【電験3種・理論】頻出問題「直並列抵抗回路の合成抵抗と分流・分圧」の過去問解説

電験3種（理論）の頻出問題である「直並列抵抗回路の合成抵抗と分流・分圧」について解説します。

「直並列抵抗回路の合成抵抗と分流・分圧」の攻略ポイント

電験3種の理論科目では、直流の直並列抵抗回路に関する計算問題が毎年のように出題されます。出題形式は、合成抵抗の導出、分流則と分圧則の適用、および等電位点や平衡ブリッジを利用した回路簡略化が中心です。

さらに、スイッチ切換えによる抵抗値と電流比の算出や、測定値から未知抵抗を逆算する連立計算も頻出します。回路図の配線を整理し、直列、並列、短絡の関係を見抜くことが得点につながります。

基本公式とポイント

直並列抵抗回路の計算で重要となる基本公式とポイントを以下の表に整理しました。

項目	基本公式	ポイント
合成抵抗（直列・並列）	・直列接続：$R = R_1 + R_2 + \cdots\text{ [}\Omega\text{]}$ ・並列接続：$\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \cdots\text{ [S]}$ ・$2$抵抗の並列：$R = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}\text{ [}\Omega\text{]}$	・直列の合成抵抗は各抵抗より大きくなり電流は等しい ・並列の合成抵抗は最小の抵抗より小さくなり電圧は等しい ・同じ抵抗$R_0$の$n$並列は$\dfrac{R_0}{n}$と即算できる
分圧則と分流則	・分圧（直列）：$V_1 = \dfrac{R_1}{R_1 + R_2}V\text{ [V]}$ ・分流（$2$並列）：$I_1 = \dfrac{R_2}{R_1 + R_2}I\text{ [A]}$ ・電位計算：$V_B = V_A - I R\text{ [V]}$	・分圧比は抵抗比に比例し、分流比は抵抗の逆比になる ・基準電位（$0\text{ V}$）を定めて各節点の電位を順に追う ・電流$1$本ごとの流出入をキルヒホッフ第$1$法則で確認する
等電位点と短絡・開放の判定	・導線直結点の電位差：$V_{PQ} = 0\text{ [V]}$ ・等電位点間の抵抗電流：$I = \dfrac{0}{R} = 0\text{ [A]}$	・抵抗のない導線でつながれた節点は同一点とみなせる ・両端が同じ節点につながる抵抗には電流が流れない ・開放枝路や短絡支路を先に除くと回路が簡単になる
平衡ブリッジ回路	・平衡条件：$R_1 R_4 = R_2 R_3$ ・平衡時の合成抵抗：$R_{ab} = \dfrac{(R_1 + R_3)(R_2 + R_4)}{R_1 + R_2 + R_3 + R_4}$	・たすき掛けの積が等しいとき中央素子の電流は$0$になる ・中央素子を開放または短絡しても全電流は変化しない ・スイッチ開閉で電流不変ならブリッジ平衡を疑う
条件変化・実験データの連立解法	・オームの法則：$E = I R_{\text{total}}\text{ [V]}$ ・$2$条件連立：既知量$E$や定数を消去して$R_x$を解く	・スイッチ開時は直列和、短絡時は一部抵抗のみとなる ・可変抵抗を変化させても電流一定の条件は分母を等置する ・直列和と並列積がわかれば$2$次方程式で$2$抵抗が求まる

【令和8年上期・問7】並列抵抗回路における未知抵抗値Rxの導出式

図のように，抵抗$R\text{ [}\Omega\text{]}$と抵抗$R_x\text{ [}\Omega\text{]}$を並列に接続した回路がある。この回路に直流電圧$V\text{ [V]}$を加えたところ，電流$I\text{ [A]}$が流れた。$R_x$の値$\text{[}\Omega\text{]}$を表す式として，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $\dfrac{V}{I} + R$
(2) $\dfrac{V}{I} - R$
(3) $\dfrac{R}{\dfrac{IR}{V} - V}$
(4) $\dfrac{VR}{IR - V}$
(5) $\dfrac{V}{\dfrac{I}{V - R}}$

解説

正解は(4)です。

並列回路における電圧の共有と、キルヒホッフの第$1$法則による電流の分解がポイントです。

$2$つの抵抗$R\text{ [}\Omega\text{]}$と$R_x\text{ [}\Omega\text{]}$は並列に接続されているため、両端には同じ直流電圧$V\text{ [V]}$が加わります。オームの法則より、抵抗$R$に流れる電流$I_R\text{ [A]}$は次の式で表せます。

$$I_R = \frac{V}{R}\text{ [A]}$$

全電流$I\text{ [A]}$は、抵抗$R$の電流$I_R$と抵抗$R_x$の電流$I_x\text{ [A]}$の和です。したがって、$I_x\text{ [A]}$は次式で求められます。

$$I_x = I - I_R = I - \frac{V}{R} = \frac{IR - V}{R}\text{ [A]}$$

未知抵抗$R_x\text{ [}\Omega\text{]}$は、印加電圧$V$を電流$I_x$で割った値です。よって、求める式は次のとおり整理されます。

$$R_x = \frac{V}{I_x} = \frac{V}{\dfrac{IR - V}{R}} = \frac{VR}{IR - V}\text{ [}\Omega\text{]}$$

