【電験3種・理論】頻出問題「交流回路のインピーダンス・共振・位相差・実効値の計算」の過去問解説

2026.10.30

電験3種（理論）の頻出問題である「交流回路のインピーダンス・共振・位相差・実効値の計算」について解説します。

対称三相交流回路（Y-Y、Δ-Δ、Y-Δ、Δ-Y）の攻略ポイント

電験3種の理論科目における問$9$は、単相および三相（単相$3$線式を含む）の正弦波交流回路におけるインピーダンス計算、直列・並列共振回路の周波数特性、位相差と力率、およびひずみ波交流の実効値と消費電力に関する計算問題が毎年出題される最重要領域です。
出題形式は、抵抗$R$、インダクタンス$L$、静電容量$C$を組み合わせた回路において、オームの法則やキルヒホッフの法則、複素数ベクトル（フェーザ）計算を用いて電流・電圧・消費電力・回路素子定数を導出する問題が中心です。

特に直列・並列回路の合成インピーダンスと力率角の算定、共振条件$\omega^2 LC = 1$における電圧・電流の位相関係、単相$3$線式・多相交流回路における線電流の複素ベクトル合成、ならびに高調波を含むひずみ波交流の平均電力計算は頻出の論点です。

交流回路の基本公式・インピーダンス・共振条件の整理

正弦波交流回路および共振回路、多相交流回路の計算で必須となる基本公式、位相関係、および試験で問われる引っかけパターンを整理した表です。

回路区分・項目 基本公式・関係式 位相関係・ポイント
RLC直列回路のインピーダンスと力率 ・複素インピーダンス：$\dot{Z} = R + j\left(\omega L - \dfrac{1}{\omega C}\right)\text{ [}\Omega\text{]}$
・大きさ：$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}\text{ [}\Omega\text{]}$
・力率：$\cos\phi = \dfrac{R}{Z}$、$\tan\phi = \dfrac{X_L - X_C}{R}$		 ・$X_L > X_C$のとき誘導性（電流が電圧より遅れる）
・$X_C > X_L$のとき容量性（電流が電圧より進む）
・周波数$f$が変化するとリアクタンス$X_L = 2\pi fL$、$X_C = \dfrac{1}{2\pi fC}$が変化する点に注意
RLC並列回路のアドミタンスと電流 ・複素アドミタンス：$\dot{Y} = \dfrac{1}{R} + j\left(\omega C - \dfrac{1}{\omega L}\right)\text{ [S]}$
・合成電流：$I = \sqrt{I_R^2 + (I_C - I_L)^2}\text{ [A]}$
・力率：$\cos\phi = \dfrac{I_R}{I} = \dfrac{G}{Y}$		 ・コイル電流$\dot{I}_L$は電圧$\dot{V}$より$\dfrac{\pi}{2}\text{ rad}$（$90^\circ$）遅れる
・コンデンサ電流$\dot{I}_C$は電圧$\dot{V}$より$\dfrac{\pi}{2}\text{ rad}$（$90^\circ$）進む
・直列回路の電圧位相と並列回路の電流位相の向きを混同しないこと
直列共振・並列共振の条件と周波数 ・共振条件：$\omega_0 L = \dfrac{1}{\omega_0 C}$（すなわち$\omega_0^2 LC = 1$）
・共振角周波数：$\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}\text{ [rad/s]}$
・共振周波数：$f_0 = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\text{ [Hz]}$		 ・直列共振時はインピーダンスが最小（$Z = R$）となり電流が最大
・並列共振時はインピーダンスが最大（アドミタンス最小）となり電源電流が最小（力率は$1$）
多相・単相$3$線式回路の線電流と有効電力 ・キルヒホッフの第$1$法則：各端子の線電流は分岐電流の複素ベクトル和（例：$\dot{I}_a = \dot{I}_{ab} + \dot{I}_{ac}$）
・対称三相交流：Y結線は$V_l = \sqrt{3}V_p$、$I_l = I_p$、$\Delta$結線は$V_l = V_p$、$I_l = \sqrt{3}I_p$
・消費電力：$P = \sum I_k^2 R_k\text{ [W]}$（抵抗のみで電力を消費）		 ・電流の大きさ（スカラー和）ではなく、必ず実部と虚部に分けた複素数（ベクトル）で加減算を行うこと
・リアクタンス（$L$や$C$）では有効電力を消費しない
正弦波瞬時値とひずみ波交流の電力 ・正弦波瞬時値：$i(t) = \sqrt{2}I\sin(\omega t + \theta)\text{ [A]}$
・ひずみ波の実効値：$I = \sqrt{I_1^2 + I_2^2 + I_3^2 + \cdots}\text{ [A]}$
・抵抗の消費電力：$P = I^2 R = (I_1^2 + I_2^2 + \cdots)R\text{ [W]}$		 ・瞬時値式の振幅（最大値$I_m$）を実効値$I$と取り違えないこと（$I = \dfrac{I_m}{\sqrt{2}}$）
・異なる周波数の電圧と電流の積の平均電力は$0\text{ W}$となる

