この記事では、ラプラス変換でRC直列回路の過渡応答の式を求める方法についてまとめました。
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RC回路(ラプラス変換)
（$V_i$：入力電圧、$R$：抵抗値、$C$：コンデンサの容量値、$V_R$：抵抗にかかる電圧、$V_C$：コンデンサにかかる電圧、$i$：回路全体に流れる電流値）
RC直列回路の過渡応答の式をラプラス変換を用いて導出します。
キルヒホッフの定理より次式が成立します。
\begin{eqnarray}
V_i = Ri(t) + \frac{\int i(t)dt}{C}
\end{eqnarray}
ここで$i(t)=\frac{dq(t)}{dt}, q=\int i(t) dt$より上式は以下のように変形できます。
\begin{eqnarray}
V_i = R \frac{dq(t)}{dt} + \frac{q(t)}{C}
\end{eqnarray}
上式をラプラス変換すると
\begin{eqnarray}
\frac{V_i}{s} = RsQ(s)+\frac{Q(s)}{C}
\end{eqnarray}
となります。($V_i$はステップ応答）
この式を電荷$Q(S)$について変形すると
\begin{eqnarray}
Q(s)&=&\frac{\frac{V_i}{s}}{Rs+\frac{1}{C}}=\frac{V_i}{s(Rs+\frac{1}{C})}=\frac{\frac{V_i}{R}}{s(s+\frac{1}{RC})}=\frac{\frac{V_i}{RC}}{\frac{1}{c}s(s+\frac{1}{RC})}=\frac{\frac{CV_i}{RC}}{s(s+\frac{1}{RC})}\\
&=&CV_i \left[ \frac{\frac{1}{RC}}{s(s+\frac{1}{RC})} \right]=CV_i ( \frac{1}{s} – \frac{1}{s+\frac{1}{RC}})
\end{eqnarray}
となります。ここで、上式を逆ラプラス変換すると
\begin{eqnarray}
Q(t) = CV_i ( 1 – e^{-\frac{1}{RC}t} )
\end{eqnarray}
となります。（時間が経つと電荷は$CV_i$に収束）
コンデンサ$C$にかかる電圧$V_C(t)$は
\begin{eqnarray}
V_C(t)&=& \frac{Q(t)}{C}=V_i ( 1 – e^{-\frac{1}{RC}t} )
\end{eqnarray}
となります。（時間が経つと入力電圧$V_i$に収束）
回路に流れる電流$i(t)$は
\begin{eqnarray}
i(t)&=&\frac{d}{dt}Q(t)=\frac{CV_i}{RC}e^{-\frac{1}{RC}t}=\frac{V_i}{R} e^{-\frac{t}{RC}}
\end{eqnarray}
となります。(時間が経つと0に収束)
抵抗$R$にかかる電圧$V_R(t)$は
\begin{eqnarray}
V_R(t)&=& Ri(t)=V_ie^{-\frac{t}{RC}}
\end{eqnarray}
となります。(証明終わり)
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