電験3種（理論）で出題される電界、電気力線、電束、電束密度、クーロンの法則、静電気、静電力とは?試験対策と過去問題について解説します。
静電力とクーロンの法則
静電気・帯電・帯電体
「静電気」とは、物質が帯びている電気のことです。物体が物質が正負いずれかの電荷が多い状態にあり、電気を帯びていることを「帯電」といいます。そして、帯電している物体を「帯電体」といいます。大きさが無視できる帯電体を「点電荷」といいます。
静電誘導
帯電体を導体に接近させると、帯電体に近い側に「帯電した物体とは逆の極性の電荷が引き寄せられる」現象です。例えば、図のように導体に帯電体（正の電荷を帯びている）を近づけると、導体の表面（帯電体に近い側）には負の電荷が現れます。
誘電分極
誘電体に電荷を近づけると、反対の符号をもつ電荷が誘電体表面に現れることです。
電荷同士で働く静電力（クーロンの法則）
静電力とは、「同じ符号をもつ電荷同士は引き合い、異なる符号をもつ電荷同士は反発するときの、引き合ったり反発したりする力」のことです。静電力$F[N]$は、以下の式で計算することができ、これを「クーロンの法則」といいます。
$F=k\frac{Q_1Q_2}{r^2}=\frac{1}{4\pi \epsilon}\frac{Q_1Q_2}{r^2}$
$Q_1, Q_2$：2つの点電荷の電荷量[C]
$k$：比例定数$[N\cdot m^2/C^2]$
※真空中なら$9\times 10^9$
$r^2$：2つの点電荷の間の距離[m]
$\epsilon$：誘電率
静電力Fと誘電率$\epsilon$は反比例の関係にあります。つまり、真空に対して比誘電率εの絶縁体の液体で満たしたとき、小球の間に働く静電力は真空より$\frac{1}{\epsilon}$倍だけ小さくなります。
図で示すと以下のとおりです。
$F_1, F_2$はそれぞれ電荷$Q_1, Q_2$に働く静電力[N]です。
電界と静電力
電界の強さE
電界とは、「電荷が周囲に生じさせる、静電力が働く空間」ことです。電界中で「単位電荷($1[C]$)あたりに働く静電力の大きさと向き」を電界の強さ$E[V/m]$といいます。
電位差V
$1[C]$の点電荷が一様の電界 $E[V/m]$ に逆らって移動する仕事です。一様の電界 $E[V/m]$ 中で、点電荷を点Aから点Bまで距離d[m]だけ動かしたとき、点Aと点Bの電位差$V$は以下の式で計算できます。
$V=Ed[V]$
Q[C] の点電荷を電位差V[V]だけ移動させるための仕事$W$は以下の式で計算できます。
$W=VQ=EdQ[J]$
つまり、VのQ倍になり、エネルギー$W[J]$が大きいほど、点電荷の電位を上げることができます。
電気力線
正電荷(+Q)から出て負電荷(-Q)に吸い込まれる仮想の線です。電気力の様子を表現します。電荷量Qの正電荷から出る電気力線の本数$N$は
$N=\frac{Q}{\epsilon}$
となります。つまり、電気力線の本数Nは電荷量に比例し、誘電率に反比例します。その他、問題でよく問われる電気力線の主な特徴は以下のとおりです。
① 正電荷から出て負電荷に吸い込まれる(途中で枝分かれしたり、消えたり、異なる線同士が結合したりしない)。
② 1本の電気力線は縮もうとするが、異なる電気力線同士は反発しあう。
③ 導体表面に対して垂直に出入りする(導体内部には存在しない)。
④ 電気力線の接線の向きと、その点の電界の向きは一致する。
⑤ 電気力線の$1m^2$あたりの密度は、その点の電界の大きさとなる。
⑥ 導体外部の電気力線は、導体内部の空洞に入り込まず、外部の電界の影響は受けません。これを静電遮蔽といいます。
⑦ 電気力線が密集している箇所(電荷の近く)ほど、斥力・反発力が強い。
⑧ 電気力線の密集具合は、電解(電場)E[本/$m^2$]が大きいほど密集しているとわかる。
誘電率ε
周囲の空間における電気力線の透かしにくさ。
電束φ[C]
電束は、「電気力線を表す量」です。$1[C]$の電荷から出る電束の総和は$1[C]$です。単位は「本」ではなく、「C:クーロン」であることに注意してください。
電束密度D
ある面を垂直に貫く$1m^2$あたりの電束。
$D=\epsilon E=\frac{\phi}{S}[C/m^2]$
一様な電界中にある電荷に働く静電力
一様な電界$E[V/m]$にある電荷[C]に働く力を「静電気力（静電力）」といいます。静電力F[N]は以下の計算式で求まります。
$F=QE$
点電荷からr[m]離れた点の電界の大きさは次式で計算できます。
