【電験3種・理論】頻出問題「誘電体コンデンサの静電容量と電界」の過去問解説

電験3種（理論）の頻出問題である「誘電体コンデンサの静電容量と電界」について解説します。

「誘電体コンデンサの静電容量と電界」の攻略ポイント

電験3種の理論科目では、複数の誘電体や導体を挿入した平行板コンデンサの問題が高頻度で出題されます。出題形式は、静電容量、電界の強さ、電束密度、電位分布、および静電エネルギーの算出が中心です。

特にB問題では、直列配置と並列配置の比較や、層ごとの電界グラフ選択がよく問われます。誘電体の境界面が平行か垂直かを見抜き、電束密度一定と電圧一定の条件を使い分ける点が鍵です。

基本公式とポイント

複合誘電体コンデンサの計算で頻出する基本公式とポイントを以下の表に整理しました。

項目	基本公式	ポイント
平行板コンデンサの基本式	・静電容量：$C = \varepsilon_0 \varepsilon_{\text{r}} \dfrac{S}{d}\text{ [F]}$ ・蓄積電荷：$Q = CV\text{ [C]}$ ・静電エネルギー：$W = \dfrac{1}{2}CV^2\text{ [J]}$	・静電容量は誘電率と極板面積に比例し極板間隔に反比例する ・一定電圧$V$の電源接続時はエネルギーが容量$C$に比例する ・端効果を無視できる場合は極板間の電界が一様となる
電界・電束密度・電気力線	・電界の強さ：$E = \dfrac{V}{d}\text{ [V/m]}$ ・電束密度：$D = \varepsilon_0 \varepsilon_{\text{r}} E\text{ [C/m}^2\text{]}$ ・ガウスの法則：$\Psi = \sum D_k S_k = Q\text{ [C]}$	・電界の強さ$E$と電気力線の密度は電圧と間隔のみで決まる ・単一誘電体を満たして電圧一定なら電界は変化しない ・電束密度$D$と電荷$Q$は比誘電率$\varepsilon_{\text{r}}$に比例して増減する
直列配置（極板と平行に積層）	・境界条件：$D = \varepsilon_1 E_1 = \varepsilon_2 E_2\text{ [C/m}^2\text{]}$ ・全電圧：$V = E_1 d_1 + E_2 d_2\text{ [V]}$ ・合成容量：$\dfrac{1}{C} = \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2}$	・各層で電束密度$D$と蓄積電荷$Q$が等しくなる ・電界$E$は比誘電率$\varepsilon_{\text{r}}$に反比例し空気層で大きくなる ・換算厚さ和$\sum \dfrac{d_k}{\varepsilon_{\text{r}k}}$を使うと容量や電界を速く求められる
並列配置（極板と垂直に分割）	・共通電圧：$V = V_1 = V_2\text{ [V]}$ ・電界：$E_1 = E_2 = \dfrac{V}{d}\text{ [V/m]}$ ・合成容量：$C = C_1 + C_2\text{ [F]}$	・すべての誘電体領域に同じ電圧と電界が加わる ・電気力線の密度は同じため面積が等しければ本数も等しい ・電束密度と分担電荷は面積と比誘電率の積に比例する
導体挿入と電位・絶縁破壊	・導体内部電界：$E = 0\text{ [V/m]}$（等電位） ・絶縁破壊電圧：$V_b = E_b d\text{ [V]}$ ・電位降下：$\Delta V = E \Delta x\text{ [V]}$	・非帯電導体を挿入すると実効的な極板間隔が狭まる ・誘電体や導体の挿入により空気ギャップの電界は強くなる ・絶縁破壊電圧は破壊電界だけでなく厚さ$d$との積で比較する

【令和7年下期・問1】誘電体を半分引き出した平行板コンデンサの静電容量比

真空中において，一辺$l\text{ [m]}$の正方形電極を間隔$d\text{ [m]}$で配置した平行板コンデンサがある。図$1$はこのコンデンサの電極板間に比誘電率$\varepsilon_{\text{r}} = 5$の誘電体を挿入した状態，図$2$は図$1$の誘電体を電極面積の$\dfrac{1}{2}$だけ引き出した状態を示している。図$1$及び図$2$の二つのコンデンサの静電容量$C_1\text{ [F]}$及び$C_2\text{ [F]}$の比$(C_1 : C_2)$として，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
ただし，$l \gg d$であり，コンデンサの端効果は無視できるものとする。

(1) $2:1$
(2) $3:2$
(3) $5:2$
(4) $5:3$
(5) $5:4$

解説

正解は(4)です。

平行板コンデンサの公式を使い、図$2$を並列接続の$2$領域へ分解する考え方がポイントです。

真空の誘電率を$\varepsilon_0\text{ [F/m]}$、正方形電極の面積を$l^2\text{ [m}^2\text{]}$と置きます。図$1$は比誘電率$\varepsilon_{\text{r}} = 5$の誘電体のみで満たされた状態です。

$$C_1 = \varepsilon_0 \varepsilon_{\text{r}} \frac{l^2}{d} = 5\varepsilon_0 \frac{l^2}{d}\text{ [F]}$$

図$2$は面積$\dfrac{1}{2}l^2\text{ [m}^2\text{]}$の真空部分と誘電体部分が並ぶ構成です。極板を共有しているため並列接続とみなせます。

$$C_2 = \varepsilon_0 \frac{\dfrac{1}{2}l^2}{d} + \varepsilon_0 \varepsilon_{\text{r}} \frac{\dfrac{1}{2}l^2}{d} = \frac{1 + 5}{2}\varepsilon_0 \frac{l^2}{d} = 3\varepsilon_0 \frac{l^2}{d}\text{ [F]}$$

以上の結果から、$C_1$と$C_2$の静電容量比を求めます。

$$C_1 : C_2 = 5\varepsilon_0 \frac{l^2}{d} : 3\varepsilon_0 \frac{l^2}{d} = 5 : 3$$

よって、求める静電容量の比は$5:3$です。

【令和7年下期・問17】3層直列コンデンサの電界強度と並列コンデンサとの蓄積エネルギー比

図のように，極板間の厚さ$d\text{ [m]}$，表面積$S\text{ [m}^2\text{]}$の平行板コンデンサ$\text{A}$と$\text{B}$がある。コンデンサ$\text{A}$の内部は，比誘電率と厚さが異なる$3$種類の誘電体で構成され，極板と各誘電体の水平方向の断面積は同一である。コンデンサ$\text{B}$の内部は，比誘電率と水平方向の断面積が異なる$3$種類の誘電体で構成されている。コンデンサ$\text{A}$の各誘電体内部の電界の強さをそれぞれ$E_{\text{A1}}$，$E_{\text{A2}}$，$E_{\text{A3}}$，コンデンサ$\text{B}$の各誘電体内部の電界の強さをそれぞれ$E_{\text{B1}}$，$E_{\text{B2}}$，$E_{\text{B3}}$とし，端効果，初期電荷及び漏れ電流は無視できるものとする。また，真空の誘電率を$\varepsilon_0\text{ [F/m]}$とする。両コンデンサの上側の極板に電圧$V\text{ [V]}$の直流電源を接続し，下側の極板を接地した。次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a) コンデンサ$\text{A}$における各誘電体内部の電界の強さの大小関係とその中の最大値の組合せとして，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $E_{\text{A1}} < E_{\text{A2}} < E_{\text{A3}}$，$\dfrac{3V}{5d}$
(2) $E_{\text{A1}} > E_{\text{A2}} > E_{\text{A3}}$，$\dfrac{3V}{5d}$
(3) $E_{\text{A1}} = E_{\text{A2}} = E_{\text{A3}}$，$\dfrac{V}{d}$
(4) $E_{\text{A1}} < E_{\text{A2}} < E_{\text{A3}}$，$\dfrac{9V}{5d}$
(5) $E_{\text{A1}} > E_{\text{A2}} > E_{\text{A3}}$，$\dfrac{9V}{5d}$

(b) コンデンサ$\text{B}$全体の蓄積エネルギーは，コンデンサ$\text{A}$全体の蓄積エネルギーの何倍か，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $0.72$
(2) $0.83$
(3) $1.00$
(4) $1.20$
(5) $1.38$