【令和8年上期・問9】単相3線式交流電源に接続されたRLC複合負荷の線電流の大小関係

図のように抵抗、コイル、コンデンサからなる負荷がある。この負荷に線間電圧$\dot{V}_{ab} = 100\angle 0^\circ\text{ [V]}$、$\dot{V}_{bc} = 100\angle 0^\circ\text{ [V]}$、$\dot{V}_{ac} = 200\angle 0^\circ\text{ [V]}$の単相$3$線式交流電源を接続したところ、端子$\text{a}$、端子$\text{b}$、端子$\text{c}$を流れる線電流はそれぞれ$\dot{I}_a\text{ [A]}$、$\dot{I}_b\text{ [A]}$および$\dot{I}_c\text{ [A]}$であった。$\dot{I}_a\text{ [A]}$、$\dot{I}_b\text{ [A]}$、$\dot{I}_c\text{ [A]}$の大きさをそれぞれ$I_a\text{ [A]}$、$I_b\text{ [A]}$、$I_c\text{ [A]}$としたとき、これらの大小関係を表す式として、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $I_c > I_a > I_b$
(2) $I_b > I_c > I_a$
(3) $I_a = I_c > I_b$
(4) $I_b > I_a > I_c$
(5) $I_a > I_c > I_b$

解説

正解は(5)です。

問題文の回路構成において、キルヒホッフの電流則（第$1$法則）および複素インピーダンスによるオームの法則が根拠となります。

各端子間に接続されている負荷の複素インピーダンス$\dot{Z}_{ab}$、$\dot{Z}_{bc}$、$\dot{Z}_{ac}\text{ [}\Omega\text{]}$を求めます。端子$\text{a}$-$\text{b}$間は抵抗$3\text{ }\Omega$と誘導性リアクタンス$4\text{ }\Omega$の直列回路、端子$\text{b}$-$\text{c}$間は容量性リアクタンス$3\text{ }\Omega$と抵抗$4\text{ }\Omega$の直列回路、端子$\text{a}$-$\text{c}$間は抵抗$8\text{ }\Omega$と誘導性リアクタンス$6\text{ }\Omega$の直列回路です。

$$\dot{Z}_{ab} = 3 + j4\text{ [}\Omega\text{]}$$ $$\dot{Z}_{bc} = 4 - j3\text{ [}\Omega\text{]}$$ $$\dot{Z}_{ac} = 8 + j6\text{ [}\Omega\text{]}$$

各負荷を流れる分岐電流$\dot{I}_{ab}$、$\dot{I}_{bc}$、$\dot{I}_{ac}\text{ [A]}$を、それぞれの線間電圧と複素インピーダンスから算出します。なお、$\dot{V}_{ab} = 100\text{ V}$、$\dot{V}_{bc} = 100\text{ V}$、$\dot{V}_{ac} = 200\text{ V}$はすべて同位相（位相角$0^\circ$）の実数です。

$$\dot{I}_{ab} = \frac{\dot{V}_{ab}}{\dot{Z}_{ab}} = \frac{100}{3 + j4} = \frac{100(3 - j4)}{3^2 + 4^2} = \frac{100(3 - j4)}{25} = 12 - j16\text{ [A]}$$ $$\dot{I}_{bc} = \frac{\dot{V}_{bc}}{\dot{Z}_{bc}} = \frac{100}{4 - j3} = \frac{100(4 + j3)}{4^2 + 3^2} = \frac{100(4 + j3)}{25} = 16 + j12\text{ [A]}$$ $$\dot{I}_{ac} = \frac{\dot{V}_{ac}}{\dot{Z}_{ac}} = \frac{200}{8 + j6} = \frac{200(8 - j6)}{8^2 + 6^2} = \frac{200(8 - j6)}{100} = 16 - j12\text{ [A]}$$

次に、回路図の電流矢印の向きに従い、キルヒホッフの第$1$法則を適用して各線電流$\dot{I}_a$、$\dot{I}_b$、$\dot{I}_c\text{ [A]}$を求めます。

$$\dot{I}_a = \dot{I}_{ab} + \dot{I}_{ac} = (12 - j16) + (16 - j12) = 28 - j28\text{ [A]}$$ $$\dot{I}_b = \dot{I}_{bc} - \dot{I}_{ab} = (16 + j12) - (12 - j16) = 4 + j28\text{ [A]}$$ $$\dot{I}_c = -\dot{I}_{bc} - \dot{I}_{ac} = -(16 + j12) - (16 - j12) = -32\text{ [A]}$$

