電験3種（理論）の頻出問題である「電界・磁界中の電子・荷電粒子の運動」について解説します。
- 「電界・磁界中の電子・荷電粒子の運動」の攻略ポイント
- 【令和7年下期・問12】平行板電極間の電子に加わる静電力
- 【令和7年上期・問12】熱電子放出と電界・運動エネルギーの計算
- 【令和6年下期・問12】マグネトロン内の電子の軌跡と直交電磁界
- 【令和6年上期・問12】平行電極板間で加速された電子のエネルギーと速さ
- 【令和5年下期・問12】一様電界中における電子の等加速度直線運動とエネルギー
- 【令和4年下期・問12】平等磁界中に斜め発射された荷電粒子の速さと向き
- 【令和4年上期・問12】電子の運動エネルギー変化に伴う速さの計算
- 【令和3年・問12】直交電磁界中で等速直線運動する電子の速度の式
- 【令和元年・問12】平行板導体間の極板中心に達するまでの時間
- 【平成30年・問12】平等磁界中における電子の運動と軌跡・周期
- 【平成28年・問12】ローレンツ力の式の導出と磁界中の電子の軌道
- 【平成27年・問12】ブラウン管の電界による電子ビームの偏向距離
- 【平成24年・問12】磁界中の等速円運動における磁界の向き・半径・周期・角周波数
- 【平成23年・問12】一様電界中の電子の加速度運動と各物理量の時間依存性
- 【平成21年・問12】平等磁界中・平等電界中に斜め突入した電子の軌跡
「電界・磁界中の電子・荷電粒子の運動」の攻略ポイント
電験3種の理論科目では、真空中の電界や磁界における電子および荷電粒子の運動が頻出です。
静電力やローレンツ力の大きさと向きを正確に捉え、運動方程式やエネルギー保存則を適用します。
負電荷である電子は電界や電流の向きと逆向きになる点に注意することが大切です。
基本公式とポイント
電界・磁界中の電子および荷電粒子の運動で重要となる基本公式とポイントを以下の表にまとめました。
| 項目 | 基本公式 | ポイント |
|---|---|---|
| 電界中の静電力とエネルギー保存 | ・静電力：$F = |q|E = \dfrac{|q|V}{d}\text{ [N]}$ ・エネルギー保存：$\dfrac{1}{2}mv^2 = |q|V\text{ [J]}$ ・加速後の速さ：$v = \sqrt{\dfrac{2|q|V}{m}}\text{ [m/s]}$ |
・負電荷（電子）は電界と逆向きの静電力を受ける ・初速度$0$のとき、速さ$v$は運動エネルギー$W$の平方根に比例する ・一様電界に斜めに突入した粒子は放物線を描く |
| 電界中の等加速度運動と偏向 | ・加速度：$a = \dfrac{eE}{m}\text{ [m/s}^2\text{]}$ ・偏向角の正接：$\tan\theta = \dfrac{u}{v} = \dfrac{elE}{mv^2}$ ・蛍光面の変位：$X = d\tan\theta = \dfrac{eldE}{mv^2}\text{ [m]}$ |
・初速度$0$から等加速度運動するとき、速度は$t$の$1$次、距離と運動エネルギーは$t$の$2$乗に比例する ・偏向板通過中は電界と垂直方向の速度成分$v$が一定に保たれる |
| 磁界中のローレンツ力と向きの判定 | ・ローレンツ力：$F = |q|vB\sin\theta\text{ [N]}$ ・ここで$\theta$は速度$\vec{v}$と磁束密度$\vec{B}$のなす角 |
・負電荷（電子）では移動方向と逆向きを電流の向きとしてフレミングの左手の法則を適用する ・磁界と平行に突入（$\theta = 0^\circ$）すると力を受けず等速直線運動する ・力$F$は常に進行方向と直交するため仕事をしない |
| 磁界中の等速円運動とらせん運動 | ・力のつり合い：$evB = \dfrac{m_0 v^2}{r}\text{ [N]}$ ・半径：$r = \dfrac{m_0 v}{eB}\text{ [m]}$ ・周期・角周波数：$T = \dfrac{2\pi m_0}{eB}\text{ [s]}$、$\omega = \dfrac{eB}{m_0}\text{ [rad/s]}$ |
・磁界に垂直に突入すると等速円運動、斜めに突入するとらせん運動となる ・周期$T$や角周波数$\omega$は粒子の速さ$v$や半径$r$に依存しない |
| 直交電磁界中の運動とサイクロイド | ・直進条件（電界力$=$磁界力）：$eE = evB = ev\mu_0 H$ ・直進速度：$v = \dfrac{E}{B} = \dfrac{E}{\mu_0 H}\text{ [m/s]}$ |
・静電力とローレンツ力が逆向きで等しいとき等速直線運動が成立する ・直交電磁界中で初速度$0$から放たれ磁束密度が大きいとサイクロイド軌道を描く |
【令和7年下期・問12】平行板電極間の電子に加わる静電力
図のように、真空中に電極間隔$d\text{ [m]}$の平行板電極があり、陰極板上に電子を置いた。陽極板に電圧$V\text{ [V]}$を加えたとき、この電子に加わる力$F\text{ [N]}$の式として、正しいのは次のうちどれか。
ただし、電子の質量を$m\text{ [kg]}$、電気素量を$e\text{ [C]}$とする。また、電極板の端効果は無視できるものとする。
(1) $\dfrac{V}{d}e$
(2) $\dfrac{V}{d^2}e$
(3) $\dfrac{V}{d^2}\dfrac{m}{e}$
(4) $\dfrac{V}{d^2}em$
(5) $\dfrac{V^2}{d}e$
解説
正解は(1)です。
平行板電極間の電界の強さ$E$と静電力$F = qE$の関係から導出する問題です。
電極板の端効果を無視できるため、極板間には一様な電界が生じます。
電極間隔$d\text{ [m]}$と印加電圧$V\text{ [V]}$による電界の強さ$E$は次の式です。