解説

正解は(a)が(5)、(b)が(4)です。

コンデンサ$\text{A}$における電束密度一定の条件と、両コンデンサの合成容量比較がポイントです。

小問(a)では極板と平行に$3$層の誘電体が積層されているため、各層の電束密度$D\text{ [C/m}^2\text{]}$は等しくなります。

$$D = 2\varepsilon_0 E_{\text{A1}} = 3\varepsilon_0 E_{\text{A2}} = 6\varepsilon_0 E_{\text{A3}}\text{ [C/m}^2\text{]}$$

上式より$E_{\text{A2}} = \dfrac{2}{3}E_{\text{A1}}$、$E_{\text{A3}} = \dfrac{1}{3}E_{\text{A1}}$です。したがって、大小関係は$E_{\text{A1}} > E_{\text{A2}} > E_{\text{A3}}$となります。

全印加電圧$V\text{ [V]}$は各層の電圧降下の和です。この関係から最大電界$E_{\text{A1}}$を算出します。

$$V = E_{\text{A1}} \frac{d}{6} + E_{\text{A2}} \frac{d}{3} + E_{\text{A3}} \frac{d}{2} = E_{\text{A1}} d \left(\frac{1}{6} + \frac{2}{9} + \frac{1}{6}\right) = \frac{5}{9} E_{\text{A1}} d\text{ [V]}$$ $$E_{\text{A1}} = \frac{9V}{5d}\text{ [V/m]}$$

小問(b)について算出します。印加電圧$V\text{ [V]}$が共通のため、エネルギー比$\dfrac{W_{\text{B}}}{W_{\text{A}}}$は静電容量比$\dfrac{C_{\text{B}}}{C_{\text{A}}}$と同じ値です。

まず、直列構造であるコンデンサ$\text{A}$の合成静電容量$C_{\text{A}}\text{ [F]}$を逆数和から求めます。

$$\frac{1}{C_{\text{A}}} = \frac{d/6}{2\varepsilon_0 S} + \frac{d/3}{3\varepsilon_0 S} + \frac{d/2}{6\varepsilon_0 S} = \frac{d}{\varepsilon_0 S}\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{9} + \frac{1}{12}\right) = \frac{5}{18}\frac{d}{\varepsilon_0 S}\text{ [F}^{-1}\text{]}$$ $$C_{\text{A}} = \frac{18}{5}\frac{\varepsilon_0 S}{d}\text{ [F]}$$

次に、並列構造であるコンデンサ$\text{B}$の合成静電容量$C_{\text{B}}\text{ [F]}$は$3$領域の和です。

$$C_{\text{B}} = \frac{2\varepsilon_0 (S/6)}{d} + \frac{3\varepsilon_0 (S/3)}{d} + \frac{6\varepsilon_0 (S/2)}{d} = \frac{\varepsilon_0 S}{d}\left(\frac{1}{3} + 1 + 3\right) = \frac{13}{3}\frac{\varepsilon_0 S}{d}\text{ [F]}$$

よって、$\text{B}$の蓄積エネルギーは$\text{A}$の何倍かを計算します。

$$\frac{W_{\text{B}}}{W_{\text{A}}} = \frac{\dfrac{1}{2}C_{\text{B}}V^2}{\dfrac{1}{2}C_{\text{A}}V^2} = \frac{C_{\text{B}}}{C_{\text{A}}} = \frac{\dfrac{13}{3}}{\dfrac{18}{5}} = \frac{65}{54} \fallingdotseq 1.204$$

したがって、約$1.20$倍です。

【令和6年下期・問1】2層直列誘電体コンデンサの合成容量と蓄積電荷

図のように，電極面積$0.1\text{ m}^2$，電極間隔$6\text{ mm}$の平行平板コンデンサに，比誘電率$\varepsilon_1 = 2$，厚さ$2\text{ mm}$及び比誘電率$\varepsilon_2 = 4$，厚さ$4\text{ mm}$の$2$種類の誘電体が電極と平行に挿入されている。このコンデンサに$12\text{ V}$の直流電圧を印加したとき，蓄えられる電荷の値$\text{[C]}$として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。ただし，真空の誘電率$\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\text{ F/m}$とし，コンデンサの端効果は無視するものとする。

(1) $5.3 \times 10^{-9}$
(2) $7.8 \times 10^{-9}$
(3) $9.4 \times 10^{-9}$
(4) $2.1 \times 10^{-8}$
(5) $4.5 \times 10^{-8}$

解説

正解は(1)です。

極板と平行に挿入された$2$種類の誘電体を直列コンデンサとみなして合成容量を求める点がポイントです。

面積は$S = 0.1\text{ m}^2$で共通となります。上層（$\varepsilon_1 = 2$、$d_1 = 2\text{ mm}$）と下層（$\varepsilon_2 = 4$、$d_2 = 4\text{ mm}$）の各容量を求めます。

$$C_1 = \varepsilon_0 \varepsilon_1 \frac{S}{d_1} = \varepsilon_0 \times 2 \times \frac{0.1}{2 \times 10^{-3}} = 100\varepsilon_0\text{ [F]}$$ $$C_2 = \varepsilon_0 \varepsilon_2 \frac{S}{d_2} = \varepsilon_0 \times 4 \times \frac{0.1}{4 \times 10^{-3}} = 100\varepsilon_0\text{ [F]}$$

$C_1$と$C_2$は直列接続のため、和分の積による全体の合成静電容量$C\text{ [F]}$は次のとおりです。

$$C = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{100\varepsilon_0 \times 100\varepsilon_0}{100\varepsilon_0 + 100\varepsilon_0} = 50\varepsilon_0\text{ [F]}$$

次に、$V = 12\text{ V}$と$\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\text{ F/m}$を$Q = CV$へ代入します。

$$Q = CV = 50 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 12 = 600 \times 8.85 \times 10^{-12} = 5.31 \times 10^{-9}\text{ [C]}$$

したがって、蓄えられる電荷の値は約$5.3 \times 10^{-9}\text{ C}$です。

【令和5年上期・問1】並列接続された異種誘電体コンデンサの電界・電束密度・電荷

電極板面積と電極板間隔が共に$S\text{ [m}^2\text{]}$と$d\text{ [m]}$で，一方は比誘電率が$\varepsilon_{\text{r1}}$の誘電体からなる平行平板コンデンサ$C_1$と，他方は比誘電率が$\varepsilon_{\text{r2}}$の誘電体からなる平行平板コンデンサ$C_2$がある。今，これらを図のように並列に接続し，端子$\text{A}$，$\text{B}$間に直流電圧$V_0\text{ [V]}$を加えた。このとき，コンデンサ$C_1$の電極板間の電界の強さを$E_1\text{ [V/m]}$，電束密度を$D_1\text{ [C/m}^2\text{]}$，また，コンデンサ$C_2$の電極板間の電界の強さを$E_2\text{ [V/m]}$，電束密度を$D_2\text{ [C/m}^2\text{]}$とする。両コンデンサの電界の強さ$E_1\text{ [V/m]}$と$E_2\text{ [V/m]}$はそれぞれ (ア) であり，電束密度$D_1\text{ [C/m}^2\text{]}$と$D_2\text{ [C/m}^2\text{]}$はそれぞれ (イ) である。したがって，コンデンサ$C_1$に蓄えられる電荷を$Q_1\text{ [C]}$，コンデンサ$C_2$に蓄えられる電荷を$Q_2\text{ [C]}$とすると，それらはそれぞれ (ウ) となる。
ただし，電極板の厚さ及びコンデンサの端効果は，無視できるものとする。また，真空の誘電率を$\varepsilon_0\text{ [F/m]}$とする。

上記の記述中の空白箇所(ア)～(ウ)に当てはまる式の組合せとして，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