各線電流の大きさ（実効値）$I_a$、$I_b$、$I_c\text{ [A]}$を計算します。

$$I_a = \sqrt{28^2 + (-28)^2} = 28\sqrt{2} \fallingdotseq 39.6\text{ [A]}$$ $$I_b = \sqrt{4^2 + 28^2} = \sqrt{16 + 784} = \sqrt{800} = 20\sqrt{2} \fallingdotseq 28.3\text{ [A]}$$ $$I_c = |-32| = 32.0\text{ [A]}$$

以上の結果から、$39.6 > 32.0 > 28.3$となるため、大小関係は$I_a > I_c > I_b$となります。

【令和7年下期・問9】RL直列交流回路における抵抗追加前後の電流と未知抵抗値の計算

図$1$のような抵抗$R\text{ [}\Omega\text{]}$と誘導性リアクタンス$X\text{ [}\Omega\text{]}$との直列回路がある。この回路に正弦波交流電圧$E = 100\text{ V}$を加えたとき、回路に流れる電流は$10\text{ A}$であった。この回路に図$2$のように、さらに抵抗$11\text{ }\Omega$を直列接続したところ、回路に流れる電流は$5\text{ A}$になった。抵抗$R\text{ [}\Omega\text{]}$の値として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $16.7$
(2) $5.5$
(3) $11.4$
(4) $8.6$
(5) $8.1$

解説

正解は(5)です。

RL直列交流回路における合成インピーダンスの大きさ$Z = \sqrt{R^2 + X^2}\text{ [}\Omega\text{]}$およびオームの法則$I = \dfrac{E}{Z}$が根拠となります。

まず、図$1$の回路において、電源電圧$E = 100\text{ V}$、回路電流$I_1 = 10\text{ A}$であるため、図$1$の合成インピーダンスの大きさ$Z_1\text{ [}\Omega\text{]}$を求めます。

$$Z_1 = \frac{E}{I_1} = \frac{100}{10} = 10\text{ [}\Omega\text{]}$$

抵抗$R\text{ [}\Omega\text{]}$と誘導性リアクタンス$X\text{ [}\Omega\text{]}$の関係から、両辺を$2$乗して次式を得ます。

$$Z_1^2 = R^2 + X^2 = 10^2 = 100 \quad \cdots \text{①}$$

次に、図$2$の回路では抵抗$11\text{ }\Omega$が直列に追加され、回路全体の抵抗は$(R + 11)\text{ [}\Omega\text{]}$となります。このときの回路電流は$I_2 = 5\text{ A}$であるため、図$2$の合成インピーダンスの大きさ$Z_2\text{ [}\Omega\text{]}$を求めます。

$$Z_2 = \frac{E}{I_2} = \frac{100}{5} = 20\text{ [}\Omega\text{]}$$

同様に両辺を$2$乗すると、次式が成り立ちます。

$$Z_2^2 = (R + 11)^2 + X^2 = 20^2 = 400 \quad \cdots \text{②}$$

②式を展開し、①式の$R^2 + X^2 = 100$を代入して$R\text{ [}\Omega\text{]}$を算出します。

$$(R^2 + 22R + 121) + X^2 = 400$$ $$(R^2 + X^2) + 22R + 121 = 400$$ $$100 + 22R + 121 = 400$$ $$22R = 400 - 221 = 179$$ $$R = \frac{179}{22} \fallingdotseq 8.136\text{ [}\Omega\text{]}$$

したがって、抵抗$R$の値は約$8.1\text{ }\Omega$となります。

各選択肢の正誤判定は以下のとおりです。
(1) $16.7$：計算過程の係数を取り違えた値であり、$R = 16.7\text{ }\Omega$とすると$Z_1 > 10\text{ }\Omega$となるため誤りです。
(2) $5.5$：追加抵抗$11\text{ }\Omega$の半分の値であり、②式を満たさないため誤りです。
(3) $11.4$：$Z_1 = 10\text{ }\Omega$であることから、抵抗$R$は必ず$10\text{ }\Omega$以下となるため誤りです。
(4) $8.6$：$X = \sqrt{100 - R^2}$に対応するリアクタンス等の近似値と混同した値であり誤りです。
(5) $8.1$：連立方程式から導出された$R \fallingdotseq 8.14\text{ }\Omega$に最も近いため正しいです。

【令和6年下期・問9】電源周波数の変化に伴うRC直列回路のリアクタンスと電流の計算

$4\text{ }\Omega$の抵抗と静電容量が$C\text{ [F]}$のコンデンサを直列に接続した$RC$回路がある。この$RC$回路に、周波数$50\text{ Hz}$の交流電圧$100\text{ V}$の電源を接続したところ、$20\text{ A}$の電流が流れた。では、この$RC$回路に、周波数$60\text{ Hz}$の交流電圧$100\text{ V}$の電源を接続したとき、$RC$回路に流れる電流の値$\text{[A]}$として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $16.7$
(2) $18.6$
(3) $21.2$
(4) $24.0$
(5) $25.6$