$E=\frac{N}{4\pi r^2}=\frac{\frac{Q}{\epsilon}}{4\pi r^2}==\frac{Q}{4\pi \epsilon r^2}$
${4\pi r^2}$は半径rの球の表面積です。点電荷$Q_1$からr[m]離れた点の電界$E_1$に、点電荷$Q_2$をおいたときに働く静電力Fは次式で計算できます。
$F=Q_2E_1=Q_2\frac{\frac{Q_1}{\epsilon}}{4\pi r^2}=\frac{1}{4\pi\epsilon}\frac{Q_1Q_2}{r^2}$
$k=\frac{1}{4\pi\epsilon}$としたときのkを比例定数といい、以下の式で簡単に表す事が多いです。
$F=k\frac{Q_1Q_2}{r^2}$
点電荷Q[C]からr[m]離れた点の電位V[V]は次式で計算できます。
$V=Ed=\frac{Q}{4\pi r^2}r=\frac{Q}{4\pi r}$
電束φ、電束密度D、面積S[m2]の間には、以下の関係式が成立します。
$D=\frac{\phi}{S}$
電束φの本数は、誘電率ε(電気力線の透かしにくさ)を考慮しないため、電気力線の本数Nのε倍となります(単位面積あたりの密度もε倍)。
よって、電気力線の密度は電界の大きさEを示すため、電束密度Dは電界の大きさEのε倍となります。
$D=\epsilon E =\epsilon_0 \epsilon_r E$
$\epsilon_r$:真空誘電率($8.85×10^{-12}$)
$\epsilon_0$:ある物質の誘電室$\epsilon$と真空誘電率$\epsilon_r$の比
【練習問題1】2つの電荷の静電力
真空中で、2つの電荷が直線上に30cmの間隔で位置する。2つの電荷の電荷量がそれぞれ$2\times 10^{-6}, -3\times 10^{-6}$[C]のとき、引き合う力Fはいくらになるか。
解説
$F=k\frac{Q_1Q_2}{r^2}=9\times 10^9\frac{(2\times 10^{-6})(-3\times 10^{-6})}{0.3^2}=-0.6[N]$
【練習問題2】3つの電荷の静電力
真空中で、3つの点電荷(電荷量は$3\times 10^{-8}$)が1辺の長さが30cmの正三角形の頂点にある。このとき、各点電荷に働く斥力Fの大きさを求めよ。
解説
各点電荷に働く斥力Fの大きさすべて同じになる。
よって、3つの点電荷の電荷量を$Q_1, Q_2, Q_3$とし、そのうちの1つの点電荷($Q_1$)に働く斥力Fを求める。
$F=F_{12}cos(30)+F_{13}cos(30)$
$=(k\frac{Q_1Q_2}{r^2}+k\frac{Q_1Q_3}{r^2})cos(30)$
$=(9\times 10^9)(\frac{(3\times 10^{-8})(3\times 10^{-8})}{0.3^2}+\frac{(3\times 10^{-8})(3\times 10^{-8})}{0.3^2})cos(30)$
$=(9\times 10^9)(1\times 10^{-14}+1\times 10^{-14})\frac{\sqrt{3}}{2}$
$=(9\times 10^9)(2\times 10^{-14})\frac{\sqrt{3}}{2}$
$=(18\times 10^{-5})\frac{\sqrt{3}}{2}$
$=1.56\times 10^{-4}$
【令和3年度・問2】導体小球に作用する静電力
二つの導体小球がそれぞれ電荷を帯びており，真空中で十分な距離を隔てて保持されている。ここで，真空の空間を，比誘電率 2 の絶縁体の液体で満たしたとき，小球の間に作用する静電力に関する記述として，正しいものを次の(1)～(5)うちから一つ選べ。
(1) 液体で満たすことで静電力の向きも大きさも変わらない。
(2) 液体で満たすことで静電力の向きは変わらず，大きさは 2 倍になる。
(3) 液体で満たすことで静電力の向きは変わらず，大きさは 1/2 倍になる。
(4) 液体で満たすことで静電力の向きは変わらず，大きさは 1/4 倍になる。
(5) 液体で満たすことで静電力の向きは逆になり，大きさは変わらない。
解説
静電力$F$の計算式は以下のとおり。
$F=\frac{1}{4\pi \epsilon}\frac{Q_1Q_2}{r^2}$
比誘電率2の絶縁体の液体で満たしたとき、$2\epsilon$となるので、静電力$F$の大きさが$\frac{1}{2}$倍になる。よって、答えは(3)。
