【電験3種・理論】アンペールの法則とは？微分形・積分形の違いは?試験対策と過去問題を解説

電験3種（理論）で出題される「アンペールの法則」とは？微分形・積分形の違いは?計算方法や試験対策、過去問題を解説します。

アンペールの法則とは

アンペールの法則とは、電流とその周囲に発生する磁界(磁場)の関係をあらわす法則です。1820年にフランスの物理学者アンドレ・マリー・アンペールによって発見されました。直線導体に電流$I$を流すと電流の方向を右ネジの進む方向として、右ネジの回る向きに磁界(磁場)$H$が発生します。
$H=\frac{I}{2\pi r}$
ここで、$r$は円形領域Sの半径です。

アンペールの法則の積分形

任意の点における磁界$H$と電流密度$j$の関係は以下の式で表せます。
$\int_CHdl=\int_SjdS$
これをアンペールの法則の積分形といいます。$H$は磁界の強さ、$C$は閉曲線、$dl$は線素ベクトル、$j$は電流密度、$dS$は面素ベクトルです。ここで、アンペールの法則の積分形を使って、直線導体に流れる電流の周りの磁界$H$を求めてみます。直線電流によって中心を垂直に貫いた半径$r$の円領域Sとその周囲Cを考えると、アンペールの式（積分形）の左辺は以下のようになります。
$\int_CHdl=H\int_Cdl=2\pi rH$
一方右辺は次のようになります。
$\int_SjdS=I$
これは$C$内を通過する全電流を示しています。これらの結果から、$H$が以下のようにして求まり、最初に紹介したアンペールの法則の磁界$H$を求める式が導出されます。
$2\pi rH=I$
$H=\frac{I}{2\pi r}$

アンペールの法則の微分形

任意の点における磁界Hと電流密度jの関係は以下の式で表せます。
$rotH=j$
これをアンペールの法則の微分形といいます。この式は、電流密度$j$、つまり電流の周りを回転するように磁界$H$が発生することを意味しています。

【平成26年度・問4】アンペールの法則の積分形

図のように，十分に長い直線状導体A，Bがあり，AとBはそれぞれ直角座標系の軸と軸に沿って置かれている。
Aには$+x$方向の電流$I_x[A]$が，Bには$+y$方向の電流$I_y[A]$が、それぞれ流れている。
$I_x>0，I_y>0$とする。
このとき，$xy$平面上で$I_x$と$I_y$のつくる磁界が零となる点($x[m], y[m]$)の満たす条件として，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
ただし，≠0，≠0とする。
(1)　$y=\frac{I_x}{I_y}x$
(2)　$y=\frac{I_y}{I_x}x$
(3)　$y=-\frac{I_x}{I_y}x$
(4)　$y=-\frac{I_y}{I_x}x$
(5)　$y=\pm x$

解説

アンペールの法則の積分形$H=\frac{I}{2\pi r}$より、$I_x, I_y$が作る磁界の大きさ$H_x, H_y$は以下のとおり。

$H_x=\frac{I_x}{2\pi y}$
$H_y=\frac{I_y}{2\pi x}$
磁界の大きさが0となるのは、$H_x+H_y=0$となるときなので、以下のように答えは(1)だとわかる。
$\frac{I_x}{2\pi y}=\frac{I_y}{2\pi x}$
$y=\frac{I_x}{I_y}x$

【平成25年度・問4・一部改変】導体に働く力

図のように，透磁率 $ \mu_0 $ [H/m] の真空中に無限に長い直線状導体 A と 1 辺 $a$ [m] の正方形のループ状導体 B が距離 $d$ [m] を隔てて置かれている。A と B は $xz$ 平面上にあり， A は $z$ 軸と平行， B の各辺は $x$ 軸又は $z$ 軸と平行である。A ， B には直線電流$I=A[A] ，I_B[A]$が，それぞれ図示する方向に流れている。このとき， B に加わる電磁力を求めよ。