解説

正解は(3)です。

コンデンサの容量性リアクタンス$X_C = \dfrac{1}{2\pi fC}\text{ [}\Omega\text{]}$が周波数$f\text{ [Hz]}$に反比例する性質、および$RC$直列回路のインピーダンス式$Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}\text{ [}\Omega\text{]}$が根拠となります。

まず、周波数$f_1 = 50\text{ Hz}$のときの回路のインピーダンス$Z_1\text{ [}\Omega\text{]}$を、電圧$V = 100\text{ V}$と電流$I_1 = 20\text{ A}$から求めます。

$$Z_1 = \frac{V}{I_1} = \frac{100}{20} = 5\text{ [}\Omega\text{]}$$

抵抗$R = 4\text{ }\Omega$であるため、周波数$50\text{ Hz}$における容量性リアクタンス$X_{C1}\text{ [}\Omega\text{]}$を算出します。

$$X_{C1} = \sqrt{Z_1^2 - R^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = 3\text{ [}\Omega\text{]}$$

次に、電源周波数を$f_2 = 60\text{ Hz}$に変更したときの容量性リアクタンス$X_{C2}\text{ [}\Omega\text{]}$を求めます。容量性リアクタンスは周波数$f$に反比例するため、次式で計算できます。

$$X_{C2} = X_{C1} \times \frac{f_1}{f_2} = 3 \times \frac{50}{60} = 2.5\text{ [}\Omega\text{]}$$

周波数$60\text{ Hz}$における回路の合成インピーダンス$Z_2\text{ [}\Omega\text{]}$を求めます。

$$Z_2 = \sqrt{R^2 + X_{C2}^2} = \sqrt{4^2 + 2.5^2} = \sqrt{16 + 6.25} = \sqrt{22.25} \fallingdotseq 4.717\text{ [}\Omega\text{]}$$

したがって、周波数$60\text{ Hz}$のときに回路に流れる電流$I_2\text{ [A]}$は次のとおり算出されます。

$$I_2 = \frac{V}{Z_2} = \frac{100}{4.717} \fallingdotseq 21.20\text{ [A]}$$

【令和5年上期・問9】RL直列交流回路における抵抗とリアクタンスの比からの力率計算

図のように、抵抗$R\text{ [}\Omega\text{]}$と誘導性リアクタンス$X_L\text{ [}\Omega\text{]}$が直列に接続された交流回路がある。$\dfrac{R}{X_L} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$の関係があるとき、この回路の力率$\cos\phi$の値として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $0.43$
(2) $0.50$
(3) $0.58$
(4) $0.71$
(5) $0.87$

解説

正解は(3)です。

RL直列交流回路のインピーダンス三角形における力率の定義式$\cos\phi = \dfrac{R}{Z} = \dfrac{R}{\sqrt{R^2 + X_L^2}}$が根拠となります。

問題文で与えられた条件$\dfrac{R}{X_L} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$より、誘導性リアクタンス$X_L$を抵抗$R$で表すと次の関係になります。

$$X_L = \sqrt{2}R$$

この関係を回路の合成インピーダンス$Z\text{ [}\Omega\text{]}$の式に代入します。

$$Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{R^2 + (\sqrt{2}R)^2} = \sqrt{R^2 + 2R^2} = \sqrt{3}R\text{ [}\Omega\text{]}$$

したがって、この回路の力率$\cos\phi$は次式により算出されます。

$$\cos\phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{3}R} = \frac{1}{\sqrt{3}} \fallingdotseq 0.577$$

小数第$3$位を四捨五入すると、力率は$0.58$となります。

【令和4年下期・問9】RC直並列交流回路における電源電圧と消費電力の計算

図のような$RC$交流回路がある。この回路に正弦波交流電圧$E\text{ [V]}$を加えたとき、容量性リアクタンス$6\text{ }\Omega$のコンデンサの端子間電圧の大きさは$12\text{ V}$であった。このとき、$E\text{ [V]}$と図の破線で囲んだ回路で消費される電力$P\text{ [W]}$の値の組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

$E\text{ [V]}$ $P\text{ [W]}$
(1) $20$ $32$
(2) $20$ $96$
(3) $28$ $120$
(4) $28$ $168$
(5) $40$ $309$

解説

正解は(2)です。

並列分岐回路におけるオームの法則、インピーダンスの大きさ、および有効電力が抵抗のみで消費される原則（$P = I^2 R$）が根拠となります。

まず、左側の直列枝（抵抗$R_1 = 8\text{ }\Omega$と容量性リアクタンス$X_{C1} = 6\text{ }\Omega$）に注目します。容量性リアクタンス$6\text{ }\Omega$の端子間電圧が$V_{C1} = 12\text{ V}$であるため、この左側の枝を流れる電流の大きさ$I_1\text{ [A]}$を求めます。

$$I_1 = \frac{V_{C1}}{X_{C1}} = \frac{12}{6} = 2\text{ [A]}$$

左側の直列枝の合成インピーダンスの大きさ$Z_1\text{ [}\Omega\text{]}$を求めます。

$$Z_1 = \sqrt{R_1^2 + X_{C1}^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = 10\text{ [}\Omega\text{]}$$