	(ア)	(イ)	(ウ)
(1)	$E_1 = \dfrac{\varepsilon_{\text{r1}}}{d}V_0$ $E_2 = \dfrac{\varepsilon_{\text{r2}}}{d}V_0$	$D_1 = \dfrac{\varepsilon_{\text{r1}}}{d}SV_0$ $D_2 = \dfrac{\varepsilon_{\text{r2}}}{d}SV_0$	$Q_1 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r1}}}{d}SV_0$ $Q_2 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r2}}}{d}SV_0$
(2)	$E_1 = \dfrac{\varepsilon_{\text{r1}}}{d}V_0$ $E_2 = \dfrac{\varepsilon_{\text{r2}}}{d}V_0$	$D_1 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r1}}}{d}V_0$ $D_2 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r2}}}{d}V_0$	$Q_1 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r1}}}{d}SV_0$ $Q_2 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r2}}}{d}SV_0$
(3)	$E_1 = \dfrac{V_0}{d}$ $E_2 = \dfrac{V_0}{d}$	$D_1 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r1}}}{d}SV_0$ $D_2 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r2}}}{d}SV_0$	$Q_1 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r1}}}{d}V_0$ $Q_2 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r2}}}{d}V_0$
(4)	$E_1 = \dfrac{V_0}{d}$ $E_2 = \dfrac{V_0}{d}$	$D_1 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r1}}}{d}V_0$ $D_2 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r2}}}{d}V_0$	$Q_1 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r1}}}{d}SV_0$ $Q_2 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r2}}}{d}SV_0$
(5)	$E_1 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r1}}}{d}SV_0$ $E_2 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r2}}}{d}SV_0$	$D_1 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r1}}}{d}V_0$ $D_2 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r2}}}{d}V_0$	$Q_1 = \dfrac{\varepsilon_0}{d}SV_0$ $Q_2 = \dfrac{\varepsilon_0}{d}SV_0$

解説

正解は(4)です。

並列接続では電界が誘電率によらず電圧と間隔で決まる点と、電束密度や電荷の定義式がポイントです。

並列接続された$2$つのコンデンサには等しく直流電圧$V_0\text{ [V]}$が加わります。間隔がともに$d\text{ [m]}$のため電界は次の式です。

$$E_1 = \frac{V_0}{d}\text{ [V/m]} \quad \text{，} \quad E_2 = \frac{V_0}{d}\text{ [V/m]}$$

よって、(ア)は$E_1 = \dfrac{V_0}{d}$と$E_2 = \dfrac{V_0}{d}$に決まります。電束密度$D\text{ [C/m}^2\text{]}$は誘電率$\varepsilon_0 \varepsilon_{\text{r}}$と電界$E$の積です。

$$D_1 = \varepsilon_0 \varepsilon_{\text{r1}} E_1 = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon_{\text{r1}}}{d}V_0\text{ [C/m}^2\text{]} \quad \text{，} \quad D_2 = \varepsilon_0 \varepsilon_{\text{r2}} E_2 = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon_{\text{r2}}}{d}V_0\text{ [C/m}^2\text{]}$$

これより(イ)は$D_1 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r1}}}{d}V_0$と$D_2 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r2}}}{d}V_0$です。電荷$Q\text{ [C]}$は電束密度と面積$S\text{ [m}^2\text{]}$の積で求めます。

$$Q_1 = D_1 S = \frac{\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r1}}}{d}SV_0\text{ [C]} \quad \text{，} \quad Q_2 = D_2 S = \frac{\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r2}}}{d}SV_0\text{ [C]}$$

以上より、(ウ)の式も確定するため、正しい組合せは(4)です。

【令和5年上期・問17】3層複合誘電体コンデンサの電界大小関係とA/B蓄積エネルギー比

図のように，極板間の厚さ$d\text{ [m]}$，表面積$S\text{ [m}^2\text{]}$の平行板コンデンサ$\text{A}$と$\text{B}$がある。コンデンサ$\text{A}$の内部は，比誘電率と厚さが異なる$3$種類の誘電体で構成され，極板と各誘電体の水平方向の断面積は同一である。コンデンサ$\text{B}$の内部は，比誘電率と水平方向の断面積が異なる$3$種類の誘電体で構成されている。コンデンサ$\text{A}$の各誘電体内部の電界の強さをそれぞれ$E_{\text{A1}}$，$E_{\text{A2}}$，$E_{\text{A3}}$，コンデンサ$\text{B}$の各誘電体内部の電界の強さをそれぞれ$E_{\text{B1}}$，$E_{\text{B2}}$，$E_{\text{B3}}$とし，端効果，初期電荷及び漏れ電流は無視できるものとする。また，真空の誘電率を$\varepsilon_0\text{ [F/m]}$とする。両コンデンサの上側の極板に電圧$V\text{ [V]}$の直流電源を接続し，下側の極板を接地した。次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a) コンデンサ$\text{A}$における各誘電体内部の電界の強さの大小関係とその中の最大値の組合せとして，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $E_{\text{A1}} > E_{\text{A2}} > E_{\text{A3}}$，$\dfrac{3V}{5d}$
(2) $E_{\text{A1}} < E_{\text{A2}} < E_{\text{A3}}$，$\dfrac{3V}{5d}$
(3) $E_{\text{A1}} = E_{\text{A2}} = E_{\text{A3}}$，$\dfrac{V}{d}$
(4) $E_{\text{A1}} > E_{\text{A2}} > E_{\text{A3}}$，$\dfrac{9V}{5d}$
(5) $E_{\text{A1}} < E_{\text{A2}} < E_{\text{A3}}$，$\dfrac{9V}{5d}$

(b) コンデンサ$\text{A}$全体の蓄積エネルギーは，コンデンサ$\text{B}$全体の蓄積エネルギーの何倍か，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $0.72$
(2) $0.83$
(3) $1.00$
(4) $1.20$
(5) $1.38$

解説

正解は(a)が(4)、(b)が(2)です。

直列配置での電束密度一定条件と、コンデンサ$\text{A}$および$\text{B}$の合成静電容量の比がポイントです。

小問(a)では$3$層直列の電束密度$D\text{ [C/m}^2\text{]}$が全層で等しくなります。

$$D = 2\varepsilon_0 E_{\text{A1}} = 3\varepsilon_0 E_{\text{A2}} = 6\varepsilon_0 E_{\text{A3}}\text{ [C/m}^2\text{]}$$

これより$E_{\text{A2}} = \dfrac{2}{3}E_{\text{A1}}$、$E_{\text{A3}} = \dfrac{1}{3}E_{\text{A1}}$となり$E_{\text{A1}} > E_{\text{A2}} > E_{\text{A3}}$です。全電圧$V\text{ [V]}$から次式を得ます。

$$V = E_{\text{A1}}\frac{d}{6} + \frac{2}{3}E_{\text{A1}}\frac{d}{3} + \frac{1}{3}E_{\text{A1}}\frac{d}{2} = \left(\frac{1}{6} + \frac{2}{9} + \frac{1}{6}\right) E_{\text{A1}} d = \frac{5}{9} E_{\text{A1}} d\text{ [V]}$$ $$E_{\text{A1}} = \frac{9V}{5d}\text{ [V/m]}$$

小問(b)では、コンデンサ$\text{A}$と$\text{B}$の蓄積エネルギー比$\dfrac{W_{\text{A}}}{W_{\text{B}}}$を求めます。

電圧$V\text{ [V]}$が共通のため、エネルギー比$\dfrac{W_{\text{A}}}{W_{\text{B}}}$は合成静電容量の比$\dfrac{C_{\text{A}}}{C_{\text{B}}}$と同じ値です。

$$\frac{1}{C_{\text{A}}} = \frac{d/6}{2\varepsilon_0 S} + \frac{d/3}{3\varepsilon_0 S} + \frac{d/2}{6\varepsilon_0 S} = \frac{5}{18}\frac{d}{\varepsilon_0 S} \implies C_{\text{A}} = \frac{18}{5}\frac{\varepsilon_0 S}{d}\text{ [F]}$$ $$C_{\text{B}} = \frac{2\varepsilon_0 (S/6)}{d} + \frac{3\varepsilon_0 (S/3)}{d} + \frac{6\varepsilon_0 (S/2)}{d} = \frac{13}{3}\frac{\varepsilon_0 S}{d}\text{ [F]}$$

