ホイーストンブリッジとは?平衡条件の計算方法と例題について解説します。
【平成29年度・問15】交流回路のホイーストンブリッジ
図は未知のインピーダンス$\dot{Z}$[Ω] を測定するための交流ブリッジである。電源の電圧を$\dot{E}$[V] ，角周波数を$w$[rad/s] とする。ただし、$w$、静電容量$C_1$[F] ，抵抗$R_1, R_2, R_3$[Ω]は0でないとするとき、次の①②を求めよ。
①交流検出器Dによる検出電圧が零となる平衡条件を$\dot{Z}$，$R_1, R_2, R_3, w, C_1$を用いて表せ。
②$\dot{Z}=R+jX$としたとき，この交流ブリッジで測定できる$R$[Ω]と$X$[Ω]の値が正か負か答えよ。
解答①
$R_1$と$C_1$の合成インピーダンス$\dot{Z_1}$は以下のとおり。 $\dot{Z_1}=\frac{R_1\frac{1}{jwC_1}}{R_1+\frac{1}{jwC_1}}=\frac{R_1}{1+jwC_1R_1}$
交流ブリッジの平衡条件は以下のとおり。
$\dot{Z}\dot{Z_1}=R_2R_3$
$\dot{Z}\frac{R_1}{1+jwC_1R_1}=R_2R_3$
解答②
①の解答式を$\dot{Z}$について整理すると以下のとおり。
$\dot{Z}=\frac{R_2R_3}{R_1}+j\frac{wC_1R_1R_2R_3}{R_1}=\frac{R_2R_3}{R_1}+jwC_1R_2R_3$
与えられた値はすべて正なので、$\dot{Z}$の実部と虚部は正になる。つまり、$R$[Ω]と$X$[Ω]の値はともに正となる。
【令和6年度下期・問16】ブリッジ回路を用いた未知抵抗の測定
図のブリッジ回路を用いて、未知抵抗 $R_x$ を測定したい。抵抗 $R_1=3 \text{ k}\Omega$、$R_2=2 \text{ k}\Omega$、$R_4=3 \text{ k}\Omega$ とし、$R3=6 \text{ k}\Omega$ の滑り抵抗器の接触子の接点Cをちょうど中央に調整したとき（$R{ac}=R_{bc}=3 \text{ k}\Omega$）ブリッジが平衡したという。次の(a)及び(b)の問に答えよ。 ただし、直流電圧源は $6 \text{ V}$ とし、電流計の内部抵抗は無視できるものとする。
(a) 未知抵抗 $R_x$ の値 $\text{[k}\Omega\text{]}$ として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
| – | (1) | (2) | (3) | (4) | (5) |
|---|---|---|---|---|---|
| $R_x \text{ [k}\Omega\text{]}$ | 0.1 | 0.5 | 1.0 | 1.5 | 2.0 |
(b) 平衡時の電流計の指示値 $\text{[mA]}$ として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
| – | (1) | (2) | (3) | (4) | (5) |
|---|---|---|---|---|---|
| 指示値 $\text{[mA]}$ | 0 | 0.4 | 1.5 | 1.7 | 2.0 |
解説
正解は(a)-(3)、(b)-(4)です。
(a) ブリッジ回路が平衡しているため、向かい合う抵抗の積は等しくなります。 滑り抵抗器の接点が中央にあるため、回路のブリッジを構成する4つの辺の抵抗は次のようになります。 左上の辺：$R_1 = 3 \text{ k}\Omega$ 右上の辺：$R_2 = 2 \text{ k}\Omega$ 左下の辺：$R4 + R{ac} = 3 + 3 = 6 \text{ k}\Omega$ 右下の辺：$Rx + R{bc} = R_x + 3 \text{ k}\Omega$
平衡条件より、 $$R_1 \times (Rx + R{bc}) = R_2 \times (R4 + R{ac})$$ $$3 \times (R_x + 3) = 2 \times (3 + 3)$$ $$3(R_x + 3) = 12 \quad \implies \quad R_x + 3 = 4 \quad \implies \quad R_x = 1.0 \text{ [k}\Omega\text{]}$$ よって、正解は(3)です。
(b) ブリッジが平衡しているとき、検流計には電流が流れません。したがって、ブリッジ回路の検流計がある経路を開放して回路の全抵抗 $R_{total}$ を求めます。 左側の直列部分：$R_1 + R4 + R{ac} = 3 + 3 + 3 = 9 \text{ k}\Omega$ 右側の直列部分：$R_2 + Rx + R{bc} = 2 + 1 + 3 = 6 \text{ k}\Omega$
この2つの経路が並列になっているため、全体の合成抵抗 $R{total}$ は、 $$R{total} = \frac{9 \times 6}{9 + 6} = \frac{54}{15} = 3.6 \text{ [k}\Omega\text{]}$$
電源電圧は $6 \text{ V}$ であるため、回路全体を流れる電流 $I$（電流計の指示値）は、オームの法則より、 $$I = \frac{E}{R_{total}} = \frac{6}{3.6} \approx 1.667 \text{ [mA]}$$
最も近い値は $1.7 \text{ mA}$ となります。 よって、正解は(4)です。
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