左側の直列枝の全体に印加されている電圧が電源電圧$E\text{ [V]}$に等しいため、$E$は次のとおり算出されます。

$$E = I_1 Z_1 = 2 \times 10 = 20\text{ [V]}$$

次に、右側の直列枝（抵抗$R_2 = 4\text{ }\Omega$と容量性リアクタンス$X_{C2} = 3\text{ }\Omega$）の合成インピーダンスの大きさ$Z_2\text{ [}\Omega\text{]}$を求めます。

$$Z_2 = \sqrt{R_2^2 + X_{C2}^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = 5\text{ [}\Omega\text{]}$$

右側の直列枝にも同じ電源電圧$E = 20\text{ V}$が印加されているため、右側の枝を流れる電流の大きさ$I_2\text{ [A]}$を求めます。

$$I_2 = \frac{E}{Z_2} = \frac{20}{5} = 4\text{ [A]}$$

破線で囲まれた回路全体で消費される有効電力$P\text{ [W]}$は、$2$つの抵抗$R_1 = 8\text{ }\Omega$および$R_2 = 4\text{ }\Omega$で消費される電力の和となります（コンデンサでの消費電力は$0\text{ W}$です）。

$$P = I_1^2 R_1 + I_2^2 R_2 = 2^2 \times 8 + 4^2 \times 4 = 32 + 64 = 96\text{ [W]}$$

したがって、$E = 20\text{ V}$、$P = 96\text{ W}$となります。

各選択肢の正誤判定は以下のとおりです。
(1) $E = 20\text{ V}$、$P = 32\text{ W}$：左側の抵抗$8\text{ }\Omega$の消費電力（$32\text{ W}$）のみを計算し、右側の抵抗$4\text{ }\Omega$の消費電力（$64\text{ W}$）を加算し忘れた誤りです。
(2) $E = 20\text{ V}$、$P = 96\text{ W}$：電源電圧および両枝の抵抗消費電力の和がともに正しく算出されています。
(3) $E = 28\text{ V}$、$P = 120\text{ W}$：抵抗$8\text{ }\Omega$の電圧降下（$2\text{ A} \times 8\text{ }\Omega = 16\text{ V}$）とコンデンサ電圧$12\text{ V}$を単純にスカラー加算して$E = 16 + 12 = 28\text{ V}$とした誤りです。
(4) $E = 28\text{ V}$、$P = 168\text{ W}$：(3)と同様に電源電圧をスカラー和で$28\text{ V}$と誤認したため不適切です。
(5) $E = 40\text{ V}$、$P = 309\text{ W}$：電圧・電力ともに不適切な数値であり誤りです。

【令和2年・問9】RLC直列共振回路および並列共振回路における電圧・電流の位相関係

図のように、$R\text{ [}\Omega\text{]}$の抵抗、インダクタンス$L\text{ [H]}$のコイル、静電容量$C\text{ [F]}$のコンデンサと電圧$\dot{V}\text{ [V]}$、角周波数$\omega\text{ [rad/s]}$の交流電源からなる二つの回路$\text{A}$と$\text{B}$がある。両回路においてそれぞれ$\omega^2 LC = 1$が成り立つとき、各回路における図中の電圧ベクトルと電流ベクトルの位相の関係として、正しいものの組合せを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。ただし、ベクトル図における進み方向は反時計回りとする。

解説

正解は(2)です。

RLC直列共振回路および並列共振回路（共振条件$\omega^2 LC = 1$、すなわち$\omega L = \dfrac{1}{\omega C}$）における各素子の複素インピーダンスと電圧・電流のフェーザ関係が根拠となります。

まず、回路$\text{A}$（RLC直列回路）について検討します。$\omega^2 LC = 1$が成り立つとき、回路$\text{A}$は直列共振状態にあり、誘導性リアクタンス$\omega L$と容量性リアクタンス$\dfrac{1}{\omega C}$が相殺されます。このため、回路全体のインピーダンスは$\dot{Z} = R\text{ [}\Omega\text{]}$となり、回路を流れる共通電流$\dot{I}$は電源電圧$\dot{V}$と同相（$\dot{I} = \dfrac{\dot{V}}{R}$）になります。
各素子の端子電圧ベクトル$\dot{V}_R$、$\dot{V}_L$、$\dot{V}_C$は次のとおりです。

$$\dot{V}_R = R\dot{I} = \dot{V} \quad \text{（電源電圧}\dot{V}\text{と同相で大きさも等しい）}$$ $$\dot{V}_L = j\omega L\dot{I} \quad \text{（}\dot{I}\text{および}\dot{V}\text{より位相が}90^\circ\text{進み：上向き）}$$ $$\dot{V}_C = -j\frac{1}{\omega C}\dot{I} \quad \text{（}\dot{I}\text{および}\dot{V}\text{より位相が}90^\circ\text{遅れ：下向き）}$$