【令和7年下期・問7】直並列回路における可変抵抗変化時の等電流条件と未知抵抗

図のように，可変抵抗$R_1\text{ [}\Omega\text{]}$，$R_2\text{ [}\Omega\text{]}$，抵抗$R_x\text{ [}\Omega\text{]}$，電源$E\text{ [V]}$からなる直流回路がある。次に示す条件$1$のときの$R_x\text{ [}\Omega\text{]}$に流れる電流$I$の値$\text{[A]}$と条件$2$のときの電流$I$の値$\text{[A]}$は等しくなった。このとき，$R_x$の値$\text{[}\Omega\text{]}$として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
条件$1$：$R_1 = 90\text{ }\Omega$，$R_2 = 6\text{ }\Omega$
条件$2$：$R_1 = 70\text{ }\Omega$，$R_2 = 3\text{ }\Omega$

(1) $1.5$
(2) $2.4$
(3) $4.0$
(4) $8.5$
(5) $11.6$

解説

正解は(2)です。

$R_x$に流れる電流$I\text{ [A]}$を$R_1$、$R_2$、$R_x$および$E$で表し、条件$1$と条件$2$を等置することがポイントです。

まず、並列部分$R_2$と$R_x$の合成抵抗$R_{2x}\text{ [}\Omega\text{]}$は和分の積で表せます。電源から流れる全電流$I_0\text{ [A]}$は次のとおりです。

$$R_{2x} = \frac{R_2 R_x}{R_2 + R_x}\text{ [}\Omega\text{]}$$ $$I_0 = \frac{E}{R_1 + R_{2x}} = \frac{E(R_2 + R_x)}{R_1(R_2 + R_x) + R_2 R_x}\text{ [A]}$$

分流の法則を適用すると、$R_x$に流れる電流$I\text{ [A]}$は$I_0$に$\dfrac{R_2}{R_2 + R_x}$を掛けた値になります。整理した式は次のとおりです。

$$I = I_0 \times \frac{R_2}{R_2 + R_x} = \frac{E R_2}{R_1 R_2 + R_1 R_x + R_2 R_x} = \frac{E}{R_1 + \dfrac{R_1}{R_2}R_x + R_x}\text{ [A]}$$

条件$1$と条件$2$で電源電圧$E$と電流$I$がともに等しいため、右辺の分母同士が一致します。各数値を代入して$R_x$を解きます。

$$90 + \frac{90}{6}R_x + R_x = 70 + \frac{70}{3}R_x + R_x$$ $$90 + 16R_x = 70 + \frac{73}{3}R_x$$ $$20 = \frac{25}{3}R_x \implies R_x = \frac{60}{25} = 2.4\text{ [}\Omega\text{]}$$

【令和7年上期・問7】スイッチ開閉による電流3倍条件からの未知抵抗算出

図のような直流回路において，スイッチ$\text{S}$を閉じているとき，$2\text{ }\Omega$の抵抗を流れる電流は，スイッチ$\text{S}$を開いたときの電流の$3$倍であった。$R$の値$\text{[}\Omega\text{]}$として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $2.5$
(2) $3.5$
(3) $0.5$
(4) $1.5$
(5) $4.5$

解説

正解は(1)です。

電源電圧$E$が一定のとき、電流が$3$倍になることから回路全体の合成抵抗が$\dfrac{1}{3}$倍になる点を利用するのがポイントです。

スイッチ$\text{S}$を開いているとき、回路は$2\text{ }\Omega$と$10\text{ }\Omega$の直列回路です。したがって、合成抵抗$R_{\text{open}}\text{ [}\Omega\text{]}$は次の値になります。

$$R_{\text{open}} = 2 + 10 = 12\text{ [}\Omega\text{]}$$

スイッチ$\text{S}$を閉じると$2\text{ }\Omega$の電流が$3$倍になるため、閉じる前の抵抗$12\text{ }\Omega$の$\dfrac{1}{3}$に減少します。閉時の全抵抗$R_{\text{close}}\text{ [}\Omega\text{]}$は次のとおりです。

$$R_{\text{close}} = \frac{12}{3} = 4\text{ [}\Omega\text{]}$$

スイッチ$\text{S}$を閉じた状態は、$2\text{ }\Omega$と並列部（$10\text{ }\Omega$と$R$）の直列構成です。並列部の合成抵抗$R_p\text{ [}\Omega\text{]}$を求めて$R$を算出します。

$$R_p = 4 - 2 = 2\text{ [}\Omega\text{]}$$ $$\frac{10 R}{10 + R} = 2 \implies 10R = 20 + 2R \implies 8R = 20 \implies R = 2.5\text{ [}\Omega\text{]}$$

【令和6年下期・問7】直並列回路の合成抵抗値からの未知抵抗算出

図の抵抗回路において，端子$\text{a}$，$\text{b}$間の合成抵抗$R_{ab}$の値$\text{[}\Omega\text{]}$は$1.8R\text{ [}\Omega\text{]}$であった。このとき，抵抗$R_x$の値$\text{[}\Omega\text{]}$として，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $R$
(2) $2R$
(3) $3R$
(4) $4R$
(5) $5R$