電子がもつ電荷の大きさは電気素量$e\text{ [C]}$に等しいです。
電界$E$は下向きのため、負電荷の電子には上向きの力$F$が働きます。
電子の質量$m$は力の計算に関与せず、大きさ$F$は次式となります。
$$F = eE = \frac{V}{d}e\text{ [N]}$$以上より、正しい式を表す選択肢は(1)です。
【令和7年上期・問12】熱電子放出と電界・運動エネルギーの計算
真空中において、図のように電極板の間隔が$6\text{ mm}$、電極板の面積が十分広い平行平板電極があり、電極$\text{K}$、$\text{P}$間には$2000\text{ V}$の直流電圧が加えられている。このとき、電極$\text{K}$、$\text{P}$間の電界の強さは約 (ア) $\text{V/m}$である。電極$\text{K}$をヒータで加熱すると表面から (イ) が放出される。ある$1$個の電子に着目してその初速度を零とすれば、電子が電極$\text{P}$に達したときの運動エネルギー$W$は (ウ) $\text{J}$となる。
ただし、電極$\text{K}$、$\text{P}$間の電界は一様とし、電気素量$e = 1.6\times 10^{-19}\text{ C}$とする。
上記の記述中の空白箇所(ア)～(ウ)に当てはまる語句又は数値の組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
| (ア) | (イ) | (ウ) | |
|---|---|---|---|
| (1) | $3.3\times 10^2$ | 光電子 | $1.6\times 10^{-16}$ |
| (2) | $3.3\times 10^5$ | 熱電子 | $1.6\times 10^{-16}$ |
| (3) | $3.3\times 10^2$ | 光電子 | $3.2\times 10^{-16}$ |
| (4) | $3.3\times 10^2$ | 熱電子 | $1.6\times 10^{-16}$ |
| (5) | $3.3\times 10^5$ | 熱電子 | $3.2\times 10^{-16}$ |
解説
正解は(5)です。
一様電界$E = \dfrac{V}{d}$、熱電子放出、およびエネルギー保存則$W = eV$を組み合わせて求めます。
まず、空白箇所(ア)の電界の強さ$E\text{ [V/m]}$を計算します。
極板間隔は$d = 6\text{ mm} = 6\times 10^{-3}\text{ m}$です。
したがって、(ア)に入る数値は$3.3\times 10^5$となります。
なお、$d$の単位を$\text{mm}$のまま計算する誤りに注意が必要です。
次に、加熱によって電極から放出される粒子の名称を確認します。
金属や電極を加熱したときに表面から放出される電子は熱電子です。
光を当てたときに放出される光電子とは区別されます。
最後に、空白箇所(ウ)の運動エネルギー$W\text{ [J]}$を算出します。
初速度が零のため、電位差$V$の加速で得る電気的仕事がそのまま$W$です。
$$W = eV = 1.6\times 10^{-19}\times 2000 = 3.2\times 10^{-16}\text{ [J]}$$これより、(ウ)の値は$3.2\times 10^{-16}$です。
すべての条件を満たす組合せは(5)となります。
【令和6年下期・問12】マグネトロン内の電子の軌跡と直交電磁界
次の文章は、電子レンジに内蔵されてマイクロ波を発生する、マグネトロン内の電子の軌跡を簡略化して説明した記述である。
図に示すように、真空中の平行平板電極間に直流電圧を加えて平等電界$E\text{ [V/m]}$を作り、平等電界と直交する方向に磁束密度$B\text{ [T]}$の平等磁界を加えた。図中の$\odot$は$z$軸の正の向きで、紙面に垂直かつ手前の向きを表す。
陰極上の点$\text{P}$に初速零で電荷$-e\text{ [C]}$の電子を置いて静かに離すと、$y$軸の (ア) の向きの電界により電子は陽極に向かって動き始める。同時に電子は磁束密度に (イ) した大きさの (ウ) 力を受ける。磁界は$z$軸の (エ) の向きのため、電子は電界と磁界の作用で$x$軸の正の向きに移動する。このとき磁束密度が一定値以上では電子は陽極に到達せずに、図のように (オ) といわれる軌跡を描く。ただし、電子は紙面と平行な平面上を移動し、重力の影響は無視できるものとする。
上記の記述中の空白箇所(ア)～(オ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
| (ア) | (イ) | (ウ) | (エ) | (オ) | |
|---|---|---|---|---|---|
| (1) | 正 | 比例 | ローレンツ | 正 | サイクロイド |
| (2) | 正 | 反比例 | アンペール | 正 | ヒステリシス |
| (3) | 負 | 比例 | アンペール | 負 | リサジュー |
| (4) | 負 | 比例 | ローレンツ | 負 | サイクロイド |
| (5) | 負 | 反比例 | ローレンツ | 負 | リサジュー |
解説
正解は(4)です。
直交する電界と磁界の中で負電荷が受ける力の向きと軌跡を順番に判定します。
電子の電荷は負の値$-e$であり、電界$E$とは逆向きの静電力を受けます。
図で電子は$y$軸の正の向きの陽極へ動くため、電界は$y$軸の負の向きです。
したがって、空白箇所(ア)に当てはまる語句は「負」です。
続いて、磁界中を速度$v$で動く荷電粒子が受ける力はローレンツ力と呼ばれます。
その大きさ$F$は$evB\sin\theta$であり、磁束密度$B$に比例します。