次に、回路$\text{B}$（RLC並列回路）について検討します。各素子には共通の電源電圧$\dot{V}$が直接印加されています。各素子を流れる電流ベクトル$\dot{I}_R$、$\dot{I}_L$、$\dot{I}_C$は次のとおりです。

$$\dot{I}_R = \frac{\dot{V}}{R} \quad \text{（電源電圧}\dot{V}\text{と同相：右向き）}$$ $$\dot{I}_L = \frac{\dot{V}}{j\omega L} = -j\frac{\dot{V}}{\omega L} \quad \text{（電源電圧}\dot{V}\text{より位相が}90^\circ\text{遅れ：下向き）}$$ $$\dot{I}_C = j\omega C\dot{V} \quad \text{（電源電圧}\dot{V}\text{より位相が}90^\circ\text{進み：上向き）}$$

以上の結果より、回路$\text{A}$では上向き（$90^\circ$進み）が$\dot{V}_L$、下向き（$90^\circ$遅れ）が$\dot{V}_C$となり、回路$\text{B}$では上向き（$90^\circ$進み）が$\dot{I}_C$、下向き（$90^\circ$遅れ）が$\dot{I}_L$となります。

【令和元年・問9】RLC並列回路における角周波数変化と電源電流実効値の大小関係

図は、実効値が$1\text{ V}$で角周波数$\omega\text{ [krad/s]}$が変化する正弦波交流電源を含む回路である。いま、$\omega$の値が$\omega_1 = 5\text{ krad/s}$、$\omega_2 = 10\text{ krad/s}$、$\omega_3 = 30\text{ krad/s}$と$3$通りの場合を考え、$\omega = \omega_k$（$k = 1, 2, 3$）のときの電流$i\text{ [A]}$の実効値を$I_k$と表すとき、$I_1$、$I_2$、$I_3$の大小関係として、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $I_1 < I_2 < I_3$
(2) $I_1 = I_2 < I_3$
(3) $I_2 < I_1 < I_3$
(4) $I_2 < I_1 = I_3$
(5) $I_3 < I_2 < I_1$

解説

正解は(3)です。

RLC並列回路の合成アドミタンス$Y = \sqrt{\left(\dfrac{1}{R}\right)^2 + \left(\omega C - \dfrac{1}{\omega L}\right)^2}\text{ [S]}$および並列共振周波数の特性が根拠となります。

回路定数は、電源電圧の実効値$V = 1\text{ V}$、抵抗$R = 100\text{ k}\Omega = 10^5\text{ }\Omega$、静電容量$C = 10\text{ }\mu\text{F} = 10^{-5}\text{ F}$、インダクタンス$L = 1\text{ mH} = 10^{-3}\text{ H}$です。まず、このRLC並列回路の並列共振角周波数$\omega_0\text{ [rad/s]}$を求めます。

$$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{10^{-3} \times 10^{-5}}} = \frac{1}{\sqrt{10^{-8}}} = 10^4\text{ [rad/s]} = 10\text{ [krad/s]}$$

したがって、$\omega_2 = 10\text{ krad/s}$のときに回路は並列共振状態となり、サセプタンス成分$B = \left|\omega C - \dfrac{1}{\omega L}\right|$が$0\text{ S}$となって電流$I_2$が最小値をとります。
各角周波数$\omega_1$、$\omega_2$、$\omega_3$におけるサセプタンスの大きさ$B_k = \left|\omega_k C - \dfrac{1}{\omega_k L}\right|\text{ [S]}$をそれぞれ計算します。

$k = 1$（$\omega_1 = 5\text{ krad/s} = 5 \times 10^3\text{ rad/s}$）のとき：

$$B_1 = \left|5 \times 10^3 \times 10^{-5} - \frac{1}{5 \times 10^3 \times 10^{-3}}\right| = |0.05 - 0.20| = 0.15\text{ [S]}$$

$k = 2$（$\omega_2 = 10\text{ krad/s} = 10 \times 10^3\text{ rad/s}$）のとき：

$$B_2 = \left|10 \times 10^3 \times 10^{-5} - \frac{1}{10 \times 10^3 \times 10^{-3}}\right| = |0.10 - 0.10| = 0\text{ [S]}$$

$k = 3$（$\omega_3 = 30\text{ krad/s} = 30 \times 10^3\text{ rad/s}$）のとき：

$$B_3 = \left|30 \times 10^3 \times 10^{-5} - \frac{1}{30 \times 10^3 \times 10^{-3}}\right| = \left|0.30 - \frac{1}{30}\right| \fallingdotseq 0.267\text{ [S]}$$