解説

正解は(4)です。

$R$と$R_x$の並列部分へ左側の直列抵抗$R$を加え、文字式をそのまま解くことがポイントです。

図の端子$\text{a}$、$\text{b}$間は、左側の抵抗$R$に対して右側の並列部（$R$と$R_x$）が直列接続された構造です。合成抵抗$R_{ab}\text{ [}\Omega\text{]}$は次式で表せます。

$$R_{ab} = R + \frac{R R_x}{R + R_x}\text{ [}\Omega\text{]}$$

問題文の条件$R_{ab} = 1.8R$を代入し、左側の直列抵抗$R$を移行して並列部分の抵抗値を特定します。

$$R + \frac{R R_x}{R + R_x} = 1.8R \implies \frac{R R_x}{R + R_x} = 0.8R$$

$R \neq 0$より両辺を$R$で割り、方程式を$R_x$について整理して解を求めます。

$$\frac{R_x}{R + R_x} = 0.8 \implies R_x = 0.8R + 0.8R_x \implies 0.2R_x = 0.8R \implies R_x = 4R\text{ [}\Omega\text{]}$$

【令和5年下期・問7】切換スイッチの開閉・短絡・並列接続と電流計指示値

図のように，抵抗，切換スイッチ$\text{S}$及び電流計を接続した回路がある。この回路に直流電圧$100\text{ V}$を加えた状態で，図のようにスイッチ$\text{S}$を開いたとき電流計の指示値は$2.0\text{ A}$であった。また，スイッチ$\text{S}$を①側に閉じたとき電流計の指示値は$2.5\text{ A}$，スイッチ$\text{S}$を②側に閉じたとき電流計の指示値は$5.0\text{ A}$であった。このとき，抵抗$r$の値$\text{[}\Omega\text{]}$として，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
ただし，電流計の内部抵抗は無視できるものとし，測定誤差はないものとする。

(1) $20$
(2) $30$
(3) $40$
(4) $50$
(5) $60$

解説

正解は(5)です。

$3$つのスイッチ状態ごとに回路全体の合成抵抗を逆算し、$R_1$、$R_2$、$r$を順に確定させることがポイントです。

スイッチ$\text{S}$を開いた状態では、電源に$R_1$と$R_2$のみが直列接続されます。電流計は$2.0\text{ A}$を示すため、和の抵抗値は次のとおりです。

$$R_1 + R_2 = \frac{100}{2.0} = 50\text{ [}\Omega\text{]}$$

次に、スイッチ$\text{S}$を②側へ閉じると、$R_2$の両端が導線で短絡されます。このとき回路抵抗は$R_1$のみとなり、値は以下のとおり求まります。

$$R_1 = \frac{100}{5.0} = 20\text{ [}\Omega\text{]}$$ $$R_2 = 50 - 20 = 30\text{ [}\Omega\text{]}$$

最後に、スイッチ$\text{S}$を①側へ閉じると、$R_2$と$r$が並列接続になり$R_1$と直列につながります。全体の合成抵抗は$\dfrac{100}{2.5} = 40\text{ }\Omega$です。

並列部分の抵抗値は$40 - R_1 = 20\text{ }\Omega$になるため、和分の積の式から抵抗$r\text{ [}\Omega\text{]}$を計算します。

$$\frac{R_2 r}{R_2 + r} = \frac{30r}{30 + r} = 20 \implies 30r = 600 + 20r \implies 10r = 600 \implies r = 60\text{ [}\Omega\text{]}$$

【令和4年下期・問5】平衡ブリッジ回路と直列抵抗を含む直流回路の電源電圧

図のような直流回路において，抵抗$3\text{ }\Omega$の端子間の電圧が$1.8\text{ V}$であった。このとき，電源電圧$E\text{ [V]}$の値として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $1.8$
(2) $3.6$
(3) $5.4$
(4) $7.2$
(5) $10.4$

解説

正解は(3)です。

左側にある$5$個の抵抗網が平衡ブリッジを構成していることを見抜き、中央の$12\text{ }\Omega$を取り除くのがポイントです。

左側のブリッジ部について、対向する辺の抵抗の積を確認します。両辺の積がともに$40$で等しいため、ブリッジは平衡状態です。

$$4 \times 10 = 40, \quad 8 \times 5 = 40$$

したがって、中央の$12\text{ }\Omega$には電流が流れず、開放状態として切り離せます。残るブリッジ部の合成抵抗$R_b\text{ [}\Omega\text{]}$は次のとおりです。

$$R_b = \frac{(4 + 5) \times (8 + 10)}{(4 + 5) + (8 + 10)} = \frac{9 \times 18}{9 + 18} = 6\text{ [}\Omega\text{]}$$

回路全体の合成抵抗は$R_{\text{total}} = 6 + 3 = 9\text{ }\Omega$になります。また、$3\text{ }\Omega$の端子間電圧が$1.8\text{ V}$なので、全電流$I\text{ [A]}$と電源電圧$E\text{ [V]}$を求めます。

$$I = \frac{1.8}{3} = 0.6\text{ [A]}$$ $$E = I R_{\text{total}} = 0.6 \times 9 = 5.4\text{ [V]}$$

【令和4年上期・問5】負荷抵抗の並列追加に伴う分流電流の算出

図$1$のように，二つの抵抗$R_1 = 1\text{ }\Omega$，$R_2\text{ [}\Omega\text{]}$と電圧$V\text{ [V]}$の直流電源からなる回路がある。この回路において，抵抗$R_2\text{ [}\Omega\text{]}$の両端の電圧値が$100\text{ V}$，流れる電流$I_2$の値が$5\text{ A}$であった。この回路に図$2$のように抵抗$R_3 = 5\text{ }\Omega$を接続したとき，抵抗$R_3\text{ [}\Omega\text{]}$に流れる電流$I_3$の値$\text{[A]}$として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $4.2$
(2) $16.8$
(3) $20$
(4) $21$
(5) $26.3$