ゆえに、(イ)は「比例」、(ウ)は「ローレンツ」が正解です。
次に、磁界の向き(エ)をフレミングの左手の法則で確かめます。
陽極側へ動く電子に対し、電流の向き（中指）は$y$軸の負の向きです。
図のように電子は$x$軸の正の向きへ力を受けるため、親指を右へ向けます。
このとき人差し指（磁界$B$）は表から裏へ向かい、$z$軸の「負」の向きです。
直交電磁界中で陰極へ引き戻される軌道はサイクロイドと呼ばれます。
以上より、空白箇所(オ)は「サイクロイド」となり、正解は(4)です。
【令和6年上期・問12】平行電極板間で加速された電子のエネルギーと速さ
真空中に置かれた平行電極板間に、直流電圧$V\text{ [V]}$を加えて平等電界$E\text{ [V/m]}$を作り、この陰極板に電子を置いた場合、初速零で出発した電子が陽極板に到達したときの速さは、$v\text{ [m/s]}$となった。このときの電子の運動エネルギーは、電子が陽極板に到達するまでに得るエネルギーに等しいと考えられ、次の式が成立する。
$\dfrac{1}{2}mv^2 =$ (ア)
ただし、電子の電気素量を$e\text{ [C]}$、電子の質量を$m\text{ [kg]}$とする。
したがって、この式から電子の速さ$v\text{ [m/s]}$は、 (イ) で表される。
上記の記述中の空白箇所(ア)及び(イ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
| (ア) | (イ) | |
|---|---|---|
| (1) | $eV$ | $\sqrt{\dfrac{4eV}{m}}$ |
| (2) | $eV$ | $\sqrt{\dfrac{2eV}{m}}$ |
| (3) | $2eV$ | $\sqrt{\dfrac{4eV}{m}}$ |
| (4) | $eE$ | $\sqrt{\dfrac{2eE}{m}}$ |
| (5) | $eE$ | $\sqrt{\dfrac{4eE}{m}}$ |
解説
正解は(2)です。
電位差$V$によって電子が得るエネルギーと運動エネルギーの等式から速さ$v$を導きます。
電荷$e\text{ [C]}$の電子が電位差$V\text{ [V]}$の電極間を移動すると、電界から$eV\text{ [J]}$の仕事を受けます。
初速度が零であるため、陰極から陽極に到達したときのエネルギー保存則は次のとおりです。
したがって、空白箇所(ア)は$eV$となります。
続いて、この式を電子の速さ$v\text{ [m/s]}$について整理しましょう。
両辺を$m$で割り、さらに$2$倍してから正の平方根をとると次式が得られます。
$$v^2 = \frac{2eV}{m}$$ $$v = \sqrt{\frac{2eV}{m}}\text{ [m/s]}$$以上より、(イ)は$\sqrt{\dfrac{2eV}{m}}$となり、正しい組合せは(2)です。
【令和5年下期・問12】一様電界中における電子の等加速度直線運動とエネルギー
次の文章は、真空中における電子の運動に関する記述である。
図のように、$x$軸上の負の向きに大きさが一定の電界$E\text{ [V/m]}$が存在しているとき、$x$軸上に電荷が$-e\text{ [C]}$（$e$は電荷の絶対値）、質量$m_0\text{ [kg]}$の$1$個の電子を置いた場合を考える。$x$軸の正方向の電子の加速度を$a\text{ [m/s}^2\text{]}$とし、また、この電子に加わる力の正方向を$x$軸の正方向にとったとき、電子の運動方程式は
$m_0 a =$ (ア) ………………………… ①
となる。①式から電子は等加速度運動をすることがわかる。したがって、電子の初速度を零としたとき、$x$軸の正方向に向かう電子の速度$v\text{ [m/s]}$は時間$t\text{ [s]}$の (イ) 関数となる。また、電子の走行距離$x_{\text{dis}}\text{ [m]}$は時間$t\text{ [s]}$の (ウ) 関数で表される。さらに、電子の運動エネルギーは時間$t\text{ [s]}$の (エ) で増加することがわかる。
ただし、電子の速度$v\text{ [m/s]}$はその質量の変化が無視できる範囲とする。
上記の記述中の空白箇所(ア)～(エ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
| (ア) | (イ) | (ウ) | (エ) | |
|---|---|---|---|---|
| (1) | $eE$ | 一次 | 二次 | $1$乗 |
| (2) | $\dfrac{1}{2}eE$ | 二次 | 一次 | $1$乗 |
| (3) | $eE^2$ | 一次 | 二次 | $2$乗 |
| (4) | $\dfrac{1}{2}eE$ | 二次 | 一次 | $2$乗 |
| (5) | $eE$ | 一次 | 二次 | $2$乗 |
解説
正解は(5)です。
負の電荷をもつ電子が電界から受ける力と、等加速度直線運動の基本式を用います。
電界$E$が$x$軸負方向で電子の電荷が$-e$のため、力は$x$軸正方向です。
よって、力の大きさ$eE$がそのまま運動方程式の右辺に入ります。
したがって、空白箇所(ア)は$eE$です。
加速度$a = \dfrac{eE}{m_0}$が一定のため、速度$v$と走行距離$x_{\text{dis}}$は次のとおりになります。
よって、$v$は時間$t$の「一次」関数、$x_{\text{dis}}$は$t$の「二次」関数です。
さらに、運動エネルギー$W\text{ [J]}$に$v = at$を代入して時間依存性を調べます。
これより、運動エネルギーは時間$t$の「$2$乗」に比例するとわかります。
以上の結果から、すべての空白を満たす組合せは(5)です。