【平成26年度・問2】静電誘導
※下線箇所の空欄補充問題
図のように真空中において、負に帯電した帯電体Aを、帯電していない絶縁された導体Bに近づけると、導体Bと帯電体Aに近い側の表面c付近に正の電荷が現れ、それと反対側の表面d付近に負の電荷が現れる。
この現象を静電誘導という。
【平成23年度・問1】静電誘導
静電界に関する記述として、誤っているものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) 電気力線は、導体表面に垂直に出入りする。
→正しい。
(2) 帯電していない中空の球導体Bが接地されていないとき、帯電した導体Aを導体Bで包んだとしても、導体Bの外部に電界ができる。
→正しい。以下図のように、静電誘導により導体Bの内側に負電荷、外側に正電荷が誘起されます。それにより、導体Bの外側には電界（電気力線）が発生します。
(3) Q [C] の電荷から出る電束の数や電気力線の数は、電荷を取り巻く物質の誘電率 ε [F/m] によって異なる。
→誤り。電気力線の数は$\frac{Q}{\epsilon}$だが、電束は$Q$本となる。
(4) 導体が帯電するとき、電荷は導体の表面にだけ分布する。
→正しい。
(5) 導体内部は等電位であり、電界は零である。
→正しい。
【令和7年度上期・問17】点電荷間に働く力と釣り合い
大きさが等しい二つの導体球A、Bがある。両導体球に電荷が蓄えられている場合、両導体球の間に働く力は、電荷の積に比例し、中心間距離の2乗に反比例する。
(a) 導体球Aに $+4 \times 10^{-8} \text{ C}$、Bに $+6 \times 10^{-8} \text{ C}$ の電荷を与え、距離 $0.3\text{m}$ で置いたところ、 $2.4 \times 10^{-4} \text{ N}$ の反発力が働いた。比例定数 $\text{[N・m}^2\text{/C}^2\text{]}$ として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) $3 \times 10^9$ (2) $4 \times 10^9$ (3) $9 \times 10^9$ (4) $12 \times 10^9$ (5) $15 \times 10^9$
(b) 導体球A、Bを固定し、電荷を持たない導体球CをまずAに接触させ、次にBに接触させた。このCをAとBの間の直線上に置くとき、力が釣り合うAからの距離 $\text{[m]}$ として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
解説
正解は (a)が(3)、(b)が(5)です。
(a) クーロンの法則 $F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$ より
$2.4 \times 10^{-4} = k \frac{4 \times 10^{-8} \times 6 \times 10^{-8}}{0.3^2} = k \frac{24 \times 10^{-16}}{0.09}$
$k = \frac{2.4 \times 10^{-4} \times 0.09}{24 \times 10^{-16}} = 9 \times 10^9 \text{ [N・m}^2\text{/C}^2\text{]}$
(b) CをAに接触：電荷は半分ずつになり $Q_A = 2 \times 10^{-8}, Q_C = 2 \times 10^{-8}$。
次にCをB（$6 \times 10^{-8}$）に接触：合計 $(2+6) \times 10^{-8} = 8 \times 10^{-8}$ を分け合い、 $Q_B = 4 \times 10^{-8}, Q_C = 4 \times 10^{-8}$。
Aからの距離 $x$ における力の釣り合い：
$k \frac{Q_A Q_C}{x^2} = k \frac{Q_B Q_C}{(0.3 – x)^2}$
$\frac{2}{x^2} = \frac{4}{(0.3 – x)^2} \Rightarrow \frac{1}{x^2} = \frac{2}{(0.3 – x)^2}$
$\sqrt{2} x = 0.3 – x \Rightarrow x(1 + 1.414) = 0.3 \Rightarrow x = 0.3 / 2.414 \approx 0.124 \text{ [m]}$