解説

正解は(2)です。

図$1$の測定条件から未知の$R_2\text{ [}\Omega\text{]}$と電源電圧$V\text{ [V]}$を求め、図$2$の直並列回路へ適用することがポイントです。

図$1$は$R_1$と$R_2$の直列回路であり、回路電流は$I_2 = 5\text{ A}$です。$R_2$の端子電圧が$100\text{ V}$のため、$R_2$と$V$の値は次のとおり決まります。

$$R_2 = \frac{100}{5} = 20\text{ [}\Omega\text{]}$$ $$V = R_1 I_2 + 100 = 1 \times 5 + 100 = 105\text{ [V]}$$

図$2$では、$R_2 = 20\text{ }\Omega$と$R_3 = 5\text{ }\Omega$の並列回路に$R_1 = 1\text{ }\Omega$が直列接続されます。並列抵抗$R_{23}\text{ [}\Omega\text{]}$と全電流$I\text{ [A]}$を計算します。

$$R_{23} = \frac{20 \times 5}{20 + 5} = 4\text{ [}\Omega\text{]}$$ $$I = \frac{V}{R_1 + R_{23}} = \frac{105}{1 + 4} = 21\text{ [A]}$$

最後に分流則を用いて、抵抗$R_3$に流れる電流$I_3\text{ [A]}$を算出します。

$$I_3 = I \times \frac{R_2}{R_2 + R_3} = 21 \times \frac{20}{20 + 5} = 21 \times \frac{4}{5} = 16.8\text{ [A]}$$

【令和4年上期・問7】平衡ブリッジと並列抵抗からなる6抵抗回路の未知抵抗

図のように，抵抗$6$個を接続した回路がある。この回路において，$\text{ab}$端子間の合成抵抗の値が$0.6\text{ }\Omega$であった。このとき，抵抗$R_x$の値$\text{[}\Omega\text{]}$として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $1.0$
(2) $1.2$
(3) $1.5$
(4) $1.8$
(5) $2.0$

解説

正解は(1)です。

$R_x$が$\text{ab}$端子間に直接並列接続されていることと、残り$5$個が平衡ブリッジになることを見抜くのがポイントです。

立体交差記号を挟んで、$R_x$は上部端子$\text{a}$と下部端子$\text{b}$にそのままつながっています。残りの$5$個の抵抗に着目すると、対向辺の積が等しくなります。

$$1 \times 2 = 2 \times 1 = 2$$

平衡ブリッジのため中央横向きの$2\text{ }\Omega$には電流が流れず、除外できます。ブリッジ部の合成抵抗$R_b\text{ [}\Omega\text{]}$は次のとおりです。

$$R_b = \frac{(1 + 2) \times (1 + 2)}{(1 + 2) + (1 + 2)} = \frac{3 \times 3}{3 + 3} = 1.5\text{ [}\Omega\text{]}$$

回路全体の合成抵抗は$R_b = 1.5\text{ }\Omega$と$R_x$の並列値であり、これが$0.6\text{ }\Omega$になります。よって$R_x\text{ [}\Omega\text{]}$の値は次式で求まります。

$$\frac{1.5 R_x}{1.5 + R_x} = 0.6 \implies 1.5 R_x = 0.9 + 0.6 R_x \implies 0.9 R_x = 0.9 \implies R_x = 1.0\text{ [}\Omega\text{]}$$

【令和元年・問5】直並列抵抗網における各節点の電位差

図のように，七つの抵抗及び電圧$E = 100\text{ V}$の直流電源からなる回路がある。この回路において，$\text{A}$-$\text{D}$間，$\text{B}$-$\text{C}$間の各電位差を測定した。このとき，$\text{A}$-$\text{D}$間の電位差の大きさ$\text{[V]}$及び$\text{B}$-$\text{C}$間の電位差の大きさ$\text{[V]}$の組合せとして，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

	$\text{A}$-$\text{D}$間の電位差の大きさ	$\text{B}$-$\text{C}$間の電位差の大きさ
(1)	$28$	$60$
(2)	$40$	$72$
(3)	$60$	$28$
(4)	$68$	$80$
(5)	$72$	$40$

解説

正解は(5)です。

回路を直並列に整理して各枝路の電流を求め、電源負極を$0\text{ V}$として節点電位を順に追うことがポイントです。

上段の$60\text{ }\Omega$と中段の直列$3$抵抗（合計$20 + 20 + 20 = 60\text{ }\Omega$）は並列接続です。この並列部の合成抵抗$R_p\text{ [}\Omega\text{]}$は次のとおりです。

$$R_p = \frac{60 \times 60}{60 + 60} = 30\text{ [}\Omega\text{]}$$

下段の抵抗（$4 + 6 + 10 = 20\text{ }\Omega$）はこれに直列接続となるため、回路全体の合成抵抗は$30 + 20 = 50\text{ }\Omega$になります。

電源電流は$I = \dfrac{100}{50} = 2\text{ A}$であり、上段と中段へは$1\text{ A}$ずつ分流します。電源負極を基準$0\text{ V}$とした各点の電位は次のとおりです。

$$V_\text{A} = 100 - 20 \times 1 = 80\text{ [V]}, \quad V_\text{B} = 80 - 20 \times 1 = 60\text{ [V]}$$ $$V_\text{D} = 0 + 4 \times 2 = 8\text{ [V]}, \quad V_\text{C} = 8 + 6 \times 2 = 20\text{ [V]}$$