よって、蓄積エネルギーの比$\dfrac{W_{\text{A}}}{W_{\text{B}}}$を計算します。

$$\frac{W_{\text{A}}}{W_{\text{B}}} = \frac{C_{\text{A}}}{C_{\text{B}}} = \frac{\dfrac{18}{5}}{\dfrac{13}{3}} = \frac{54}{65} \fallingdotseq 0.831$$

したがって、約$0.83$倍です。

【令和4年上期・問17】面積の異なる2直列コンデンサの分圧比からの比誘電率・合成容量

図のように直列に接続された二つの平行平板コンデンサに$120\text{ V}$の電圧が加わっている。コンデンサ$C_1$の金属板間は真空であり，コンデンサ$C_2$の金属板間には比誘電率$\varepsilon_{\text{r}}$の誘電体が挿入されている。コンデンサ$C_1$，$C_2$の金属板間の距離は等しく，$C_1$の金属板の面積は$C_2$の$2$倍である。このとき，コンデンサ$C_1$の両端の電圧が$80\text{ V}$であった。次の(a)及び(b)の問に答えよ。
ただし，コンデンサの端効果は無視できるものとする。

(a) コンデンサ$C_2$の誘電体の比誘電率$\varepsilon_{\text{r}}$の値として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $1$
(2) $2$
(3) $3$
(4) $4$
(5) $5$

(b) $C_1$の静電容量が$30\text{ }\mu\text{F}$のとき，$C_1$と$C_2$の合成容量の値$\text{[}\mu\text{F]}$として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $10$
(2) $20$
(3) $30$
(4) $40$
(5) $50$

解説

正解は(a)が(4)、(b)が(2)です。

直列接続された$2$つのコンデンサにおいて、蓄積電荷が等しいため各電圧と静電容量が反比例することがポイントです。

小問(a)について検討します。全電圧$120\text{ V}$から$V_1 = 80\text{ V}$を引くと、$C_2$の電圧は$V_2 = 40\text{ V}$です。

直列接続では両コンデンサの電荷$Q = C_1 V_1 = C_2 V_2\text{ [C]}$が等しいため、容量比は次のとおりです。

$$\frac{C_2}{C_1} = \frac{V_1}{V_2} = \frac{80}{40} = 2$$

$C_2$の面積を$S\text{ [m}^2\text{]}$、距離を$d\text{ [m]}$と置くと、$C_1$の面積は$2S\text{ [m}^2\text{]}$となります。真空の誘電率$\varepsilon_0\text{ [F/m]}$で表します。

$$C_1 = \varepsilon_0 \frac{2S}{d}\text{ [F]} \quad \text{，} \quad C_2 = \varepsilon_0 \varepsilon_{\text{r}} \frac{S}{d}\text{ [F]}$$ $$\frac{C_2}{C_1} = \frac{\varepsilon_{\text{r}}}{2} = 2 \implies \varepsilon_{\text{r}} = 4$$

小問(b)は$C_1 = 30\text{ }\mu\text{F}$より$C_2 = 2C_1 = 60\text{ }\mu\text{F}$です。直列合成容量$C\text{ [}\mu\text{F]}$を計算します。

$$C = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{30 \times 60}{30 + 60} = \frac{1\,800}{90} = 20\text{ [}\mu\text{F]}$$

よって、比誘電率は$4$、合成容量は$20\text{ }\mu\text{F}$です。

【令和3年・問1】2誘電体並列コンデンサの電気力線数と電束数の比および総和

次の文章は，平行板コンデンサに関する記述である。
図のように，同じ寸法の直方体で誘電率の異なる二つの誘電体（比誘電率$\varepsilon_{\text{r1}}$の誘電体$1$と比誘電率$\varepsilon_{\text{r2}}$の誘電体$2$）が平行板コンデンサに充填されている。極板間は一定の電圧$V\text{ [V]}$に保たれ，極板$\text{A}$と極板$\text{B}$にはそれぞれ$+Q\text{ [C]}$と$-Q\text{ [C]}$（$Q > 0$）の電荷が蓄えられている。誘電体$1$と誘電体$2$は平面で接しており，その境界面は極板に対して垂直である。ただし，端効果は無視できるものとする。
この平行板コンデンサにおいて，極板$\text{A}$，$\text{B}$に平行な誘電体$1$，誘電体$2$の断面をそれぞれ面$\text{S}_1$，面$\text{S}_2$（面$\text{S}_1$と面$\text{S}_2$の断面積は等しい）とすると，面$\text{S}_1$を貫く電気力線の総数（任意の点の電気力線の密度は，その点での電界の大きさを表す）は，面$\text{S}_2$を貫く電気力線の総数の (ア) 倍である。面$\text{S}_1$を貫く電束の総数は面$\text{S}_2$を貫く電束の総数の (イ) 倍であり，面$\text{S}_1$と面$\text{S}_2$を貫く電束の数の総和は (ウ) である。

上記の記述中の空白箇所(ア)～(ウ)に当てはまる組合せとして，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

	(ア)	(イ)	(ウ)
(1)	$1$	$\dfrac{\varepsilon_{\text{r1}}}{\varepsilon_{\text{r2}}}$	$Q$
(2)	$1$	$\dfrac{\varepsilon_{\text{r1}}}{\varepsilon_{\text{r2}}}$	$\dfrac{Q}{\varepsilon_{\text{r1}}} + \dfrac{Q}{\varepsilon_{\text{r2}}}$
(3)	$1$	$\dfrac{\varepsilon_{\text{r2}}}{\varepsilon_{\text{r1}}}$	$\dfrac{Q}{\varepsilon_{\text{r1}}} + \dfrac{Q}{\varepsilon_{\text{r2}}}$
(4)	$\dfrac{\varepsilon_{\text{r2}}}{\varepsilon_{\text{r1}}}$	$1$	$\dfrac{Q}{\varepsilon_{\text{r1}}} + \dfrac{Q}{\varepsilon_{\text{r2}}}$
(5)	$\dfrac{\varepsilon_{\text{r2}}}{\varepsilon_{\text{r1}}}$	$1$	$Q$

解説

正解は(1)です。

電気力線の総数が電界と断面積の積で決まる点と、電束の総数が電荷量に等しい点がポイントです。

誘電体$1$と$2$は同じ極板$\text{A}$、$\text{B}$に接しており、電位差$V\text{ [V]}$と間隔$d\text{ [m]}$を共有します。よって電界は等しくなります。

$$E_1 = E_2 = \frac{V}{d}\text{ [V/m]}$$

電気力線の密度は電界に対応し、両面の断面積$S$も同一です。したがって、(ア)は$1$倍となります。

次に、誘電率$\varepsilon_0\text{ [F/m]}$を用いて電束密度と電束総数$\Psi_1$、$\Psi_2\text{ [C]}$を表します。

$$D_1 = \varepsilon_0 \varepsilon_{\text{r1}} E_1 \quad \text{，} \quad D_2 = \varepsilon_0 \varepsilon_{\text{r2}} E_2$$ $$\frac{\Psi_1}{\Psi_2} = \frac{D_1 S}{D_2 S} = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon_{\text{r1}} (V/d)}{\varepsilon_0 \varepsilon_{\text{r2}} (V/d)} = \frac{\varepsilon_{\text{r1}}}{\varepsilon_{\text{r2}}}$$

よって(イ)は$\dfrac{\varepsilon_{\text{r1}}}{\varepsilon_{\text{r2}}}$倍です。ガウスの法則より$+Q\text{ [C]}$からの電束総数は$Q\text{ [C]}$のため、(ウ)は$Q$となります。