解説

導体Bのうち、左辺と右辺に働く電磁力$F_{B1}, F_{B2}$と磁界$H_{B1}, H_{B2}$は以下のとおり。

アンペールの法則より、$H_1, H_2$は以下のとおり。
$H_{B1}=\frac{I_A}{2\pi d}$
$H_{B2}=\frac{I_B}{2\pi (d+a)}$
磁束密度の大きさ$B_{B1}, B_{B2}$は以下のとおり。
$B_{B1}=\mu_0 H_{B1}=\mu_0 \frac{I_A}{2\pi d}$
$B_{B2}=\mu_0 H_{B2}=\mu_0 \frac{I_B}{2\pi (d+a)}$
よって、電磁力$F_1, F_2$は以下とおり。
$F_{B1}=B_{B1}I_Ba=\frac{\mu_0 I_A I_B a}{2\pi d}$
$F_{B2}=B_{B2}I_Ba=\frac{\mu_0 I_A I_B a}{2\pi(d+a)}$
導体Bに加わる合力Fは以下のとおり。
$F=F_1‐F_2=\frac{\mu_0 I_AI_Ba^2}{2\pi d(d+a)}$

【平成24年度・問4】2本の平行な導体に働く力

真空中に，2 本の無限長直線状導体が 20 [cm] の間隔で平行に置かれている。
一方の導体に 10 [A] の直流電流を流しているとき，その導体には 1 [m]
当たり $1\times 10^{−6}$ [N] の力が働いた。他方の導体に流れている直流電流 I [A] の大きさはいくらか。
ただし，真空の透磁率は $\mu_0=4 \pi \times 10^{−7}$ [H/m] である。

解説

平行直線状導体間に働く力の大きさを求める計算式は以下のとおり。
$F=\frac{\mu I_1I_2}{2\pi r}$
題意の値を代入すると$I_2=0.1[A]$と求まる。
$(1.0 \times 10^{-6})=\frac{4\pi \times 10^{-7} 10I_2}{2\pi 0.2}$
$I_2=0.1[A]$

【平成23年度・問4】正方形、円形、三角形のコイル

図1のように， 1 辺の長さが a [m] の正方形のコイル（巻数： 1 ）に直流電流 I [A] が流れているときの中心点 O1
の磁界の大きさを$H_1$[A/m] とする。また，図2のように，直径 a [m] の円形のコイル（巻数： 1 ）に直流電流 I [A] が流れているときの中心点 O2 の磁界の大きさを$H_2$ [A/m] とする。このとき，磁界の大きさ$H_1, H_2$を求めよ
ただし，中心点 O1 ， O2 はそれぞれ正方形のコイル，円形のコイルと同一平面上にあるものとする。
参考までに，図3のように，長さ a [m] の直線導体に直流電流 I [A] が流れているとき，導体から距離 r [m] 離れた点 P における磁界の大きさ H [A/m] は， $H=\frac{I}{4\pi r}(cos\theta_1+cos\theta_2)$で求められる（角度θ1 と θ2 の定義は図参照）。

解説

図1の正方形のコイルの一辺が中心点$O_1$に作る磁界の大きさ$H_{11}$[A/m]は以下のようになる。
$H_{11}=\frac{I}{4\pi \frac{a}{2}}(cos\theta(45)+cos\theta(45))=\frac{I}{\sqrt{2}\pi a}$[A/m]
正方形全体(4辺分)が作る磁界の大きさは$H_{11}$の4倍なので、以下のとおりになる。
$H_1=H_{11}=\frac{2\sqrt{2}I}{\pi a}$[A/m]
円形コイルが中心点 O2 に作る磁界の大きさ$H_2$ [A/m] は以下のとおり。
$H_2=\frac{I_2}{2\frac{a}{2}}=\frac{I}{a}$ [A/m]

【令和7年度上期・問4】直線状導体と円形コイルが作る磁界の比較

図1のように、無限に長い直線状導体Aに直流電流 $I_1 \text{ [A]}$ が流れているとき、この導体から $a \text{ [m]}$ 離れた点Pでの磁界の大きさは $H_1 \text{ [A/m]}$ であった。一方、図2のように半径 $a \text{ [m]}$ の一巻きの円形コイルBに直流電流 $I_2 \text{ [A]}$ が流れているとき、この円の中心点Oでの磁界の大きさは $H_2 \text{ [A/m]}$ であった。$H_1 = H_2$ であるときの $I_1$ と $I_2$ の関係を表す式として正しいものを、次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