【令和6年度上期・問1】複合誘電体平行平板電極の等電位線
図1に示すような、空気を含む二つの誘電体からなる平行平板電極がある。この下部電極を接地し、上部電極に電圧を加えたときの電極間の等電位線の分布を示す断面図として、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
ただし、誘電体の導電性及び電極と誘電体の端効果は無視できるものとする。参考までに固体誘電体を取り除いた、空気中平行平板電極の場合の等電位線の分布を図2に示す。
解説
正解は(5)です。
平行平板コンデンサの誘電体層が直列に配置されている場合、電束密度 $D$ は各層で連続（等しい）となります。空気の比誘電率を $\epsilon_1 = 1$、固体誘電体の比誘電率を $\epsilon_2 = 6$ とすると、それぞれの電界の強さ $E_1, E_2$ は次式の関係になります。
$$D = \epsilon_0 \epsilon_1 E_1 = \epsilon_0 \epsilon_2 E_2$$
したがって、空気中と固体誘電体中の電界の強さの比は以下のようになります。
$$E_1 : E_2 = \epsilon_2 : \epsilon_1 = 6 : 1$$
電界の強さ $E$ は等電位面の間隔に反比例するため、電界が強い空気中では等電位面の間隔が狭く（密に）なり、電界が弱い固体誘電体中では間隔が広く（疎に）なります。
【令和5年度下期・問2】帯電した導体球
次の文章は、帯電した導体球に関する記述である。
真空中で導体球A及びBが軽い絶縁体の糸で固定点0からつり下げられている。 真空の誘電率を $\epsilon_0 \text{ [F/m]}$、重力加速度を $g \text{ [m/s}^2\text{]}$ とする。 A及びBは同じ大きさと質量 $m \text{ [kg]}$ をもつ。 糸の長さは各導体球の中心点が点0から距離 $l \text{ [m]}$ となる長さである。
まず、導体球A及びBにそれぞれ電荷 $Q \text{ [C]}$、$3Q \text{ [C]}$ を与えて帯電させたところ、静電力による（ア）が生じ、図のようにA及びBの中心点間が $d \text{ [m]}$ 離れた状態で釣り合った。 ただし、導体球の直径は $d$ に比べて十分に小さいとする。
このとき、個々の導体球において、静電力 $F = \text{（イ） [N]}$、重力 $mg \text{ [N]}$、糸の張力 $T \text{ [N]}$ の三つの力が釣り合っている。 三平方の定理より $F^2+(mg)^2=T^2$ が成り立ち、張力の方向を考えると $\frac{F}{T}$ は $\frac{d}{2l}$ に等しい。 これらより $T$ を消去し整理すると、$d$ が満たす式として、
$k\left(\frac{d}{2l}\right)^3=\sqrt{1-\left(\frac{d}{2l}\right)^2}$
が導かれる。 ただし、係数 $k = \text{（ウ）}$ である。
次に、AとBとを一旦接触させたところAB間で電荷が移動し、同電位となった。 そしてAとBとが力の釣合いの位置に戻った。 接触前に比べ、距離 $d$ は（エ）した。
上記の記述中の空白箇所(ア)〜(エ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
| – | (ア) | (イ) | (ウ) | (エ) |
|---|---|---|---|---|
| (1) | 反発力 | $\frac{3Q^2}{4\pi\epsilon_0 d^2}$ | $\frac{16\pi\epsilon_0 l^2 mg}{3Q^2}$ | 増加 |
| (2) | 吸引力 | $\frac{Q^2}{4\pi\epsilon_0 d^2}$ | $\frac{4\pi\epsilon_0 l^2 mg}{Q^2}$ | 増加 |
| (3) | 反発力 | $\frac{3Q^2}{4\pi\epsilon_0 d^2}$ | $\frac{4\pi\epsilon_0 l^2 mg}{Q^2}$ | 増加 |
| (4) | 反発力 | $\frac{Q^2}{4\pi\epsilon_0 d^2}$ | $\frac{16\pi\epsilon_0 l^2 mg}{3Q^2}$ | 減少 |