【令和3年・問17】3層直並列コンデンサの電界大小関係・最大値とA/Bエネルギー比

図のように，極板間の厚さ$d\text{ [m]}$，表面積$S\text{ [m}^2\text{]}$の平行板コンデンサ$\text{A}$と$\text{B}$がある。コンデンサ$\text{A}$の内部は，比誘電率と厚さが異なる$3$種類の誘電体で構成され，極板と各誘電体の水平方向の断面積は同一である。コンデンサ$\text{B}$の内部は，比誘電率と水平方向の断面積が異なる$3$種類の誘電体で構成されている。コンデンサ$\text{A}$の各誘電体内部の電界の強さをそれぞれ$E_{\text{A1}}$，$E_{\text{A2}}$，$E_{\text{A3}}$，コンデンサ$\text{B}$の各誘電体内部の電界の強さをそれぞれ$E_{\text{B1}}$，$E_{\text{B2}}$，$E_{\text{B3}}$とし，端効果，初期電荷及び漏れ電流は無視できるものとする。また，真空の誘電率を$\varepsilon_0\text{ [F/m]}$とする。両コンデンサの上側の極板に電圧$V\text{ [V]}$の直流電源を接続し，下側の極板を接地した。次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a) コンデンサ$\text{A}$における各誘電体内部の電界の強さの大小関係とその中の最大値の組合せとして，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $E_{\text{A1}} > E_{\text{A2}} > E_{\text{A3}}$，$\dfrac{3V}{5d}$
(2) $E_{\text{A1}} < E_{\text{A2}} < E_{\text{A3}}$，$\dfrac{3V}{5d}$
(3) $E_{\text{A1}} = E_{\text{A2}} = E_{\text{A3}}$，$\dfrac{V}{d}$
(4) $E_{\text{A1}} > E_{\text{A2}} > E_{\text{A3}}$，$\dfrac{9V}{5d}$
(5) $E_{\text{A1}} < E_{\text{A2}} < E_{\text{A3}}$，$\dfrac{9V}{5d}$

(b) コンデンサ$\text{A}$全体の蓄積エネルギーは，コンデンサ$\text{B}$全体の蓄積エネルギーの何倍か，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $0.72$
(2) $0.83$
(3) $1.00$
(4) $1.20$
(5) $1.38$

解説

正解は(a)が(4)、(b)が(2)です。

直列配置での電束密度一定の条件と、同じ印加電圧下での静電容量比からのエネルギー比算出がポイントです。

小問(a)のコンデンサ$\text{A}$は$3$層直列のため、各層を貫く電束密度$D\text{ [C/m}^2\text{]}$が等しくなります。

$$D = 2\varepsilon_0 E_{\text{A1}} = 3\varepsilon_0 E_{\text{A2}} = 6\varepsilon_0 E_{\text{A3}}\text{ [C/m}^2\text{]}$$

これより電界比は$E_{\text{A1}} : E_{\text{A2}} : E_{\text{A3}} = 3 : 2 : 1$です。したがって、$E_{\text{A1}} > E_{\text{A2}} > E_{\text{A3}}$となり、全電圧$V\text{ [V]}$から次式を得ます。

$$V = E_{\text{A1}} \frac{d}{6} + \frac{2}{3}E_{\text{A1}} \frac{d}{3} + \frac{1}{3}E_{\text{A1}} \frac{d}{2} = \frac{5}{9} E_{\text{A1}} d\text{ [V]}$$ $$E_{\text{A1}} = \frac{9V}{5d}\text{ [V/m]}$$

小問(b)の蓄積エネルギー比$\dfrac{W_{\text{A}}}{W_{\text{B}}}$は、両端電圧$V\text{ [V]}$が共通のため静電容量比$\dfrac{C_{\text{A}}}{C_{\text{B}}}$と同じ値です。

直列の合成容量$C_{\text{A}}\text{ [F]}$と並列の合成容量$C_{\text{B}}\text{ [F]}$をそれぞれ求めます。

$$\frac{1}{C_{\text{A}}} = \frac{d/6}{2\varepsilon_0 S} + \frac{d/3}{3\varepsilon_0 S} + \frac{d/2}{6\varepsilon_0 S} = \frac{5}{18}\frac{d}{\varepsilon_0 S} \implies C_{\text{A}} = \frac{18}{5}\frac{\varepsilon_0 S}{d}\text{ [F]}$$ $$C_{\text{B}} = \frac{2\varepsilon_0 (S/6)}{d} + \frac{3\varepsilon_0 (S/3)}{d} + \frac{6\varepsilon_0 (S/2)}{d} = \frac{13}{3}\frac{\varepsilon_0 S}{d}\text{ [F]}$$

したがって、$W_{\text{A}}$は$W_{\text{B}}$の何倍になるかを計算します。

$$\frac{W_{\text{A}}}{W_{\text{B}}} = \frac{C_{\text{A}}}{C_{\text{B}}} = \frac{18/5}{13/3} = \frac{54}{65} \fallingdotseq 0.831$$

よって、求める倍率は約$0.83$倍です。

【令和2年・問17】誘電体と厚さの異なる3種のコンデンサの電界強度と絶縁破壊電圧

図のように，誘電体の種類，比誘電率，絶縁破壊電界，厚さがそれぞれ異なる三つの平行板コンデンサ①～③がある。極板の形状と大きさは同一で，コンデンサの端効果，初期電荷及び漏れ電流は無視できるものとする。上側の極板に電圧$V_0\text{ [V]}$の直流電源を接続し，下側の極板を接地した。次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a) 各平行板コンデンサへの印加電圧の大きさが同一のとき，極板間の電界の強さの大きい順として，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) ①＞②＞③
(2) ①＞③＞②
(3) ②＞①＞③
(4) ③＞①＞②
(5) ③＞②＞①

(b) 各平行板コンデンサへの印加電圧をそれぞれ徐々に上昇し，極板間の電界の強さが絶縁破壊電界に達したときの印加電圧（絶縁破壊電圧）の大きさの大きい順として，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) ①＞②＞③
(2) ①＞③＞②
(3) ②＞①＞③
(4) ③＞①＞②
(5) ③＞②＞①

解説

正解は(a)が(5)、(b)が(2)です。

単一誘電体の平行板コンデンサの電界$E = \dfrac{V}{d}$が比誘電率によらず間隔のみで決まる点がポイントです。

小問(a)では、電圧$V_0\text{ [V]}$を掛けた単一誘電体コンデンサ内の電界の強さ$E\text{ [V/m]}$を考えます。

$$E = \frac{V_0}{d}\text{ [V/m]}$$

厚さは①が$4.0\text{ mm}$、②が$1.0\text{ mm}$、③が$0.5\text{ mm}$です。電圧一定のため薄いほど電界が強く、③＞②＞①となります。

小問(b)の絶縁破壊電圧$V_b\text{ [kV]}$は$V_b = E_b d$の式です。表の数値から各破壊電圧を計算します。

$$V_{b1} = 10\text{ [kV/mm]} \times 4.0\text{ [mm]} = 40\text{ [kV]}$$ $$V_{b2} = 20\text{ [kV/mm]} \times 1.0\text{ [mm]} = 20\text{ [kV]}$$ $$V_{b3} = 50\text{ [kV/mm]} \times 0.5\text{ [mm]} = 25\text{ [kV]}$$

したがって、絶縁破壊電圧は$40\text{ kV} > 25\text{ kV} > 20\text{ kV}$となり、大きい順は①＞③＞②です。

【令和元年・問2】直並列接続された平行板コンデンサ群の内部電界の強さ

図のように，極板間距離$d\text{ [mm]}$と比誘電率$\varepsilon_{\text{r}}$が異なる平行板コンデンサが接続されている。極板の形状と大きさは全て同一であり，コンデンサの端効果，初期電荷及び漏れ電流は無視できるものとする。印加電圧を$10\text{ kV}$とするとき，図中の二つのコンデンサ内部の電界の強さ$E_{\text{A}}$及び$E_{\text{B}}$の値$\text{[kV/mm]}$の組合せとして，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

	$E_{\text{A}}$	$E_{\text{B}}$
(1)	$0.25$	$0.67$
(2)	$0.25$	$1.5$
(3)	$1.0$	$1.0$
(4)	$4.0$	$0.67$
(5)	$4.0$	$1.5$