【令和4年下期・問12】平等磁界中に斜め発射された荷電粒子の速さと向き
図のように、$z$軸の正の向きに磁束密度$B = 1.0\times 10^{-3}\text{ T}$の平等磁界が存在する真空の空間において、電気量$e = -4.0\times 10^{-6}\text{ C}$の荷電粒子が$yz$平面上を$y$軸から$60^\circ$の角度で①又は②の向きに速さ$v\text{ [m/s]}$で発射された。この瞬間、荷電粒子に働くローレンツ力$F$の大きさは$1.0\times 10^{-8}\text{ N}$、その向きは$x$軸の正の向きであった。荷電粒子の速さ$v$に最も近い値$\text{ [m/s]}$とその向きの組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
ただし、重力の影響は無視できるものとする。図中の$\odot$は、紙面に対して垂直かつ手前の向きを表す。
| 速さ$v$ | 向き | |
|---|---|---|
| (1) | $2.5$ | ① |
| (2) | $2.9$ | ① |
| (3) | $5.0$ | ① |
| (4) | $2.9$ | ② |
| (5) | $5.0$ | ② |
解説
正解は(5)です。
速度と磁束密度のなす角、および負電荷に対するフレミングの左手の法則の適用が重要です。
磁束密度$B$は$z$軸の正の向きであり、速度$v$の向きは$y$軸から角度$60^\circ$傾いています。
したがって、速度$v$と磁束密度$B$の方向がなす角$\theta$は$90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$です。
ローレンツ力の公式$F = |e|vB\sin\theta$を用いて、速さ$v\text{ [m/s]}$を算出します。
$$1.0\times 10^{-8} = 4.0\times 10^{-6}\times v\times 1.0\times 10^{-3}\times\sin 30^\circ$$$\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$を代入して$v$について解くと、次の値です。
$$v = \frac{1.0\times 10^{-8}}{4.0\times 10^{-9}\times 0.5} = 5.0\text{ [m/s]}$$次に、発射の向きを決めるためフレミングの左手の法則を使います。
人差し指を磁界$B$の向き（$+z$＝上）、親指を力$F$の向き（$+x$＝手前）に合わせます。
このとき中指（電流の向き）が指すのは$y$軸の正方向（右向き）の成分です。
電気量$e$は負の値のため、移動方向は電流と逆の$y$軸負方向成分をもつ②となります。
以上より、速さ$v = 5.0\text{ m/s}$、向き②の組合せである(5)が正解です。
【令和4年上期・問12】電子の運動エネルギー変化に伴う速さの計算
真空中において、電子の運動エネルギーが$400\text{ eV}$のときの速さが$1.19\times 10^7\text{ m/s}$であった。電子の運動エネルギーが$100\text{ eV}$のときの速さ$\text{ [m/s]}$の値として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
ただし、電子の相対性理論効果は無視するものとする。
(1) $2.98\times 10^6$
(2) $5.95\times 10^6$
(3) $2.38\times 10^7$
(4) $2.98\times 10^9$
(5) $5.95\times 10^9$
解説
正解は(2)です。
電子の運動エネルギー$K = \dfrac{1}{2}mv^2$から、速さ$v$が$K$の平方根に比例する関係を使います。
電子の相対性理論効果を無視するため、電子の質量$m\text{ [kg]}$は一定値です。
運動エネルギーが$400\text{ eV}$のときの速さを$v_1$、$100\text{ eV}$のときを$v_2$と置きます。
質量$m$が一定であるため、運動エネルギーの比は速さの$2$乗の比に等しくなります。
$$\frac{K_2}{K_1} = \frac{\dfrac{1}{2}mv_2^2}{\dfrac{1}{2}mv_1^2} = \left(\frac{v_2}{v_1}\right)^2$$両辺に数値を代入した速さ$v_2\text{ [m/s]}$の比の計算式は次のとおりです。
$$\frac{100}{400} = \frac{1}{4} = \left(\frac{v_2}{v_1}\right)^2 \implies \frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$$したがって、$v_2$は$v_1 = 1.19\times 10^7\text{ m/s}$の半分として次のように計算できます。
$$v_2 = \frac{1.19\times 10^7}{2} = 5.95\times 10^6\text{ [m/s]}$$以上より、最も近い数値を選ぶと(2)です。
【令和3年・問12】直交電磁界中で等速直線運動する電子の速度の式
図のように、$x$方向の平等電界$E\text{ [V/m]}$、$y$方向の平等磁界$H\text{ [A/m]}$が存在する真空の空間において、電荷$-e\text{ [C]}$、質量$m\text{ [kg]}$をもつ電子が$z$方向の初速度$v\text{ [m/s]}$で放出された。この電子が等速直線運動をするとき、$v$を表す式として、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。ただし、真空の誘電率を$\varepsilon_0\text{ [F/m]}$、真空の透磁率を$\mu_0\text{ [H/m]}$とし、重力の影響を無視する。