電源電圧$V = 1\text{ V}$およびコンダクタンス$G = \dfrac{1}{R} = 10^{-5}\text{ S}$は一定であるため、サセプタンス$B_k$が大きいほど合成アドミタンス$Y_k = \sqrt{G^2 + B_k^2}$が大きくなり、電流実効値$I_k = VY_k$も大きくなります。
$B_2 < B_1 < B_3$（$0 < 0.15 < 0.267$）より、電流実効値の大小関係は$I_2 < I_1 < I_3$となります。

【平成29年・問9】ひずみ波交流電流が流れる抵抗で消費される平均電力の計算

$R = 5\text{ }\Omega$の抵抗に、ひずみ波交流電流

$$i = 6\sin\omega t + 2\sin 3\omega t\text{ [A]}$$

が流れた。このとき、抵抗$R = 5\text{ }\Omega$で消費される平均電力$P$の値$\text{[W]}$として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。ただし、$\omega$は角周波数$\text{[rad/s]}$、$t$は時刻$\text{[s]}$とする。

(1) $40$
(2) $90$
(3) $100$
(4) $180$
(5) $200$

解説

正解は(3)です。

ひずみ波交流の実効値の定義式$I = \sqrt{I_1^2 + I_3^2}\text{ [A]}$および抵抗における平均消費電力の式$P = I^2 R\text{ [W]}$が根拠となります。

与えられたひずみ波交流電流の瞬時値式$i = 6\sin\omega t + 2\sin 3\omega t\text{ [A]}$より、基本波電流の最大値（振幅）は$I_{m1} = 6\text{ A}$、第$3$高調波電流の最大値（振幅）は$I_{m3} = 2\text{ A}$です。
それぞれの成分の実効値$I_1$、$I_3\text{ [A]}$は、最大値を$\sqrt{2}$で割ることで求められます。

$$I_1 = \frac{I_{m1}}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}}\text{ [A]}$$ $$I_3 = \frac{I_{m3}}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}}\text{ [A]}$$

ひずみ波交流電流全体の実効値$I\text{ [A]}$は、各周波数成分の実効値の$2$乗和の平方根で表されます。

$$I = \sqrt{I_1^2 + I_3^2} = \sqrt{\left(\frac{6}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{2}{\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{\frac{36}{2} + \frac{4}{2}} = \sqrt{18 + 2} = \sqrt{20}\text{ [A]}$$

したがって、抵抗$R = 5\text{ }\Omega$で消費される平均電力$P\text{ [W]}$は次式により算出されます。

$$P = I^2 R = (\sqrt{20})^2 \times 5 = 20 \times 5 = 100\text{ [W]}$$

【平成26年・問9】2つのLC直列共振回路を直列接続した際の共振周波数の大小関係

図のように、二つの$LC$直列共振回路$\text{A}$、$\text{B}$があり、それぞれの共振周波数が$f_A\text{ [Hz]}$、$f_B\text{ [Hz]}$である。これら$\text{A}$、$\text{B}$をさらに直列に接続した場合、全体としての共振周波数が$f_{AB}\text{ [Hz]}$になった。$f_A$、$f_B$、$f_{AB}$の大小関係として、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $f_A < f_B < f_{AB}$
(2) $f_A < f_{AB} < f_B$
(3) $f_{AB} < f_A < f_B$
(4) $f_{AB} < f_B < f_A$
(5) $f_B < f_{AB} < f_A$

解説

正解は(5)です。

LC直列回路の共振周波数公式$f = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\text{ [Hz]}$、およびインダクタとコンデンサの直列合成定数の計算式が根拠となります。

まず、回路$\text{A}$（インダクタンス$L\text{ [H]}$、静電容量$C\text{ [F]}$）の共振周波数$f_A\text{ [Hz]}$は次式で表されます。

$$f_A = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\text{ [Hz]}$$

次に、回路$\text{B}$（インダクタンス$2L\text{ [H]}$、静電容量$C\text{ [F]}$）の共振周波数$f_B\text{ [Hz]}$は次式で表されます。

$$f_B = \frac{1}{2\pi\sqrt{2LC}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \fallingdotseq 0.707 f_A\text{ [Hz]}$$

さらに、回路$\text{A}$と回路$\text{B}$を直列に接続した全体の回路について、合成インダクタンス$L_{AB}\text{ [H]}$と合成静電容量$C_{AB}\text{ [F]}$を求めます。コイルの直列接続は和、コンデンサの直列接続は逆数の和（和分の積）となります。

$$L_{AB} = L + 2L = 3L\text{ [H]}$$ $$C_{AB} = \frac{C \cdot C}{C + C} = \frac{1}{2}C\text{ [F]}$$

これらを共振周波数の公式に代入して、直列接続後の共振周波数$f_{AB}\text{ [Hz]}$を求めます。

$$f_{AB} = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_{AB} C_{AB}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{3L \cdot \frac{1}{2}C}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{\frac{3}{2}LC}} = \sqrt{\frac{2}{3}} f_A \fallingdotseq 0.816 f_A\text{ [Hz]}$$