解説

正解は(3)です。

直列接続された同一面積・同一比誘電率のコンデンサでは、すべての内部電界の強さが等しくなる点がポイントです。

左枝（$3$直列）と中央枝（$2$直列）にはともに電源電圧$V = 10\text{ kV}$が掛かります。各枝内で電荷と面積が共通のため電束密度も同一です。

左枝の$3$個は比誘電率$\varepsilon_{\text{r}} = 3$が共通のため電界も同じ値$E_{\text{A}}\text{ [kV/mm]}$になります。板間隔の和$10\text{ mm}$より次式です。

$$E_{\text{A}} = \frac{10\text{ [kV]}}{(2 + 3 + 5)\text{ [mm]}} = \frac{10}{10} = 1.0\text{ [kV/mm]}$$

中央枝の$2$個も比誘電率$\varepsilon_{\text{r}} = 2$が共通のため電界はともに$E_{\text{B}}\text{ [kV/mm]}$です。間隔の和$10\text{ mm}$から$E_{\text{B}}$を求めます。

$$E_{\text{B}} = \frac{10\text{ [kV]}}{(4 + 6)\text{ [mm]}} = \frac{10}{10} = 1.0\text{ [kV/mm]}$$

よって、求める組合せは$E_{\text{A}} = 1.0\text{ kV/mm}$、$E_{\text{B}} = 1.0\text{ kV/mm}$です。

【平成30年・問2】空気コンデンサへの固体誘電体・導体挿入による電界変化

次の文章は，平行板コンデンサの電界に関する記述である。
極板間距離$d_0\text{ [m]}$の平行板空気コンデンサの極板間電圧を一定とする。
極板と同形同面積の固体誘電体（比誘電率$\varepsilon_{\text{r}} > 1$，厚さ$d_1\text{ [m]} < d_0\text{ [m]}$）を極板と平行に挿入すると，空気ギャップの電界の強さは，固体誘電体を挿入する前の値と比べて (ア) 。
また，極板と同形同面積の導体（厚さ$d_2\text{ [m]} < d_0\text{ [m]}$）を極板と平行に挿入すると，空気ギャップの電界の強さは，導体を挿入する前の値と比べて (イ) 。
ただし，コンデンサの端効果は無視できるものとする。

上記の記述中の空白箇所(ア)及び(イ)に当てはまる組合せとして，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

	(ア)	(イ)
(1)	強くなる	強くなる
(2)	強くなる	弱くなる
(3)	弱くなる	強くなる
(4)	弱くなる	弱くなる
(5)	変わらない	変わらない

解説

正解は(1)です。

極板間電圧一定の条件下で誘電体や導体を挿入すると、空気層の電界が強まる点がポイントです。

挿入前の極板間電圧を$V\text{ [V]}$とすると、空気コンデンサ内部の電界$E_0\text{ [V/m]}$は次式で表せます。

$$E_0 = \frac{V}{d_0}\text{ [V/m]}$$

まず(ア)の比誘電率$\varepsilon_{\text{r}} > 1$、厚さ$d_1\text{ [m]}$の誘電体挿入は空気層と直列の構成です。電束密度一定より誘電体内電界は$E_1 = \dfrac{E_{\text{air}}}{\varepsilon_{\text{r}}}$となります。

$$V = E_{\text{air}}(d_0 - d_1) + E_1 d_1 = E_{\text{air}}\left(d_0 - d_1 + \frac{d_1}{\varepsilon_{\text{r}}}\right)\text{ [V]}$$

$\varepsilon_{\text{r}} > 1$より括弧内の実効距離は$d_0$より小さい値です。そのため空気層の電界$E_{\text{air}}$は挿入前の$E_0$より強まります。

次に(イ)の厚さ$d_2\text{ [m]}$の導体挿入では導体内の電界が$0\text{ V/m}$です。空気層の合計距離$d_0 - d_2\text{ [m]}$に全電圧$V\text{ [V]}$が掛かります。

$$E_{\text{air}}' = \frac{V}{d_0 - d_2} > \frac{V}{d_0} = E_0\text{ [V/m]}$$

したがって、導体の挿入でも空気ギャップの電界は増大します。

【平成30年・問17】空気・固体誘電体直列コンデンサの電位分布グラフと比誘電率

空気（比誘電率$1$）で満たされた極板間距離$5d\text{ [m]}$の平行板コンデンサがある。図のように，一方の極板と大地との間に電圧$V_0\text{ [V]}$の直流電源を接続し，極板と同形同面積で厚さ$4d\text{ [m]}$の固体誘電体（比誘電率$4$）を極板と接するように挿入し，他方の極板を接地した。次の(a)及び(b)の問に答えよ。
ただし，コンデンサの端効果は無視できるものとする。

(a) 極板間の電位分布を表すグラフ（縦軸：電位$V\text{ [V]}$，横軸：電源が接続された極板からの距離$x\text{ [m]}$）として，最も近いものを図中の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(b) $V_0 = 10\text{ kV}$，$d = 1\text{ mm}$とし，比誘電率$4$の固体誘電体を比誘電率$\varepsilon_{\text{r}}$の固体誘電体に差し替え，空気ギャップの電界の強さが$2.5\text{ kV/mm}$となったとき，$\varepsilon_{\text{r}}$の値として最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $0.75$
(2) $1.00$
(3) $1.33$
(4) $1.67$
(5) $2.00$

解説

正解は(a)が(3)、(b)が(3)です。

直列コンデンサの電束密度一定条件から、誘電体と空気層の電界比および境界電位を求める点がポイントです。

小問(a)では誘電体（厚さ$4d\text{ [m]}$、比誘電率$4$）と空気層（$d\text{ [m]}$、比誘電率$1$）が直列に並びます。電束密度一定の条件から次式が成立します。

$$4\varepsilon_0 E_1 = 1 \cdot \varepsilon_0 E_2 \implies E_2 = 4 E_1$$

各層の電圧$V_1$、$V_2\text{ [V]}$は電界と厚さの積のため、両者の関係は次のとおりです。

$$V_1 = E_1 \times 4d = 4d E_1 \quad \text{，} \quad V_2 = E_2 \times d = 4d E_1$$

よって$V_1 = V_2 = \dfrac{V_0}{2}$となり、$x = 4d$の電位は$0.5V_0\text{ [V]}$です。縦軸$10$目盛りのうち上から$5$目盛り目を通る(3)を選びます。

小問(b)の空気層は電界$E_{\text{air}} = 2.5\text{ kV/mm}$、厚さ$d = 1\text{ mm}$です。この層の電圧降下$V_{\text{air}}\text{ [kV]}$を計算します。

$$V_{\text{air}} = 2.5\text{ [kV/mm]} \times 1\text{ [mm]} = 2.5\text{ [kV]}$$

全体電圧$V_0 = 10\text{ kV}$より、固体層（$4d = 4\text{ mm}$）の電圧は$7.5\text{ kV}$です。固体中の電界$E_{\text{solid}}\text{ [kV/mm]}$を算出します。

$$E_{\text{solid}} = \frac{7.5\text{ [kV]}}{4\text{ [mm]}} = 1.875\text{ [kV/mm]}$$

電束密度一定の式$\varepsilon_0 \varepsilon_{\text{r}} E_{\text{solid}} = \varepsilon_0 \times 1 \times E_{\text{air}}$から$\varepsilon_{\text{r}}$を求めます。

$$\varepsilon_{\text{r}} = \frac{E_{\text{air}}}{E_{\text{solid}}} = \frac{2.5}{1.875} = \frac{4}{3} \fallingdotseq 1.33$$

したがって、比誘電率は約$1.33$です。

【平成26年・問1】誘電体コンデンサへ非帯電導体を平行挿入したときの導体電位

極板$\text{A}$-$\text{B}$間が比誘電率$\varepsilon_{\text{r}} = 2$の誘電体で満たされた平行平板コンデンサがある。極板間の距離は$d\text{ [m]}$，極板間の直流電圧は$V_0\text{ [V]}$である。極板と同じ形状と大きさをもち，厚さが$\dfrac{d}{4}\text{ [m]}$の帯電していない導体を図に示す位置$\text{P}$-$\text{Q}$間に極板と平行に挿入したとき，導体の電位の値$\text{ [V]}$として，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
ただし，コンデンサの端効果は無視できるものとする。