また、電子の質量は変化しないものとする。図中の$\odot$は紙面に垂直かつ手前の向きを表す。
(1) $\dfrac{\varepsilon_0 E}{\mu_0 H}$
(2) $\dfrac{E}{H}$
(3) $\dfrac{E}{\mu_0 H}$
(4) $\dfrac{H}{\varepsilon_0 E}$
(5) $\dfrac{\mu_0 H}{E}$
解説
正解は(3)です。
電界から受ける静電力と磁界から受けるローレンツ力が釣り合う条件式を立てます。
電子は負の電荷$-e$をもつため、$x$軸正方向の電界$E$から$x$軸負方向の静電力$F_E$を受けます。
$$F_E = eE\text{ [N]}$$一方、$z$軸正方向へ進む電子に対し、電流の向きは$z$軸負方向（左向き）です。
磁界$H$が手前向き（$+y$）のため、左手の法則よりローレンツ力$F_B$は上向きに働きます。
真空中の磁束密度は$B = \mu_0 H\text{ [T]}$であり、$v \perp B$より$F_B$の大きさは次式です。
$$F_B = evB = ev\mu_0 H\text{ [N]}$$電子が直進して等速直線運動をするには、上下の$2$力$F_E$と$F_B$のつり合いが必要です。
$$eE = ev\mu_0 H \implies v = \frac{E}{\mu_0 H}\text{ [m/s]}$$以上より、正しい式は(3)となります。
【令和元年・問12】平行板導体間の極板中心に達するまでの時間
図のように、極板間の距離$d\text{ [m]}$の平行板導体が真空中に置かれ、極板間に強さ$E\text{ [V/m]}$の一様な電界が生じている。質量$m\text{ [kg]}$、電荷量$q\ (> 0)\text{ [C]}$の点電荷が正極から放出されてから、極板間の中心$\dfrac{d}{2}\text{ [m]}$に達するまでの時間$t\text{ [s]}$を表す式として、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
ただし、点電荷の速度は光速より十分小さく、初速度は$0\text{ m/s}$とする。また、重力の影響は無視できるものとし、平行板導体は十分大きいものとする。
(1) $\sqrt{\dfrac{md}{qE}}$
(2) $\sqrt{\dfrac{2md}{qE}}$
(3) $\sqrt{\dfrac{qEd}{m}}$
(4) $\sqrt{\dfrac{qE}{md}}$
(5) $\sqrt{\dfrac{2qE}{md}}$
解説
正解は(1)です。
一様電界による運動方程式と等加速度直線運動の距離公式を組み合わせて計算します。
正電荷$q\text{ [C]}$は電界$E\text{ [V/m]}$から$F = qE\text{ [N]}$の力を受けて加速されます。
運動方程式$ma = F$より、点電荷の加速度$a\text{ [m/s}^2\text{]}$は次のとおりです。
点電荷の初速度は$0\text{ m/s}$であり、加速度$a$が一定のため等加速度直線運動を行います。
移動距離が極板間の中心$x = \dfrac{d}{2}\text{ [m]}$のため、経過時間$t$の式は次の形です。
両辺の$\dfrac{1}{2}$を約分して$t^2$について整理し、正の平方根をとります。
$$t^2 = \frac{md}{qE}$$ $$t = \sqrt{\frac{md}{qE}}\text{ [s]}$$したがって、正しい式を表す選択肢は(1)です。
【平成30年・問12】平等磁界中における電子の運動と軌跡・周期
次の文章は、磁界中の電子の運動に関する記述である。
図のように、平等磁界の存在する真空かつ無重力の空間に、電子を$x$方向に初速度$v\text{ [m/s]}$で放出する。平等磁界は$z$方向であり磁束密度の大きさ$B\text{ [T]}$をもつとし、電子の質量を$m\text{ [kg]}$、素電荷の大きさを$e\text{ [C]}$とする。ただし、紙面の裏側から表側への向きを$z$方向の正とし、$v$は光速に比べて十分小さいとする。このとき、電子の運動は (ア) となり、時間$T =$ (イ) $\text{ [s]}$後に元の位置に戻ってくる。電子の放出直後の軌跡は破線矢印の (ウ) のようになる。
一方、電子を磁界と平行な$z$方向に放出すると、電子の運動は (エ) となる。
上記の記述中の空白箇所(ア)、(イ)、(ウ)及び(エ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
| (ア) | (イ) | (ウ) | (エ) | |
|---|---|---|---|---|
| (1) | 単振動 | $\dfrac{m}{eB}$ | $\text{a}$ | 等加速度運動 |
| (2) | 単振動 | $\dfrac{m}{2\pi eB}$ | $\text{b}$ | らせん運動 |
| (3) | 等速円運動 | $\dfrac{m}{eB}$ | $\text{c}$ | 等速直線運動 |
| (4) | 等速円運動 | $\dfrac{2\pi m}{eB}$ | $\text{c}$ | らせん運動 |
| (5) | 等速円運動 | $\dfrac{2\pi m}{eB}$ | $\text{a}$ | 等速直線運動 |
解説
正解は(5)です。
磁界に対して垂直または平行に放出された電子の運動法則を整理して解答します。
磁界に垂直な方向へ初速度$v$で放出された電子は、進行方向と直交する一定のローレンツ力を受けます。