よって、$\text{A}$-$\text{D}$間と$\text{B}$-$\text{C}$間の電位差は次の値になり、(5)が正解です。

$$V_\text{AD} = \vert{}80 - 8\vert{} = 72\text{ [V]}, \quad V_\text{BC} = \vert{}60 - 20\vert{} = 40\text{ [V]}$$

【平成30年・問6】3個の抵抗を組み合わせた実験結果からの抵抗値算出

$R_a$，$R_b$及び$R_c$の三つの抵抗器がある。これら三つの抵抗器から二つの抵抗器（$R_1$及び$R_2$）を選び，図のように，直流電流計及び電圧$E = 1.4\text{ V}$の直流電源を接続し，次のような実験を行った。
実験$\text{I}$：$R_1$を$R_a$，$R_2$を$R_b$としたとき，電流$I$の値は$56\text{ mA}$であった。
実験$\text{II}$：$R_1$を$R_b$，$R_2$を$R_c$としたとき，電流$I$の値は$35\text{ mA}$であった。
実験$\text{III}$：$R_1$を$R_a$，$R_2$を$R_c$としたとき，電流$I$の値は$40\text{ mA}$であった。
これらのことから，$R_b$の抵抗値$\text{[}\Omega\text{]}$として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。ただし，直流電源及び直流電流計の内部抵抗は無視できるものとする。

(1) $10$
(2) $15$
(3) $20$
(4) $25$
(5) $30$

解説

正解は(2)です。

各実験での直列合成抵抗をオームの法則で算出し、対称性を利用した連立方程式で$R_b$を解くのがポイントです。

電圧$E = 1.4\text{ V}$をそれぞれの実験電流$I$で割ると、各組の直列合成抵抗が求められます。実験$\text{I}$から$\text{III}$の式は次のとおりです。

$$R_a + R_b = \frac{1.4}{56 \times 10^{-3}} = 25\text{ [}\Omega\text{]}$$ $$R_b + R_c = \frac{1.4}{35 \times 10^{-3}} = 40\text{ [}\Omega\text{]}$$ $$R_a + R_c = \frac{1.4}{40 \times 10^{-3}} = 35\text{ [}\Omega\text{]}$$

これら$3$つの式をすべて足し合わせ、$2$で割ることで$3$つの抵抗値の総和が得られます。

$$2(R_a + R_b + R_c) = 25 + 40 + 35 = 100 \implies R_a + R_b + R_c = 50\text{ [}\Omega\text{]}$$

最後に総和から$R_a + R_c = 35\text{ }\Omega$を差し引くと、$R_b$の値$\text{[}\Omega\text{]}$は次のとおり求まります。

$$R_b = (R_a + R_b + R_c) - (R_a + R_c) = 50 - 35 = 15\text{ [}\Omega\text{]}$$

【平成28年・問6】梯子型直並列抵抗回路における電流比の計算

図のような抵抗の直並列回路に直流電圧$E = 5\text{ V}$を加えたとき，電流比$\dfrac{I_2}{I_1}$の値として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $0.1$
(2) $0.2$
(3) $0.3$
(4) $0.4$
(5) $0.5$

解説

正解は(1)です。

回路の右端から順に合成抵抗を求め、$2$箇所の分岐点における分流比を掛け合わせることがポイントです。

最右側の直列抵抗$150 + 200 = 350\text{ }\Omega$は、中央の$100\text{ }\Omega$と並列に接続されています。この並列部分の合成抵抗$R_p\text{ [}\Omega\text{]}$は次のとおりです。

$$R_p = \frac{100 \times 350}{100 + 350} = \frac{35\,000}{450} = \frac{700}{9}\text{ [}\Omega\text{]}$$

これに左隣の$150\text{ }\Omega$を加えた右側回路全体の抵抗$R_{\text{right}}\text{ [}\Omega\text{]}$を求めます。

$$R_{\text{right}} = 150 + \frac{700}{9} = \frac{1\,350 + 700}{9} = \frac{2\,050}{9}\text{ [}\Omega\text{]}$$

左の分岐点では全電流$I_1$が$200\text{ }\Omega$側と$R_{\text{right}}$側へ分流します。中央の$150\text{ }\Omega$を通る電流を$I_m\text{ [A]}$とし、分流比を求めます。

$$\frac{I_m}{I_1} = \frac{200}{200 + \dfrac{2\,050}{9}} = \frac{1\,800}{1\,800 + 2\,050} = \frac{1\,800}{3\,850} = \frac{36}{77}$$

続いて右の分岐点での分流比を求め、$2$つの比を掛け合わせて電流比$\dfrac{I_2}{I_1}$を算出します。

$$\frac{I_2}{I_m} = \frac{100}{100 + 350} = \frac{2}{9}$$ $$\frac{I_2}{I_1} = \frac{36}{77} \times \frac{2}{9} = \frac{8}{77} \fallingdotseq 0.104$$

最も近い選択肢は$0.1$であり、(1)が正解です。

【平成27年・問4】多段梯子抵抗回路の各端子電圧からの抵抗値算出

図のような直流回路において，直流電源の電圧が$90\text{ V}$であるとき，抵抗$R_1\text{ [}\Omega\text{]}$，$R_2\text{ [}\Omega\text{]}$，$R_3\text{ [}\Omega\text{]}$の両端電圧はそれぞれ$30\text{ V}$，$15\text{ V}$，$10\text{ V}$であった。抵抗$R_1$，$R_2$，$R_3$のそれぞれの値$\text{[}\Omega\text{]}$の組合せとして，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

