電験3種（理論）で出題されるコイルのインダクタンスとは？和動接続、差動接続の試験対策と過去問を解説します。
合成インダクタンスの計算(和動接続、差動接続)
上図のようなトランスにおいて、2つのコイルが磁気的に結合して巻かれている時、合成インダクタンスは以下の式で求まります。
$L=L_1+L_2\pm 2M$
$L_1, L_2$はそれぞれコイル$A, B$の自己インダクタンス、$2M$は相互インダクタンスです。相互インダクタンス$M$は以下の式で計算できます。
$M=k\sqrt{L_1L_2}$
$k$は結合係数と呼ばれ、$0\leq k \leq 1$となります。合成インダクタンスの計算式を使うときに注意するのは、$M$の前についている符号です。この符号は、「コイル$A, B$に同じ向きの電流を流した時の磁束（磁力線）の方向」で決まります。
| 条件 | 符号 |
|---|---|
| 磁束（磁力線）の向きが同じ | 符号は+(和動接続=磁束が強め合う) |
| 磁束（磁力線）の向きが逆 | 符号は－(差動接続=磁束が弱め合う) |
磁束（磁力線）の向きは「右手親指の法則」で簡単にわかります。そのため、合成インダクタンスを計算するときは、コイルの巻き方向に注意する必要があります。ちなみに上記の図の場合、端子$A，B$に直流電圧を加えると2つのコイルの磁束（磁力線）の向きが異なるため差動接続となります。
【令和4年度下期・問3】コイルの自己インダクタンスと相互インダクタンスの計算
図のような環状鉄心に巻かれたコイルについて、
端子1−2間の自己インダクタンス$L_{12}$が40mH
端子3−4間の自己インダクタンスが10mH
端子2と3を接続した状態での端子1−4間のインダクタンスが$L_{14}=86mH$
であったとき、端子1−2間のコイルと端子3−4間のコイルとの間の結合係数$k$を求めよ。
解説
端子 1−2 間の自己インダクタンスを$L_{12}=40$[mH]、端子3−4間の自己インダクタンスを$L_{34}=10[mH]$とおくと、相互インダクタンス$M$は以下のとおり。
$M=k\sqrt{L_{12}L_{34}}=k\sqrt{40\cdot 10}=20k$
端子2と3を接続した状態は和動接続となるため、合成インダクタンス$L_{14}$は以下のとおり。
$L_{14}=L_{12}+L_{34}+ 2M = 40+10+20k=86$
$k = 0.9$
【平成29年度・問3】コイルの合成インダクタンスの計算
環状鉄心に、コイル1及びコイル2が巻かれている。二つのコイルを図1のように接続したとき、端子 A−B 間の合成インダクタンスの値は 1.2 H であった。
次に、図2のように接続したとき、端子 C−D 間の合成インダクタンスの値は 2.0 H であった。このことから、コイル1の自己インダクタンス の値 [H] 、コイル1及びコイル2の相互インダクタンス の値 [H] を求めよ。ただし，コイル1及びコイル2の自己インダクタンスはともに [H]、その巻数を とし，また，鉄心は等断面、等質であるとする。
解説
図1は差動接続で、そのときの合成インダクタンスが$1.2[H]$なので以下の式が成立する。
$L=L_1+L_2-2M$
$1.2 = L+L-2M$
$0.6 = L-M$・・・①
図2は和動接続で、そのときの合成インダクタンスが$2.0[H]$なので以下の式が成立する。
$L=L_1+L_2+2M$
$2 = L+L+2M=$
$1 =L+M$ ・・・②
①②の連立方程式を解くと$L=0.8, M=0.2$と求まる。
【令和7年度上期・問3】環状鉄心コイルの自己インダクタンスと巻数
図のように、環状鉄心に二つのコイルが巻かれている。コイル1の巻数は $N$ であり、その自己インダクタンスは $L \text{ [H]}$ である。コイル2の巻数は $n$ であり、その自己インダクタンスは $9L \text{ [H]}$ である。巻数 $n$ の値を表す式として、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
ただし、鉄心は均一で一定断面積をもち、コイル及び鉄心の漏れ磁束はなく、鉄心の磁気飽和もないものとする。
| – | (1) | (2) | (3) | (4) | (5) |
|---|---|---|---|---|---|
| 巻数 $n$ | $\frac{N}{9}$ | $\frac{N}{3}$ | $3N$ | $9N$ | $81N$ |
解説
正解は(3)です。
コイルの自己インダクタンス $L$ は、巻数 $N$ の2乗に比例します。鉄心の磁気抵抗を $R_m$ とすると、次式が成り立ちます。
$$L = \frac{N^2}{R_m}$$
問題より、コイル1とコイル2について以下の関係式が立てられます。
$$L = \frac{N^2}{R_m} \quad \dots \text{①}$$
$$9L = \frac{n^2}{R_m} \quad \dots \text{②}$$
①式を②式に代入すると、
$$9 \frac{N^2}{R_m} = \frac{n^2}{R_m}$$
$$n^2 = 9N^2$$
$$n = 3N$$
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