–	(1)	(2)	(3)	(4)	(5)
関係式	$I_1 = \pi^2 I_2$	$I_1 = \frac{2}{\pi} I_2$	$I_1 = \frac{I_2}{\pi^2}$	$I_1 = \frac{I_2}{\pi}$	$I_1 = \pi I_2$

解説

正解は(5)です。
無限長直線導体から距離 $a$ の点Pにおける磁界の大きさ $H_1$ は、
$$H_1 = \frac{I_1}{2 \pi a}$$
半径 $a$ の円形コイルの中心Oにおける磁界の大きさ $H_2$ は、
$$H_2 = \frac{I_2}{2 a}$$
題意より $H_1 = H_2$ であるから、
$$\frac{I_1}{2 \pi a} = \frac{I_2}{2 a}$$
$$I_1 = \pi I_2$$

【令和6年度下期・問4】平行な直線導体に働く電磁力

図に示すように、直線導体A及びBがy方向に平行に配置され、両導体に同じ大きさの電流 $I$ が共に+y方向に流れているとする。このとき、各導体に加わる力の方向について、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
なお、xyz座標の定義は、破線の枠内の図で示したとおりとする。

–	(1)	(2)	(3)	(4)	(5)
導体A	+x方向	+x方向	-x方向	-x方向	どちらの導体にも力は働かない
導体B	+x方向	-x方向	+x方向	-x方向

解説

正解は(2)です。
アンペールの右ねじの法則より、+y方向に流れる電流は、周囲に磁界を作ります。
導体Aの電流 $I$ が導体Bの位置に作る磁界の向きは、-z方向（紙面の裏向き）です。導体Bの電流は+y方向であるため、フレミングの左手の法則を適用すると、導体Bが受ける力は-x方向（導体Aに引き寄せられる向き）になります。
同様に、導体Bの電流が導体Aの位置に作る磁界は+z方向（表向き）であり、導体Aが受ける力は+x方向（導体Bに引き寄せられる向き）になります。
平行で同じ向きに電流が流れる導体間には、互いに引き合う引力（吸引力）が働きます。
したがって、導体Aには+x方向、導体Bには-x方向の力が働きます。

【令和6年度上期・問4】平行直線導体による合成磁界

図のように、A,B2本の平行な直線導体があり、導体Aには $1.2 \text{ [A]}$ の、導体Bにはそれと反対方向に $3 \text{ [A]}$ の電流が流れている。導体AとBの間隔が $l \text{ [m]}$ のとき、導体Aより $0.3 \text{ [m]}$ 離れた点Pにおける合成磁界が零になった。$l$ の値 $\text{[m]}$ として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
ただし、導体A、Bは無限長とし、点Pは導体A、Bを含む平面上にあるものとする。

–	(1)	(2)	(3)	(4)	(5)
$l \text{ [m]}$	0.24	0.45	0.54	0.75	1.05

解説

正解は(2)です。
無限長直線導体が距離 $r$ の点に作る磁界の大きさは $H = \frac{I}{2\pi r}$ です。
電流の向きが互いに逆であるため、点Pにおいて導体Aが作る磁界 $H_A$ と導体Bが作る磁界 $H_B$ は向きが逆になり、打ち消し合います。
$$H_A = \frac{1.2}{2\pi \times 0.3}$$
$$H_B = \frac{3}{2\pi \times (0.3 + l)}$$
点Pにおいて合成磁界が零になるため、 $H_A = H_B$ が成り立ちます。
$$\frac{1.2}{0.3} = \frac{3}{0.3 + l}$$
$$4 = \frac{3}{0.3 + l}$$
$$0.3 + l = 0.75$$
$$l = 0.45 \text{ [m]}$$

関連リンク

https://denken.joho.info/denken3-riron/
https://denken.joho.info/denken3/