	$R_1$	$R_2$	$R_3$
(1)	$30$	$90$	$120$
(2)	$80$	$60$	$120$
(3)	$30$	$90$	$30$
(4)	$60$	$60$	$30$
(5)	$40$	$90$	$120$

解説

正解は(5)です。

上側ラインの各$60\text{ }\Omega$に加わる電位差から電流を求め、各接続点での電流差を縦方向の抵抗に割り振ることがポイントです。

電源側から順にある$3$個の直列$60\text{ }\Omega$に流れる電流を左から$I_a$、$I_b$、$I_c\text{ [A]}$とします。それぞれの両端電位差より各電流が求まります。

$$I_a = \frac{90 - 30}{60} = 1\text{ [A]}, \quad I_b = \frac{30 - 15}{60} = 0.25\text{ [A]}, \quad I_c = \frac{15 - 10}{60} = \frac{1}{12}\text{ [A]}$$

各分岐点の電流則より、抵抗$R_1$、$R_2$、$R_3$の電流$I_1$、$I_2$、$I_3\text{ [A]}$は次のとおりです。

$$I_1 = I_a - I_b = 1 - 0.25 = 0.75\text{ [A]}$$ $$I_2 = I_b - I_c = \frac{1}{4} - \frac{1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}\text{ [A]}$$ $$I_3 = I_c = \frac{1}{12}\text{ [A]}$$

それぞれの端子電圧を各電流で割ると、求める抵抗値の組合せが得られます。

$$R_1 = \frac{30}{0.75} = 40\text{ [}\Omega\text{]}, \quad R_2 = \frac{15}{\dfrac{1}{6}} = 90\text{ [}\Omega\text{]}, \quad R_3 = \frac{10}{\dfrac{1}{12}} = 120\text{ [}\Omega\text{]}$$

【平成27年・問6】スイッチ開閉で電流不変となる平衡ブリッジ抵抗の算出

図のように，抵抗とスイッチ$\text{S}$を接続した直流回路がある。いま，スイッチ$\text{S}$を開閉しても回路を流れる電流$I\text{ [A]}$は，$I = 30\text{ A}$で一定であった。このとき，抵抗$R_4$の値$\text{[}\Omega\text{]}$として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $0.5$
(2) $1.0$
(3) $1.5$
(4) $2.0$
(5) $2.5$

解説

正解は(2)です。

スイッチ$\text{S}$を開閉しても電源電流が変化しないため、ブリッジ平衡条件が成り立つことに気づくのがポイントです。

スイッチ$\text{S}$の開閉で全電流が変わらないため、スイッチ両端の電位差は$0\text{ V}$です。平衡条件より$R_3$と$R_4$の比は次のとおり求まります。

$$R_1 R_4 = R_2 R_3 \implies 8 R_4 = 4 R_3 \implies R_3 = 2 R_4$$

また、電源電圧$E = 100\text{ V}$で電流$I = 30\text{ A}$が流れているため、回路全体の合成抵抗$R_{\text{total}}\text{ [}\Omega\text{]}$は次の値です。

$$R_{\text{total}} = \frac{100}{30} = \frac{10}{3}\text{ [}\Omega\text{]}$$

スイッチ$\text{S}$を閉じた状態では、左並列部（$8\text{ }\Omega$と$4\text{ }\Omega$）と右並列部（$R_3$と$R_4$）の直列接続になります。よって次式から$R_4$を解きます。

$$R_{\text{total}} = \frac{8 \times 4}{8 + 4} + \frac{2R_4 \times R_4}{2R_4 + R_4} = \frac{8}{3} + \frac{2}{3}R_4 = \frac{10}{3}$$ $$\frac{2}{3}R_4 = \frac{2}{3} \implies R_4 = 1.0\text{ [}\Omega\text{]}$$

【平成26年・問6】直並列回路における分流比からの抵抗値計算

図のように，抵抗を直並列に接続した直流回路がある。この回路を流れる電流$I$の値は，$I = 10\text{ mA}$であった。このとき，抵抗$R_2\text{ [k}\Omega\text{]}$として，最も近い$R_2$の値を次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
ただし，抵抗$R_1\text{ [k}\Omega\text{]}$に流れる電流$I_1\text{ [mA]}$と抵抗$R_2\text{ [k}\Omega\text{]}$に流れる電流$I_2\text{ [mA]}$の電流比$\dfrac{I_1}{I_2}$の値は$\dfrac{1}{2}$とする。

(1) $0.3$
(2) $0.6$
(3) $1.2$
(4) $2.4$
(5) $4.8$

解説

正解は(3)です。

電流比から$I_2\text{ [mA]}$を求め、直列抵抗の電圧降下を引いて$R_2$を計算することがポイントです。

並列分岐で合流する前後の電流は等しいため、$I_1 + I_2 = I = 10\text{ mA}$です。条件$\dfrac{I_1}{I_2} = \dfrac{1}{2}$より$I_2 = 2I_1$となるため、$I_2$を求めます。

$$I_1 + 2I_1 = 10 \implies I_1 = \frac{10}{3}\text{ [mA]}, \quad I_2 = \frac{20}{3}\text{ [mA]}$$

