圧$V_R\text{ [V]}$は次式で表せます。

$$V_R = R I = \frac{R V}{\sqrt{R^2 + \left(2\pi f L - \dfrac{1}{2\pi f C}\right)^2}}\text{ [V]}$$

$R > 0$かつ$V \neq 0$のため、$V_R = 0$となるのは分母が無限大になる条件のときです。

$f = 0$のときは容量性リアクタンス$X_C = \dfrac{1}{2\pi f C} \to \infty$となり電流は流れません。
$f \to \infty$では誘導性リアクタンス$X_L = 2\pi f L \to \infty$となり同じく$V_R \to 0$です。

なお、共振周波数$f = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$では$Z = R$となり、$V_R = V$で最大値になります。

【平成24年・問7】RLC直列共振回路におけるインピーダンスと位相特性

次の文章は、$RLC$直列共振回路に関する記述である。
$R\text{ [}\Omega\text{]}$の抵抗、インダクタンス$L\text{ [H]}$のコイル、静電容量$C\text{ [F]}$のコンデンサを直列に接続した回路がある。
この回路に交流電圧を加え、その周波数を変化させると、特定の周波数$f_{\text{r}}\text{ [Hz]}$のときに誘導性リアクタンス$= 2\pi f_{\text{r}} L\text{ [}\Omega\text{]}$と容量性リアクタンス$= \dfrac{1}{2\pi f_{\text{r}} C}\text{ [}\Omega\text{]}$の大きさが等しくなり、その作用が互いに打ち消し合って回路のインピーダンスが (ア) なり、 (イ) 電流が流れるようになる。この現象を直列共振といい、このときの周波数$f_{\text{r}}\text{ [Hz]}$をその回路の共振周波数という。回路のリアクタンスは共振周波数$f_{\text{r}}\text{ [Hz]}$より低い周波数では (ウ) となり、電圧より位相が (エ) 電流が流れる。また、共振周波数$f_{\text{r}}\text{ [Hz]}$より高い周波数では (オ) となり、電圧より位相が (カ) 電流が流れる。

上記の記述中の空白箇所(ア)、(イ)、(ウ)、(エ)、(オ)及び(カ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

	(ア)	(イ)	(ウ)	(エ)	(オ)	(カ)
(1)	大きく	小さな	容量性	進んだ	誘導性	遅れた
(2)	小さく	大きな	誘導性	遅れた	容量性	進んだ
(3)	小さく	大きな	容量性	進んだ	誘導性	遅れた
(4)	大きく	小さな	誘導性	遅れた	容量性	進んだ
(5)	小さく	大きな	容量性	遅れた	誘導性	進んだ

解説

正解は(3)です。

RLC直列回路のインピーダンスの大きさ$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$に着目します。

共振周波数$f_{\text{r}}$では$X_L = X_C$となるため、インピーダンスは最小値$R$です。
それに伴い大きな電流が流れるため、(ア)は「小さく」、(イ)は「大きな」となります。

また、各リアクタンスの大小は$f < f_{\text{r}}$で$X_C > X_L$、$f > f_{\text{r}}$で$X_L > X_C$です。
よって、$f < f_{\text{r}}$では容量性で進み電流が流れ、$f > f_{\text{r}}$では誘導性で遅れ電流が流れます。

【平成22年・問13】内部抵抗をもつコイルを含む並列共振回路の等価並列抵抗

図$1$は、静電容量$C\text{ [F]}$のコンデンサとコイルからなる共振回路の等価回路である。このようにコイルに内部抵抗$r\text{ [}\Omega\text{]}$が存在する場合は、インダクタンス$L\text{ [H]}$と抵抗$r\text{ [}\Omega\text{]}$の直列回路として表すことができる。この直列回路は、コイルの抵抗$r\text{ [}\Omega\text{]}$が、誘導性リアクタンス$\omega L\text{ [}\Omega\text{]}$に比べて十分小さいものとすると、図$2$のように、等価抵抗$R_{\text{p}}\text{ [}\Omega\text{]}$とインダクタンス$L\text{ [H]}$の並列回路に変換することができる。このときの等価抵抗$R_{\text{p}}\text{ [}\Omega\text{]}$の値を表す式として、正しいのは次のうちどれか。
ただし、$I_{\text{c}}\text{ [A]}$は電流源の電流を表す。

(1) $\dfrac{\omega L}{r}$
(2) $\dfrac{r}{(\omega L)^2}$
(3) $\dfrac{r^2}{\omega L}$
(4) $\dfrac{(\omega L)^2}{r}$
(5) $r(\omega L)^2$

解説

正解は(4)です。

図$1$の直列枝と図$2$の並列枝とで複素アドミタンスが等しくなる条件を求めます。

まず、図$1$における$L$と$r$の直列枝の複素アドミタンス$\dot{Y}_1\text{ [S]}$は次のとおりです。

$$\dot{Y}_1 = \frac{1}{r + j\omega L} = \frac{r - j\omega L}{r^2 + (\omega L)^2}\text{ [S]}$$

条件$r \ll \omega L$より分母は$r^2 + (\omega L)^2 \fallingdotseq (\omega L)^2$と近似できます。

$$\dot{Y}_1 \fallingdotseq \frac{r}{(\omega L)^2} - j\frac{1}{\omega L}\text{ [S]}$$

一方、図$2$における$R_{\text{p}}$と$L$の並列枝のアドミタンス$\dot{Y}_2\text{ [S]}$は次のとおりです。
$\dot{Y}_1$と$\dot{Y}_2$で実部どうしが等しいため、$\dfrac{1}{R_{\text{p}}} = \dfrac{r}{(\omega L)^2}$が成り立ちます。

$$\dot{Y}_2 = \frac{1}{R_{\text{p}}} + \frac{1}{j\omega L} = \frac{1}{R_{\text{p}}} - j\frac{1}{\omega L}\text{ [S]}$$

したがって、等価並列抵抗は$R_{\text{p}} = \dfrac{(\omega L)^2}{r}$です。