速度の向きのみが変化し速さは変わらないため、運動は(ア)の「等速円運動」です。
円運動の半径を$r\text{ [m]}$とすると、遠心力$\dfrac{mv^2}{r}$とローレンツ力$evB$がつり合います。
$$evB = \frac{mv^2}{r} \implies r = \frac{mv}{eB}\text{ [m]}$$円周$2\pi r$を速さ$v$で割ったものが、元の位置に戻る周期$T\text{ [s]}$です。
$$T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi m}{eB}\text{ [s]}$$したがって、(イ)は$\dfrac{2\pi m}{eB}$となります。
次に、放出直後の軌跡(ウ)はフレミングの左手の法則で判定できます。
電子の移動方向（$+x$方向）と逆向きの$-x$方向（左向き）が電流の向きです。
磁界$B$が手前向き（$+z$方向）のため親指は上向きを指し、軌跡は「$\text{a}$」となります。
一方、磁界と平行な$z$方向に電子を放出すると、角度$\theta = 0^\circ$で力は$0\text{ N}$です。
よって、力を一切受けずに(エ)の「等速直線運動」をするため、正しい組合せは(5)となります。
【平成28年・問12】ローレンツ力の式の導出と磁界中の電子の軌道
電荷$q\text{ [C]}$をもつ荷電粒子が磁束密度$B\text{ [T]}$の中を速度$v\text{ [m/s]}$で運動するとき受ける電磁力はローレンツ力と呼ばれ、次のように導出できる。まず、荷電粒子を微小な長さ$\Delta l\text{ [m]}$をもつ線分とみなせると仮定すれば、単位長さ当たりの電荷（線電荷密度という。）は$\dfrac{q}{\Delta l}\text{ [C/m]}$となる。次に、この線分が長さ方向に速度$v$で動くとき、線分には電流$I = \dfrac{vq}{\Delta l}\text{ [A]}$が流れていると考えられる。そして、この微小な線電流が受ける電磁力は$F = BI\Delta l\sin\theta\text{ [N]}$であるから、ローレンツ力の式$F =$ (ア) $\text{ [N]}$が得られる。ただし、$\theta$は$v$と$B$との方向がなす角である。$F$は$v$と$B$の両方に直交し、$F$の向きはフレミングの (イ) の法則に従う。
では、真空中でローレンツ力を受ける電子の運動はどうなるだろうか。鉛直下向きの平等な磁束密度$B$が存在する空間に、負の電荷をもつ電子を速度$v$で水平方向に放つと、電子はその進行方向を前方とすれば (ウ) のローレンツ力を受けて (エ) をする。
ただし、重力の影響は無視できるものとする。
上記の記述中の空白箇所(ア)、(イ)、(ウ)及び(エ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
| (ア) | (イ) | (ウ) | (エ) | |
|---|---|---|---|---|
| (1) | $qvB\sin\theta$ | 右手 | 右方向 | 放物線運動 |
| (2) | $qvB\sin\theta$ | 左手 | 右方向 | 円運動 |
| (3) | $qvB\Delta l\sin\theta$ | 右手 | 左方向 | 放物線運動 |
| (4) | $qvB\Delta l\sin\theta$ | 左手 | 左方向 | 円運動 |
| (5) | $qvB\Delta l\sin\theta$ | 左手 | 右方向 | ブラウン運動 |
解説
正解は(2)です。
電流の定義式からローレンツ力を導出し、電子が受ける力の向きと軌跡を判定します。
電磁力の公式$F = BI\Delta l\sin\theta$に、本文中の電流$I = \dfrac{vq}{\Delta l}$を代入して整理します。
$$F = B\left(\frac{vq}{\Delta l}\right)\Delta l\sin\theta = qvB\sin\theta\text{ [N]}$$よって、空白箇所(ア)に当てはまる式は$qvB\sin\theta$です。
導線が受ける力の向きはフレミングの左手の法則に従うため、(イ)は「左手」です。
続いて、水平前方へ放たれた電子（負の電荷）に対するローレンツ力の向きを調べます。
電子は負電荷なので、電流の向き（中指）は進行方向と逆の後方（自分向き）です。
人差し指を磁束密度$B$の鉛直下向きに合わせると、親指は「右方向」を指します。
これが空白箇所(ウ)であり、進行方向に対して常に右向きの力が働き続けます。
力が常に速度と直交して速さが一定となるため、電子の軌道は(エ)の「円運動」です。
以上より、空白箇所(ア)～(エ)をすべて満たす組合せは(2)となります。
【平成27年・問12】ブラウン管の電界による電子ビームの偏向距離
ブラウン管は電子銃、偏向板、蛍光面などから構成される真空管であり、オシロスコープの表示装置として用いられる。図のように、電荷$-e\text{ [C]}$をもつ電子が電子銃から一定の速度$v\text{ [m/s]}$で$z$軸に沿って発射される。電子は偏向板の中を通過する間、$x$軸に平行な平等電界$E\text{ [V/m]}$から静電力$-eE\text{ [N]}$を受け、$x$方向の速度成分$u\text{ [m/s]}$を与えられ進路を曲げられる。偏向板を通過後の電子は$z$軸と$\tan\theta = \dfrac{u}{v}$なる角度$\theta$をなす方向に直進して蛍光面に当たり、その点を発光させる。このとき発光する点は蛍光面の中心点から$x$方向に距離$X\text{ [m]}$だけシフトした点となる。
$u$と$X$を表す式の組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