左右の直列抵抗$R = 100\text{ }\Omega$には全電流$I = 10\text{ mA}$が流れます。両抵抗による合計の電圧降下$V_R\text{ [V]}$は次のとおりです。

$$V_R = (100 + 100) \times (10 \times 10^{-3}) = 2.0\text{ [V]}$$

電源電圧$E = 10\text{ V}$から$V_R$を引いた電圧が並列部に加わります。オームの法則より抵抗$R_2\text{ [k}\Omega\text{]}$を算出します。

$$V_p = 10 - 2.0 = 8.0\text{ [V]}$$ $$R_2 = \frac{V_p}{I_2} = \frac{8.0}{\dfrac{20}{3} \times 10^{-3}} = \frac{24}{20} \times 10^3 = 1\,200\text{ [}\Omega\text{]} = 1.2\text{ [k}\Omega\text{]}$$

【平成25年・問5】並列抵抗回路における未知抵抗値の表現式

図のように，抵抗$R\text{ [}\Omega\text{]}$と抵抗$R_x\text{ [}\Omega\text{]}$を並列に接続した回路がある。この回路に直流電圧$V\text{ [V]}$を加えたところ，電流$I\text{ [A]}$が流れた。$R_x\text{ [}\Omega\text{]}$の値を表す式として，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $\dfrac{V}{I} + R$
(2) $\dfrac{V}{I} - R$
(3) $\dfrac{R}{\dfrac{IR}{V} - V}$
(4) $\dfrac{V}{\dfrac{I}{V - R}}$
(5) $\dfrac{VR}{IR - V}$

解説

正解は(5)です。

$2$つの並列抵抗の合成抵抗式と、回路全体のオームの法則を等置して$R_x$について解くことがポイントです。

回路全体に電圧$V\text{ [V]}$を加えて電流$I\text{ [A]}$が流れているため、合成抵抗$R_{\text{total}}\text{ [}\Omega\text{]}$は次の関係で表せます。

$$R_{\text{total}} = \frac{V}{I}\text{ [}\Omega\text{]}$$

一方、抵抗$R$と$R_x$の並列合成抵抗は和分の積の公式で書けます。この両式をイコールで結び、$R_x$について変形します。

$$\frac{R R_x}{R + R_x} = \frac{V}{I}$$ $$I R R_x = V R + V R_x$$ $$(I R - V) R_x = V R \implies R_x = \frac{VR}{IR - V}\text{ [}\Omega\text{]}$$

分母と分子を入れ替えた類似選択肢(3)、(4)に惑わされないよう、式変形を正確に追うことが大切です。

【平成25年・問8】短絡導線を含む網目状抵抗回路の電源電流

図に示すような抵抗の直並列回路がある。この回路に直流電圧$5\text{ [V]}$を加えたとき，電源から流れ出す電流$I\text{ [A]}$の値として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $0.2$
(2) $0.4$
(3) $0.6$
(4) $0.8$
(5) $1.0$

解説

正解は(2)です。

抵抗のない導線でつながれた等電位点を見極め、両端が短絡されて電流の流れない抵抗を取り除くのがポイントです。

電源の負極から伸びる下の導線は、$40\text{ }\Omega$の下側と中央の横線・縦線を通って上側$10\text{ }\Omega$の右端まで抵抗なしで直結されています。つまり、これらの節点はすべて負極と同じ電位です。

ここで中央下部の$10\text{ }\Omega$、縦の$50\text{ }\Omega$、最右列（$20\text{ }\Omega + 10\text{ }\Omega + 20\text{ }\Omega$）に着目します。これらは下側右側の節点と負極導線の間に並列につながっていますが、閉じたループの外に電源がありません。

そのため、右側の$5$個の抵抗には電位差が生じず、電流はすべて$0\text{ A}$になります。回路図からこれらを取り除くと、$5\text{ }\Omega$の先に$40\text{ }\Omega$と$10\text{ }\Omega$の並列回路のみが残ります。

$$R_{\text{total}} = 5 + \frac{40 \times 10}{40 + 10} = 5 + 8 = 13\text{ [}\Omega\text{]}$$

電源電圧$5\text{ V}$を合成抵抗$13\text{ }\Omega$で割ると、流れ出す電流$I\text{ [A]}$は次のとおり計算されます。

$$I = \frac{5}{13} \fallingdotseq 0.385\text{ [A]}$$

最も近い選択肢は$0.4$であり、(2)が正解です。

【平成24年・問6】直並列抵抗回路における既知電流からの並列枝電流算出

図のように，抵抗を直並列に接続した回路がある。この回路において，$I_1 = 100\text{ [mA]}$のとき，$I_4\text{ [mA]}$の値として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $266$
(2) $400$
(3) $433$
(4) $467$
(5) $533$

解説

正解は(4)です。

上側枝路の電圧降下を順に足し上げて電源電圧$E\text{ [V]}$を求め、並列な$R_4$へ直接適用することがポイントです。

抵抗$R_1 = 20\text{ }\Omega$に$I_1 = 100\text{ mA}$が流れるため、$R_1$と$R_2$の並列電圧$V_{12}\text{ [V]}$は次のとおりです。

$$V_{12} = R_1 I_1 = 20 \times (100 \times 10^{-3}) = 2.0\text{ [V]}$$

並列接続のため$R_2 = 10\text{ }\Omega$にも同じ$2.0\text{ V}$が加わります。よって、$R_2$の電流$I_2\text{ [mA]}$と合流後の電流$I_3\text{ [mA]}$を求めます。

$$I_2 = \frac{2.0}{10} = 0.2\text{ [A]} = 200\text{ [mA]}$$ $$I_3 = I_1 + I_2 = 100 + 200 = 300\text{ [mA]}$$