| (5) | 吸引力 | $\frac{Q^2}{4\pi\epsilon_0 d^2}$ | $\frac{4\pi\epsilon_0 l^2 mg}{Q^2}$ | 減少 |
解説
正解は(1)です。
導体球A及びBにはそれぞれ $Q \text{ [C]}$、$3Q \text{ [C]}$ の同符号の電荷が与えられているため、静電力による（ア）反発力が生じます。
このとき、極板間の距離は $d \text{ [m]}$ であるため、クーロンの法則により静電力 $F \text{ [N]}$ は次式となります。
$F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q \times 3Q}{d^2} = \frac{3Q^2}{4\pi\epsilon_0 d^2}$
これが（イ）に当てはまります。
問題文より、三つの力が釣り合っており $F^2 + (mg)^2 = T^2$ が成り立ちます。
また、$\frac{F}{T} = \frac{d}{2l}$ より $T = \frac{2l}{d}F$ となります。 これを三平方の定理の式に代入します。
$F^2 + (mg)^2 = \left(\frac{2l}{d}F\right)^2$
$(mg)^2 = F^2 \left( \frac{4l^2}{d^2} – 1 \right) = F^2 \frac{1 – \left(\frac{d}{2l}\right)^2}{\left(\frac{d}{2l}\right)^2}$
$F = mg \frac{\frac{d}{2l}}{\sqrt{1 – \left(\frac{d}{2l}\right)^2}}$
これに $F = \frac{3Q^2}{4\pi\epsilon_0 d^2}$ を代入します。 ここで、$d^2 = 4l^2\left(\frac{d}{2l}\right)^2$ と変形して代入します。
$\frac{3Q^2}{4\pi\epsilon_0 \times 4l^2\left(\frac{d}{2l}\right)^2} = \frac{mg\left(\frac{d}{2l}\right)}{\sqrt{1 – \left(\frac{d}{2l}\right)^2}}$
$\frac{3Q^2}{16\pi\epsilon_0 l^2} \frac{1}{\left(\frac{d}{2l}\right)^2} = \frac{mg\left(\frac{d}{2l}\right)}{\sqrt{1 – \left(\frac{d}{2l}\right)^2}}$
$\frac{3Q^2}{16\pi\epsilon_0 l^2 mg} = \left(\frac{d}{2l}\right)^3 \frac{1}{\sqrt{1 – \left(\frac{d}{2l}\right)^2}}$
両辺を整理して、問題文の式 $k\left(\frac{d}{2l}\right)^3 = \sqrt{1 – \left(\frac{d}{2l}\right)^2}$ の形にすると、
$\frac{16\pi\epsilon_0 l^2 mg}{3Q^2}\left(\frac{d}{2l}\right)^3 = \sqrt{1 – \left(\frac{d}{2l}\right)^2}$
したがって、係数 $k$ は次式となります。 これが（ウ）に当てはまります。
$k = \frac{16\pi\epsilon_0 l^2 mg}{3Q^2}$
次に、AとBを一旦接触させると、電荷が移動して同電位になります。 導体球の大きさが同じであるため、電荷は等分されます。
それぞれの導体球が持つ電荷 $Q’$ は、
$Q’ = \frac{Q + 3Q}{2} = 2Q \text{ [C]}$
接触後の静電力 $F’$ は次式となります。
$F’ = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{2Q \times 2Q}{d^2} = \frac{4Q^2}{4\pi\epsilon_0 d^2}$
接触前の静電力の分子は $3Q^2$ であり、接触後は $4Q^2$ となるため、同じ距離 $d$ における反発力は大きくなります。
反発力が大きくなるため、釣り合いの位置に戻ったときの距離 $d$ は（エ）増加します。
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