ただし、電子の静止質量を$m\text{ [kg]}$、偏向板の$z$方向の大きさを$l\text{ [m]}$、偏向板の中心から蛍光面までの距離を$d\text{ [m]}$とし、$l \ll d$と仮定してよい。また、速度$v$は光速に比べて十分小さいものとする。
| $u$ | $X$ | |
|---|---|---|
| (1) | $\dfrac{elE}{mv}$ | $\dfrac{2eldE}{mv^2}$ |
| (2) | $\dfrac{elE^2}{mv}$ | $\dfrac{2eldE}{mv^2}$ |
| (3) | $\dfrac{elE}{mv^2}$ | $\dfrac{eldE^2}{mv}$ |
| (4) | $\dfrac{elE^2}{mv^2}$ | $\dfrac{eldE}{mv}$ |
| (5) | $\dfrac{elE}{mv}$ | $\dfrac{eldE}{mv^2}$ |
解説
正解は(5)です。
偏向板の通過時間と$x$方向の等加速度運動、および蛍光面までの幾何学的関係から求めます。
電子が偏向板を通過する間、$z$方向には力が作用せず速さ$v$は一定です。
長さ$l\text{ [m]}$の偏向板を通過する時間$t\text{ [s]}$は、距離を速さで割って求められます。
電界の向きは下向き（$-x$方向）のため、電子には$+x$方向の静電力$eE$が加わります。
運動方程式から加速度は$a = \dfrac{eE}{m}\text{ [m/s}^2\text{]}$となり、速度成分$u$は次の式です。
次に、条件$l \ll d$により偏向板の中心から直線的に距離$d\text{ [m]}$進むと近似します。
図の直角三角形よりシフト距離$X = d\tan\theta$が成立するため、$\tan\theta = \dfrac{u}{v}$を代入します。
以上より、正しい組合せは(5)です。
【平成24年・問12】磁界中の等速円運動における磁界の向き・半径・周期・角周波数
次の文章は、図に示す「磁界中における電子の運動」に関する記述である。
真空中において、磁束密度$B\text{ [T]}$の一様な磁界が紙面と平行な平面の (ア) へ垂直に加わっている。ここで、平面上の点$\text{a}$に電荷$-e\text{ [C]}$、質量$m_0\text{ [kg]}$の電子をおき、図に示す向きに速さ$v\text{ [m/s]}$の初速度を与えると、電子は初速度の向き及び磁界の向きのいずれに対しても垂直で図に示す向きの電磁力$F_{\text{A}}\text{ [N]}$を受ける。この力のために電子は加速度を受けるが速度の大きさは変わらないので、その方向のみが変化する。したがって、電子はこの平面上で時計回りに速さ$v\text{ [m/s]}$の円運動をする。この円の半径を$r\text{ [m]}$とすると、電子の運動は、磁界が電子に作用する電磁力の大きさ$F_{\text{A}} = Bev\text{ [N]}$と遠心力$F_{\text{B}} = \dfrac{m_0}{r}v^2\text{ [N]}$とが釣り合った円運動であるので、その半径は$r =$ (イ) $\text{ [m]}$と計算される。したがって、この円運動の周期は$T =$ (ウ) $\text{ [s]}$、角周波数は$\omega =$ (エ) $\text{ [rad/s]}$となる。
ただし、電子の速さ$v\text{ [m/s]}$は、光速より十分小さいものとする。また、重力の影響は無視できるものとする。
上記の記述中の空白箇所(ア)、(イ)、(ウ)及び(エ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
| (ア) | (イ) | (ウ) | (エ) | |
|---|---|---|---|---|
| (1) | 裏からおもて | $\dfrac{m_0 v}{eB^2}$ | $\dfrac{2\pi m_0}{eB}$ | $\dfrac{eB}{m_0}$ |
| (2) | おもてから裏 | $\dfrac{m_0 v}{eB}$ | $\dfrac{2\pi m_0}{eB}$ | $\dfrac{eB}{m_0}$ |
| (3) | おもてから裏 | $\dfrac{m_0 v}{eB}$ | $\dfrac{2\pi m_0}{e^2 B}$ | $\dfrac{2e^2 B}{m_0}$ |
| (4) | おもてから裏 | $\dfrac{2m_0 v}{eB}$ | $\dfrac{2\pi m_0}{eB^2}$ | $\dfrac{eB^2}{m_0}$ |
| (5) | 裏からおもて | $\dfrac{m_0 v}{2eB}$ | $\dfrac{\pi m_0}{eB}$ | $\dfrac{eB}{m_0}$ |
解説
正解は(2)です。
フレミングの左手の法則による磁界の向きの判定と、円運動のつり合い式を使います。
点$\text{a}$の電子は下向きの速度$v$をもつため、電流の向き（中指）は反対の上向きです。
図の電磁力$F_{\text{A}}$は左向きのため、左手の親指を左向きに合わせます。
この状態で人差し指は紙面の「おもてから裏」を指し、これが(ア)の答えです。
次に、電磁力$F_{\text{A}}$と遠心力$F_{\text{B}}$のつり合い条件から半径$r\text{ [m]}$を計算します。
したがって、(イ)は$\dfrac{m_0 v}{eB}$です。
円運動の周期$T\text{ [s]}$および角周波数$\omega\text{ [rad/s]}$は、得られた$r$から順次求められます。
よって、(ウ)と(エ)も定まり、すべての項目が一致する選択肢は(2)となります。
【平成23年・問12】一様電界中の電子の加速度運動と各物理量の時間依存性