抵抗$R_3 = 40\text{ }\Omega$での電圧降下は$V_3 = 40 \times 0.3 = 12\text{ V}$です。上側枝路全体の電圧、すなわち電源電圧$E\text{ [V]}$は次の値になります。

$$E = V_{12} + V_3 = 2.0 + 12 = 14\text{ [V]}$$

抵抗$R_4 = 30\text{ }\Omega$は電源に直接並列接続されているため、流れる電流$I_4\text{ [mA]}$は次のとおり求まります。

$$I_4 = \frac{E}{R_4} = \frac{14}{30} \fallingdotseq 0.4667\text{ [A]} \fallingdotseq 467\text{ [mA]}$$

【平成23年・問7】可変抵抗変化時の等電流条件による未知抵抗値の計算

図のように，可変抵抗$R_1\text{ [}\Omega\text{]}$，$R_2\text{ [}\Omega\text{]}$，抵抗$R_x\text{ [}\Omega\text{]}$，電源$E\text{ [V]}$からなる直流回路がある。次に示す条件$1$のときの$R_x\text{ [}\Omega\text{]}$に流れる電流$I\text{ [A]}$の値と条件$2$のときの電流$I\text{ [A]}$の値は等しくなった。このとき，$R_x\text{ [}\Omega\text{]}$の値として，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
条件$1$：$R_1 = 90\text{ [}\Omega\text{]}$，$R_2 = 6\text{ [}\Omega\text{]}$
条件$2$：$R_1 = 70\text{ [}\Omega\text{]}$，$R_2 = 4\text{ [}\Omega\text{]}$

(1) $1$
(2) $2$
(3) $4$
(4) $8$
(5) $12$

解説

正解は(4)です。

条件$1$と条件$2$で電流$I\text{ [A]}$が等しい式を立て、共通の電源電圧$E$を消去して$R_x$を解くのがポイントです。

並列部分$R_2$と$R_x$の合成抵抗は$\dfrac{R_2 R_x}{R_2 + R_x}$です。電源電流に分流比$\dfrac{R_2}{R_2 + R_x}$を掛けると電流$I\text{ [A]}$の一般式が得られます。

$$I = \frac{E}{R_1 + \dfrac{R_2 R_x}{R_2 + R_x}} \times \frac{R_2}{R_2 + R_x} = \frac{E R_2}{R_1(R_2 + R_x) + R_2 R_x}\text{ [A]}$$

分子・分母を$R_2$で割ると、電源電圧$E$をそのまま保ったまま比較しやすい形へ整理できます。

$$I = \frac{E}{R_1 + \dfrac{R_1}{R_2}R_x + R_x}\text{ [A]}$$

条件$1$と条件$2$で上式の分母が等しくなるため、各数値を代入して$R_x\text{ [}\Omega\text{]}$を求めます。

$$90 + \frac{90}{6}R_x + R_x = 70 + \frac{70}{4}R_x + R_x$$ $$90 + 15R_x = 70 + 17.5R_x$$ $$2.5R_x = 20 \implies R_x = 8\text{ [}\Omega\text{]}$$

【平成21年・問6】2抵抗の直列接続と並列接続の電流測定値からの抵抗値算出

抵抗値が異なる抵抗$R_1\text{ [}\Omega\text{]}$と$R_2\text{ [}\Omega\text{]}$を図$1$のように直列に接続し，$30\text{ [V]}$の直流電圧を加えたところ，回路に流れる電流は$6\text{ [A]}$であった。次に，この抵抗$R_1\text{ [}\Omega\text{]}$と$R_2\text{ [}\Omega\text{]}$を図$2$のように並列に接続し，$30\text{ [V]}$の直流電圧を加えたところ，回路に流れる電流は$25\text{ [A]}$であった。このとき，抵抗$R_1\text{ [}\Omega\text{]}$，$R_2\text{ [}\Omega\text{]}$のうち小さい方の抵抗$\text{[}\Omega\text{]}$の値として，正しいのは次のうちどれか。

(1) $1$
(2) $1.2$
(3) $1.5$
(4) $2$
(5) $3$

解説

正解は(4)です。

直列接続から$2$抵抗の和を、並列接続から$2$抵抗の積を求め、$2$次方程式を解くことがポイントです。

図$1$の直列接続では電圧$30\text{ V}$に対して電流が$6\text{ A}$流れています。したがって、$R_1$と$R_2$の和は次の値になります。

$$R_1 + R_2 = \frac{30}{6} = 5\text{ [}\Omega\text{]}$$

図$2$の並列接続では電圧$30\text{ V}$に対して電流が$25\text{ A}$流れています。並列合成抵抗から$R_1$と$R_2$の積を求めます。

$$\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{30}{25} = 1.2\text{ [}\Omega\text{]}$$ $$R_1 R_2 = 1.2 \times (R_1 + R_2) = 1.2 \times 5 = 6$$

$R_2 = 5 - R_1$を積の式に代入し、$2$次方程式を因数分解して各抵抗値を算出します。

$$R_1(5 - R_1) = 6 \implies R_1^2 - 5R_1 + 6 = 0 \implies (R_1 - 2)(R_1 - 3) = 0$$

これより$2$つの抵抗値は$2\text{ }\Omega$および$3\text{ }\Omega$となるため、小さい方の値は$2\text{ }\Omega$です。