(1) $\dfrac{V_0}{8}$
(2) $\dfrac{V_0}{6}$
(3) $\dfrac{V_0}{4}$
(4) $\dfrac{V_0}{3}$
(5) $\dfrac{V_0}{2}$

解説

正解は(4)です。

導体内は電界$0$で等電位のため、上下$2$つの直列コンデンサによる分圧として解く点がポイントです。

極板$\text{B}$は接地されて電位$0\text{ V}$、極板$\text{A}$は$V_0\text{ [V]}$となります。導体電位$V_x\text{ [V]}$は下側（$\text{QB}$間）コンデンサの電圧です。

図より上側（$\text{AP}$間）の厚さは$\dfrac{d}{2}\text{ [m]}$、下側（$\text{QB}$間）の厚さは$\dfrac{d}{4}\text{ [m]}$です。同じ面積と誘電率より容量を表します。

$$C_1 = \varepsilon_0 \varepsilon_{\text{r}} \frac{S}{d/2} \quad \text{，} \quad C_2 = \varepsilon_0 \varepsilon_{\text{r}} \frac{S}{d/4} = 2 C_1$$

導体は非帯電のため$C_1$と$C_2$の電荷量は同一です。直列分圧の式より導体電位$V_x$を算出します。

$$V_x = \frac{C_1}{C_1 + C_2} V_0 = \frac{C_1}{C_1 + 2 C_1} V_0 = \frac{1}{3} V_0\text{ [V]}$$

よって、導体の電位は$\dfrac{V_0}{3}\text{ [V]}$となります。

【平成24年・問2】固体誘電体・導体挿入時の電位変化と静電容量の正誤判定

極板$\text{A}$-$\text{B}$間が誘電率$\varepsilon_0\text{ [F/m]}$の空気で満たされている平行平板コンデンサの空気ギャップ長を$d\text{ [m]}$，静電容量を$C_0\text{ [F]}$とし，極板間の直流電圧を$V_0\text{ [V]}$とする。極板と同じ形状と面積を持ち，厚さが$\dfrac{d}{4}\text{ [m]}$，誘電率$\varepsilon_1\text{ [F/m]}$の固体誘電体（$\varepsilon_1 > \varepsilon_0$）を図に示す位置$\text{P}$-$\text{Q}$間に極板と平行に挿入すると，コンデンサ内の電位分布は変化し，静電容量は$C_1\text{ [F]}$に変化した。このとき，誤っているものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
ただし，空気の誘電率を$\varepsilon_0$，コンデンサの端効果は無視できるものとし，直流電圧$V_0\text{ [V]}$は一定とする。

(1) 位置$\text{P}$の電位は，固体誘電体を挿入する前の値よりも低下する。
(2) 位置$\text{Q}$の電位は，固体誘電体を挿入する前の値よりも上昇する。
(3) 静電容量$C_1\text{ [F]}$は，$C_0\text{ [F]}$よりも大きくなる。
(4) 固体誘電体を導体に変えた場合，位置$\text{P}$の電位は固体誘電体又は導体を挿入する前の値よりも上昇する。
(5) 固体誘電体を導体に変えた場合の静電容量$C_2\text{ [F]}$は，$C_0\text{ [F]}$よりも大きくなる。

解説

正解は(4)です。

誘電体や導体の挿入前後に生じる空気層の電界変化と、接地された極板$\text{B}$基準の電位計算がポイントです。

極板$\text{B}$は接地されて電位$0\text{ V}$、極板$\text{A}$は電位$V_0\text{ [V]}$となります。挿入前の電界$E_0 = \dfrac{V_0}{d}$より位置$\text{P}$、$\text{Q}$の初期電位は次のとおりです。

$$V_{\text{P0}} = E_0 \times \frac{3}{4}d = \frac{3}{4}V_0\text{ [V]} \quad \text{，} \quad V_{\text{Q0}} = E_0 \times \frac{1}{2}d = \frac{1}{2}V_0\text{ [V]}$$

まず固体誘電体（$\varepsilon_1 > \varepsilon_0$）挿入時の電界は$E_1 = \dfrac{\varepsilon_0}{\varepsilon_1} E_{\text{air}} < E_{\text{air}}$となります。全電圧$V_0$の式を立てます。

$$V_0 = E_{\text{air}}\left(\frac{d}{4} + \frac{d}{2}\right) + E_1 \frac{d}{4} = E_{\text{air}} d \left(\frac{3}{4} + \frac{\varepsilon_0}{4\varepsilon_1}\right) \implies E_{\text{air}} > \frac{V_0}{d} = E_0$$

$E_{\text{air}}$が増すため$V_{\text{P}} = V_0 - E_{\text{air}}\dfrac{d}{4} < V_{\text{P0}}$と低下します。一方、$\text{Q}$の電位は$V_{\text{Q}} = E_{\text{air}}\dfrac{d}{2} > V_{\text{Q0}}$です。

実効間隔も$d\left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{\varepsilon_0}{4\varepsilon_1}\right) < d$へ減り$C_1 > C_0$となります。よって(1)～(3)はいずれも正しい記述です。

次に固体誘電体を導体へ変えると、導体内の電界は$0$になります。空気層のみ（合計距離$\dfrac{3}{4}d$）に全電圧$V_0$が掛かる状態です。

$$E_{\text{air}}' = \frac{V_0}{\dfrac{3}{4}d} = \frac{4}{3}\frac{V_0}{d} \quad \text{，} \quad C_2 = \frac{4}{3}C_0 > C_0$$

これにより(5)は正しいとわかります。導体挿入時の位置$\text{P}$の電位$V_{\text{P}}'\text{ [V]}$は$\dfrac{3}{4}V_0$より低い値です。

$$V_{\text{P}}' = V_0 - E_{\text{air}}' \times \frac{d}{4} = V_0 - \frac{4}{3}\frac{V_0}{d} \cdot \frac{d}{4} = \frac{2}{3}V_0 < \frac{3}{4}V_0$$

したがって、上昇すると記述している(4)が誤りです。

【平成22年・問2】同形状の空気コンデンサと固体誘電体コンデンサの電界と電荷比

図に示すように，電極板面積と電極板間隔がそれぞれ同一の$2$種類の平行平板コンデンサがあり，一方を空気コンデンサ$\text{A}$，他方を固体誘電体（比誘電率$\varepsilon_{\text{r}} = 4$）が満たされたコンデンサ$\text{B}$とする。両コンデンサにおいて，それぞれ一方の電極に直流電圧$V\text{ [V]}$を加え，他方の電極を接地したとき，コンデンサ$\text{B}$の内部電界$\text{[V/m]}$及び電極板上に蓄えられた電荷$\text{[C]}$はコンデンサ$\text{A}$のそれぞれ何倍となるか。その倍率として，正しいものを組み合わせたのは次のうちどれか。
ただし，空気の比誘電率を$1$とし，コンデンサの端効果は無視できるものとする。

	内部電界	電 荷
(1)	$1$	$4$
(2)	$4$	$4$
(3)	$\dfrac{1}{4}$	$4$
(4)	$4$	$1$
(5)	$1$	$1$

解説

正解は(1)です。

電圧と極板間隔が等しい場合、内部電界は誘電率によらず一定で、電荷は比誘電率に比例する点がポイントです。

電極板面積を$S\text{ [m}^2\text{]}$、電極板間隔を$d\text{ [m]}$と置きます。$\text{A}$、$\text{B}$は電圧$V\text{ [V]}$が共通のため、内部電界は次式で表せます。

$$E_{\text{A}} = \frac{V}{d}\text{ [V/m]} \quad \text{，} \quad E_{\text{B}} = \frac{V}{d}\text{ [V/m]}$$

両式の値が等しいため、コンデンサ$\text{B}$の内部電界はコンデンサ$\text{A}$の$1$倍です。次に、各コンデンサの電荷$Q_{\text{A}}$、$Q_{\text{B}}\text{ [C]}$を求めます。

$$Q_{\text{A}} = C_{\text{A}} V = \varepsilon_0 \frac{S}{d} V\text{ [C]} \quad \text{，} \quad Q_{\text{B}} = C_{\text{B}} V = 4\varepsilon_0 \frac{S}{d} V = 4 Q_{\text{A}}\text{ [C]}$$