次の文章は、真空中における電子の運動に関する記述である。
図のように、$x$軸上の負の向きに大きさが一定の電界$E\text{ [V/m]}$が存在しているとき、$x$軸上に電荷が$-e\text{ [C]}$（$e$は電荷の絶対値）、質量$m_0\text{ [kg]}$の$1$個の電子を置いた場合を考える。$x$軸の正方向の電子の加速度を$a\text{ [m/s}^2\text{]}$とし、また、この電子に加わる力の正方向を$x$軸の正方向にとったとき、電子の運動方程式は
$m_0 a =$ (ア) ………………………… ①
となる。①式から電子は等加速度運動をすることがわかる。したがって、電子の初速度を零としたとき、$x$軸の正方向に向かう電子の速度$v\text{ [m/s]}$は時間$t\text{ [s]}$の (イ) 関数となる。また、電子の走行距離$x_{\text{dis}}\text{ [m]}$は時間$t\text{ [s]}$の (ウ) 関数で表される。さらに、電子の運動エネルギーは時間$t\text{ [s]}$の (エ) で増加することがわかる。
ただし、電子の速度$v\text{ [m/s]}$はその質量の変化が無視できる範囲とする。
上記の記述中の空白箇所(ア)、(イ)、(ウ)及び(エ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
| (ア) | (イ) | (ウ) | (エ) | |
|---|---|---|---|---|
| (1) | $eE$ | 一次 | 二次 | $1$乗 |
| (2) | $\dfrac{1}{2}eE$ | 二次 | 一次 | $1$乗 |
| (3) | $eE^2$ | 一次 | 二次 | $2$乗 |
| (4) | $\dfrac{1}{2}eE$ | 二次 | 一次 | $2$乗 |
| (5) | $eE$ | 一次 | 二次 | $2$乗 |
解説
正解は(5)です。
負電荷の電子が受ける静電力の向きと、等加速度運動における速度・距離・エネルギーを求めます。
電荷$-e$に対して電界$E$が$-x$方向のため、静電力$F = eE$が$+x$方向に働きます。
よって運動方程式の右辺(ア)は$eE$で、加速度$a = \dfrac{eE}{m_0}$は一定です。
初速度が零なので、時間$t\text{ [s]}$後の速度$v$と走行距離$x_{\text{dis}}$は次式で表せます。
$$v = at = \frac{eE}{m_0}t\text{ [m/s]}$$ $$x_{\text{dis}} = \frac{1}{2}at^2 = \frac{eE}{2m_0}t^2\text{ [m]}$$したがって、$v$は時間$t$の「一次」関数、$x_{\text{dis}}$は「二次」関数です。
続いて、運動エネルギー$W$に$v = at$を代入して時間$t$との関係を調べます。
運動エネルギーは時間$t$の「$2$乗」に比例して増大するため、正しい組合せは(5)です。
【平成21年・問12】平等磁界中・平等電界中に斜め突入した電子の軌跡
図$1$のように、真空中において強さが一定で一様な磁界中に、速さ$v\text{ [m/s]}$の電子が磁界の向きに対して$\theta\text{ [}^\circ\text{]}$の角度（$0\text{ [}^\circ\text{]} < \theta\text{ [}^\circ\text{]} < 90\text{ [}^\circ\text{]}$）で突入した。この場合、電子は進行方向にも磁界の向きにも (ア) 方向の電磁力を常に受けて、その軌跡は、 (イ) を描く。
次に、電界中に電子を置くと、電子は電界の向きと (ウ) 方向の静電力を受ける。また、図$2$のように、強さが一定で一様な電界中に、速さ$v\text{ [m/s]}$の電子が電界の向きに対して$\theta\text{ [}^\circ\text{]}$の角度（$0\text{ [}^\circ\text{]} < \theta\text{ [}^\circ\text{]} < 90\text{ [}^\circ\text{]}$）で突入したとき、その軌跡は、 (エ) を描く。
上記の記述中の空白箇所(ア)、(イ)、(ウ)及び(エ)に当てはまる語句として、正しいものを組み合わせたのは次のうちどれか。
| (ア) | (イ) | (ウ) | (エ) | |
|---|---|---|---|---|
| (1) | 反対 | らせん | 反対 | 放物線 |
| (2) | 直角 | 円 | 同じ | 円 |
| (3) | 同じ | 円 | 直角 | 放物線 |
| (4) | 反対 | らせん | 同じ | 円 |
| (5) | 直角 | らせん | 反対 | 放物線 |
解説
正解は(5)です。
一様な磁界および電界に斜め突入した電子の力の向きと運動軌跡の違いを整理します。
ローレンツ力は進行方向（速度）と磁界の向きの両方に対し、常に「直角」の向きに働きます。
そのため(ア)は直角であり、磁界に垂直な速度成分$v\sin\theta$が円運動を生む要因です。
一方で、磁界と平行な速度成分$v\cos\theta$は力を受けず一定に保たれます。
円運動しながら磁界方向へ等速で進むため、図$1$の軌跡(イ)は「らせん」です。
次に図$2$のように電界中へ置かれた電子を考えます。
電子は負電荷なので、電界とは「反対」向きの静電力を受けることが(ウ)のポイントです。
垂直方向の速度が一定のまま逆向きに加速されるため、水平投射と同じ状態になります。
以上より、図$2$の軌跡(エ)は「放物線」となり、すべての組合せが正しい選択肢は(5)です。
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