【ラプラス変換】RC直列回路の過渡応答

理論（電験）

2017.05.142024.06.15

この記事では、ラプラス変換でRC直列回路の過渡応答の式を求める方法についてまとめました。

RC回路(ラプラス変換)

（ $V_i$ ：入力電圧、 $R$ ：抵抗値、 $C$ ：コンデンサの容量値、 $V_R$ ：抵抗にかかる電圧、 $V_C$ ：コンデンサにかかる電圧、 $i$ ：回路全体に流れる電流値）

RC直列回路の過渡応答の式をラプラス変換を用いて導出します。

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キルヒホッフの定理より次式が成立します。

(1) $\begin{eqnarray*} V_i = Ri(t) + \frac{\int i(t)dt}{C} \end{eqnarray*}$

ここで $i(t)=\frac{dq(t)}{dt}, q=\int i(t) dt$ より上式は以下のように変形できます。

(2) $\begin{eqnarray*} V_i = R \frac{dq(t)}{dt} + \frac{q(t)}{C} \end{eqnarray*}$

上式をラプラス変換すると

(3) $\begin{eqnarray*} \frac{V_i}{s} = RsQ(s)+\frac{Q(s)}{C} \end{eqnarray*}$

となります。( $V_i$ はステップ応答）

この式を電荷 $Q(S)$ について変形すると

(4) $\begin{eqnarray*} Q(s)&=&\frac{\frac{V_i}{s}}{Rs+\frac{1}{C}}=\frac{V_i}{s(Rs+\frac{1}{C})}=\frac{\frac{V_i}{R}}{s(s+\frac{1}{RC})}=\frac{\frac{V_i}{RC}}{\frac{1}{c}s(s+\frac{1}{RC})}=\frac{\frac{CV_i}{RC}}{s(s+\frac{1}{RC})}\\ &=&CV_i \left[ \frac{\frac{1}{RC}}{s(s+\frac{1}{RC})} \right]=CV_i ( \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{RC}}) \end{eqnarray*}$

となります。ここで、上式を逆ラプラス変換すると

(5) $\begin{eqnarray*} Q(t) = CV_i ( 1 - e^{-\frac{1}{RC}t} ) \end{eqnarray*}$

となります。（時間が経つと電荷は $CV_i$ に収束）

コンデンサ $C$ にかかる電圧 $V_C(t)$ は

(6) $\begin{eqnarray*} V_C(t)&=& \frac{Q(t)}{C}=V_i ( 1 - e^{-\frac{1}{RC}t} ) \end{eqnarray*}$

となります。（時間が経つと入力電圧 $V_i$ に収束）

回路に流れる電流 $i(t)$ は

(7) $\begin{eqnarray*} i(t)&=&\frac{d}{dt}Q(t)=\frac{CV_i}{RC}e^{-\frac{1}{RC}t}=\frac{V_i}{R} e^{-\frac{t}{RC}} \end{eqnarray*}$

となります。(時間が経つと0に収束)

抵抗 $R$ にかかる電圧 $V_R(t)$ は

(8) $\begin{eqnarray*} V_R(t)&=& Ri(t)=V_ie^{-\frac{t}{RC}} \end{eqnarray*}$

となります。(証明終わり)

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