根号内の係数を比較すると、$1 < \dfrac{3}{2} < 2$であるため、その逆数の平方根は$\dfrac{1}{\sqrt{2}} < \sqrt{\dfrac{2}{3}} < 1$（$0.707 < 0.816 < 1$）となります。したがって、共振周波数の大小関係は$f_B < f_{AB} < f_A$となります。

【平成23年・問9】RC直列交流回路における電圧と電流の位相差からの静電容量の計算

図のように、$1\,000\text{ [}\Omega\text{]}$の抵抗と静電容量$C\text{ [}\mu\text{F]}$のコンデンサを直列に接続した交流回路がある。いま、電源の周波数が$1\,000\text{ [Hz]}$のとき、電源電圧$\dot{E}\text{ [V]}$と電流$\dot{I}\text{ [A]}$の位相差は$\dfrac{\pi}{3}\text{ [rad]}$であった。このとき、コンデンサの静電容量$C\text{ [}\mu\text{F]}$の値として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) $0.053$
(2) $0.092$
(3) $0.107$
(4) $0.159$
(5) $0.258$

解説

正解は(2)です。

RC直列交流回路におけるインピーダンスの位相角の式$\tan\phi = \dfrac{X_C}{R} = \dfrac{1}{2\pi fCR}$が根拠となります。

回路の抵抗は$R = 1\,000\text{ }\Omega$、電源周波数は$f = 1\,000\text{ Hz}$、電圧と電流の位相差の大きさは$\phi = \dfrac{\pi}{3}\text{ rad}$（$60^\circ$）です。
インピーダンスの直角三角形より、抵抗$R$と容量性リアクタンス$X_C\text{ [}\Omega\text{]}$の間には次の関係が成り立ちます。

$$\tan\phi = \frac{X_C}{R}$$

ここに$\phi = \dfrac{\pi}{3}\text{ rad}$（$\tan\dfrac{\pi}{3} = \sqrt{3}$）および$R = 1\,000\text{ }\Omega$を代入して、容量性リアクタンス$X_C$を求めます。

$$X_C = R\tan\frac{\pi}{3} = 1\,000\sqrt{3}\text{ [}\Omega\text{]}$$

一方で、容量性リアクタンスは$X_C = \dfrac{1}{2\pi fC}\text{ [}\Omega\text{]}$と表されるため、これより静電容量$C\text{ [F]}$を算出します。

$$C = \frac{1}{2\pi f X_C} = \frac{1}{2\pi \times 1\,000 \times 1\,000\sqrt{3}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{3} \times 10^6}\text{ [F]}$$

単位を$\mu\text{F}$（$10^{-6}\text{ F}$）に換算して数値を計算します。

$$C = \frac{1}{2 \times 3.1416 \times 1.732} \fallingdotseq \frac{1}{10.883} \fallingdotseq 0.0919\text{ [}\mu\text{F]}$$

したがって、静電容量$C$の値は約$0.092\text{ }\mu\text{F}$となります。

【平成21年・問9】正弦波交流電流の瞬時値式から特定電流値に達する時刻の計算

ある回路に、$i = 4\sqrt{2}\sin 120\pi t\text{ [A]}$の電流が流れている。この電流の瞬時値が、時刻$t = 0\text{ [s]}$以降に初めて$4\text{ [A]}$となるのは、時刻$t = t_1\text{ [s]}$である。$t_1\text{ [s]}$の値として、正しいのは次のうちどれか。

(1) $\dfrac{1}{480}$
(2) $\dfrac{1}{360}$
(3) $\dfrac{1}{240}$
(4) $\dfrac{1}{160}$
(5) $\dfrac{1}{120}$

解説

正解は(1)です。

正弦波交流電流の瞬時値方程式$i(t) = I_m \sin(\omega t)$および三角関数（逆正弦関数）の基本角が根拠となります。

問題文で与えられた電流の瞬時値式に、時刻$t = t_1\text{ [s]}$における電流値$i = 4\text{ A}$を代入します。

$$4 = 4\sqrt{2}\sin(120\pi t_1)$$

両辺を$4\sqrt{2}$で割り、$\sin(120\pi t_1)$について整理します。

$$\sin(120\pi t_1) = \frac{4}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

時刻$t = 0\text{ s}$以降で初めて$\sin\theta = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$を満たす最小の正の位相角$\theta\text{ [rad]}$は、$\theta = \dfrac{\pi}{4}\text{ rad}$（$45^\circ$）です。したがって、次式が成り立ちます。

$$120\pi t_1 = \frac{\pi}{4}$$

両辺を$120\pi$で割って、時刻$t_1\text{ [s]}$を算出します。

$$t_1 = \frac{\pi}{4 \times 120\pi} = \frac{1}{480}\text{ [s]}$$

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