したがって、内部電界は$1$倍、電荷は$4$倍となります。

【平成21年・問1】2並列誘電体コンデンサの電界・電束密度・電荷の導出

電極板面積と電極板間隔が共に$S\text{ [m}^2\text{]}$と$d\text{ [m]}$で，一方は比誘電率が$\varepsilon_{r1}$の誘電体からなる平行平板コンデンサ$C_1$と，他方は比誘電率が$\varepsilon_{r2}$の誘電体からなる平行平板コンデンサ$C_2$がある。いま，これらを図のように並列に接続し，端子$\text{A}$，$\text{B}$間に直流電圧$V_0\text{ [V]}$を加えた。このとき，コンデンサ$C_1$の電極板間の電界の強さを$E_1\text{ [V/m]}$，電束密度を$D_1\text{ [C/m}^2\text{]}$，また，コンデンサ$C_2$の電極板間の電界の強さを$E_2\text{ [V/m]}$，電束密度を$D_2\text{ [C/m}^2\text{]}$とする。両コンデンサの電界の強さ$E_1\text{ [V/m]}$と$E_2\text{ [V/m]}$はそれぞれ (ア) であり，電束密度$D_1\text{ [C/m}^2\text{]}$と$D_2\text{ [C/m}^2\text{]}$はそれぞれ (イ) である。したがって，コンデンサ$C_1$に蓄えられる電荷を$Q_1\text{ [C]}$，コンデンサ$C_2$に蓄えられる電荷を$Q_2\text{ [C]}$とすると，それらはそれぞれ (ウ) となる。
ただし，電極板の厚さ及びコンデンサの端効果は，無視できるものとする。また，真空の誘電率を$\varepsilon_0\text{ [F/m]}$とする。

上記の記述中の空白箇所(ア)，(イ)及び(ウ)に当てはまる式として，正しいものを組み合わせたのは次のうちどれか。

	(ア)	(イ)	(ウ)
(1)	$E_1 = \dfrac{\varepsilon_{r1}}{d}V_0$ $E_2 = \dfrac{\varepsilon_{r2}}{d}V_0$	$D_1 = \dfrac{\varepsilon_{r1}}{d}SV_0$ $D_2 = \dfrac{\varepsilon_{r2}}{d}SV_0$	$Q_1 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{r1}}{d}SV_0$ $Q_2 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{r2}}{d}SV_0$
(2)	$E_1 = \dfrac{\varepsilon_{r1}}{d}V_0$ $E_2 = \dfrac{\varepsilon_{r2}}{d}V_0$	$D_1 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{r1}}{d}V_0$ $D_2 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{r2}}{d}V_0$	$Q_1 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{r1}}{d}SV_0$ $Q_2 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{r2}}{d}SV_0$
(3)	$E_1 = \dfrac{V_0}{d}$ $E_2 = \dfrac{V_0}{d}$	$D_1 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{r1}}{d}SV_0$ $D_2 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{r2}}{d}SV_0$	$Q_1 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{r1}}{d}V_0$ $Q_2 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{r2}}{d}V_0$
(4)	$E_1 = \dfrac{V_0}{d}$ $E_2 = \dfrac{V_0}{d}$	$D_1 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{r1}}{d}V_0$ $D_2 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{r2}}{d}V_0$	$Q_1 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{r1}}{d}SV_0$ $Q_2 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{r2}}{d}SV_0$
(5)	$E_1 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{r1}}{d}SV_0$ $E_2 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{r2}}{d}SV_0$	$D_1 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{r1}}{d}V_0$ $D_2 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{r2}}{d}V_0$	$Q_1 = \dfrac{\varepsilon_0}{d}SV_0$ $Q_2 = \dfrac{\varepsilon_0}{d}SV_0$

解説

正解は(4)です。

並列接続では同じ電圧$V_0\text{ [V]}$が掛かるため、電界、電束密度、電荷の順に算出する点がポイントです。

並列接続で板間隔が共通の$d\text{ [m]}$のため、内部電界$E_1$、$E_2\text{ [V/m]}$は次式で表せます。

$$E_1 = \frac{V_0}{d}\text{ [V/m]} \quad \text{，} \quad E_2 = \frac{V_0}{d}\text{ [V/m]}$$

よって(ア)は$E_1 = \dfrac{V_0}{d}$と$E_2 = \dfrac{V_0}{d}$です。電束密度は各誘電率（$\varepsilon_0 \varepsilon_{r1}$、$\varepsilon_0 \varepsilon_{r2}$）と電界との積で求めます。

$$D_1 = \varepsilon_0 \varepsilon_{r1} E_1 = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon_{r1}}{d}V_0\text{ [C/m}^2\text{]} \quad \text{，} \quad D_2 = \varepsilon_0 \varepsilon_{r2} E_2 = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon_{r2}}{d}V_0\text{ [C/m}^2\text{]}$$

さらに、蓄えられる電荷$Q\text{ [C]}$は電束密度$D$に面積$S\text{ [m}^2\text{]}$を掛けた値です。

$$Q_1 = D_1 S = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon_{r1}}{d}SV_0\text{ [C]} \quad \text{，} \quad Q_2 = D_2 S = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon_{r2}}{d}SV_0\text{ [C]}$$

したがって、(ア)～(ウ)をすべて満たす組合せは(4)となります。

【平成21年・問17】3層直列複合誘電体コンデンサの電界分布図と制限電圧計算

図に示すように，面積が十分に広い平行平板電極（電極間距離$10\text{ [mm]}$）が空気（比誘電率$\varepsilon_{r1} = 1$とする。）と，電極と同形同面積の厚さ$4\text{ [mm]}$で比誘電率$\varepsilon_{r2} = 4$の固体誘電体で構成されている。下部電極を接地し，上部電極に直流電圧$V\text{ [kV]}$を加えた。次の(a)及び(b)に答えよ。
ただし，固体誘電体の導電性及び電極と固体誘電体の端効果は無視できるものとする。

(a) 電極間の電界の強さ$E\text{ [kV/mm]}$のおおよその分布を示す図として，正しいのは次のうちどれか。
ただし，このときの電界の強さでは，放電は発生しないものとする。また，各図において，上部電極から下部電極に向かう距離を$x\text{ [mm]}$とする。

(b) 上部電極に加える電圧$V\text{ [kV]}$を徐々に増加し，下部電極側の空気中の電界の強さが$2\text{ [kV/mm]}$に達したときの電圧$V\text{ [kV]}$の値として，正しいのは次のうちどれか。

(1) $11$
(2) $14$
(3) $20$
(4) $44$
(5) $56$

解説

正解は(a)が(5)、(b)が(2)です。

極板と平行な$3$層直列構造において、電束密度一定の条件から電界が誘電率に反比例する点がポイントです。

小問(a)では上部空気層（$4\text{ mm}$）、固体層（$4\text{ mm}$）、下部空気層（$2\text{ mm}$）が直列に並びます。

直列配置のため全層で電束密度が等しくなり、各層の電界$E_1$、$E_2$、$E_3\text{ [kV/mm]}$は次式の関係です。

$$\varepsilon_0 \varepsilon_{r1} E_1 = \varepsilon_0 \varepsilon_{r2} E_2 = \varepsilon_0 \varepsilon_{r1} E_3$$

$\varepsilon_{r1} = 1$、$\varepsilon_{r2} = 4$を代入すると$E_1 = E_3 = 4 E_2$となります。固体層が空気層の$\dfrac{1}{4}$となる(5)が正解です。

小問(b)では$E_3 = 2\text{ kV/mm}$より$E_1 = 2\text{ kV/mm}$、$E_2 = 0.5\text{ kV/mm}$と求まります。

全体の直流電圧$V\text{ [kV]}$は、各層の電界と厚さの積を足し合わせた合計値です。

$$V = E_1 d_1 + E_2 d_2 + E_3 d_3 = 2 \times 4 + 0.5 \times 4 + 2 \times 2 = 8 + 2 + 4 = 14\text{ [kV]}$$

よって、求める電圧は$14\text{ kV}$となります。