【電験3種・理論】令和4年度下期の過去問題と解説集

令和4年度下期に電験3種（理論分野）で出題された過去問題について解説します。

【令和4年度下期・問1】真空中の二つの導体球の電気量

図に示すように、誘電率80 [F/m] の真空中に置かれた二つの静止導体球A及びBがある。電気量はそれぞれ \(Q_{A}\) [C] 及び \(Q_{B}\) [C] とし、図中にその周囲の電気力線が描かれている。
電気量 \(Q_{A}=16~\epsilon_{0}\) [C] であるとき、電気量 \(Q_{B}\) [C]の値として、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

解説

正解は(4)です。

ガウスの定理により、電荷から出入りする電気力線の本数は、その電荷の電気量に比例します。
図の電気力線の様子から、導体球Aからは16本の電気力線が出ており、導体球Bには8本の電気力線が入り込んでいます。
導体球Aの電気量が \(Q_{A} = 16\epsilon_{0}\) [C] であることから、電気力線1本あたり \(\epsilon_{0}\) [C] の電気量に対応していることが分かります。
導体球Bには電気力線が「入り込んでいる」ため負の電荷を帯びており、その本数が8本であることから、
\[Q_{B} = -8 \times \epsilon_{0} = -8\epsilon_{0} \text{ [C]}\]
となります。

【令和4年度下期・問2】平行板コンデンサ内の導体球

図のように、平行板コンデンサの上下極板に挟まれた空間の中心に、電荷Q[C]を帯びた導体球を保持し、上側極板の電位がE [V], 下側極板の電位が-E [V]となるように電圧源をつないだ。ただし、E>0とする。同図に、二つの極板と導体球の間の電気力線の様子を示している。
このとき、電荷Q [C] の符号と導体球の電位 U [V] について、正しい記述のものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

解説

正解は(1)です。

図の電気力線の様子を見ると、導体球から出ている電気力線の本数が、導体球に入り込んでいる電気力線の本数よりも多くなっています。電気力線は正の電荷から出て負の電荷に入るため、導体球全体としては正の電荷を帯びていることが分かります。したがって、\(Q > 0\) です。
次に導体球の電位 \(U\) について考えます。上下の極板の電位がそれぞれ \(E\) [V] と \(-E\) [V] であり、導体球が極板間の中心に位置しているため、もし導体球が帯電していなければ（\(Q = 0\)）、その電位は対称性によりちょうど \(0\) [V] となります。
しかし、導体球自身が正の電荷を持っているため、その周囲の電位を押し上げる効果が働き、電位 \(U\) は \(0\) [V] よりも高くなります。一方で、上側極板の電位 \(E\) [V] を超えることはないため、\(0 < U < E\) となります。

【令和4年度下期・問3】電流が作る磁界

無限に長い直線状導体に直流電流を流すと、導体の周りに磁界が生じる。この磁界中に小磁針を置くと、小磁針の (ア) は磁界の向きを指して静止する。そこで、小磁針を磁界の向きに沿って少しずつ動かしていくと、導体を中心とした(イ) の線が得られる。この線に沿って磁界の向きに矢印をつけたものを(ウ)という。
また、磁界の強さを調べてみると、電流の大きさに比例し、導体からの(エ)に反比例している。
上記の記述中の空白箇所(ア)~(エ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

解説

正解は(4)です。

無限長直線導体に電流を流すと、アンペアの右ねじの法則により、導体を中心とした同心円状の磁界が生じます。
磁界中に置かれた小磁針は、磁力線の向きに (ア) N極 が引かれて静止します。このN極が指す向きに沿って線を引いていくと、導体を中心とした (イ) 磁力線 (または同心円状の線) が得られます。問題の文脈では、得られる「線」の形状として「同心円状」、その線を「磁力線」と呼ぶのが適切です。
また、ビオ・サバールの法則（またはアンペアの周回積分の法則）により、無限長直線導体から距離 \(r\) の点の磁界の強さ \(H\) は、
\[H = \frac{I}{2\pi r}\]
で表されます。つまり、磁界の強さは電流の大きさに比例し、導体からの (エ) 距離 に反比例します。

【令和4年度下期・問4】平行導体間に働く力

図のように、無限に長い3本の直線状導体が真空中に10cmの間隔で正三角形の頂点の位置に置かれている。3本の導体にそれぞれ7Aの直流電流を同一方向に流したとき、各導体1m当たりに働く力の大きさ \(F_{0}\) の値 [N/m]として、最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。
ただし、無限に長い2本の直線状導体をr [m] 離して平行に置き、2本の導体にそれぞれI [A]の直流電流を同一方向に流した場合,各導体1m当たりに働く力の大きさFの値 [N/m]は、次式で与えられるものとする。
\[F=\frac{2I^{2}}{r}\times10^{-7}\]

解説

正解は(3)です。

まず、2本の導体間に働く1m当たりの力 \(F\) を求めます。与えられた式に \(I = 7\) [A]、\(r = 10 \text{ [cm]} = 0.1\) [m] を代入します。
\[F = \frac{2 \times 7^2}{0.1} \times 10^{-7} = \frac{98}{0.1} \times 10^{-7} = 980 \times 10^{-7} = 9.8 \times 10^{-5} \text{ [N/m]}\]
電流の方向がすべて同じであるため、導体間に働く力は互いに引き合う引力となります。
各導体は、正三角形の他の2つの頂点にある導体から、それぞれ \(9.8 \times 10^{-5}\) [N/m] の引力を受けます。これら2つの力のなす角は、正三角形の内角である \(60^{\circ}\) です。
したがって、それらの合力 \(F_0\) はベクトルの合成により次のように求められます。
\[F_0 = 2 \times F \times \cos 30^{\circ} = 2 \times F \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} F\]
数値を代入すると、
\[F_0 = \sqrt{3} \times 9.8 \times 10^{-5} \approx 1.732 \times 9.8 \times 10^{-5} \approx 16.97 \times 10^{-5} \approx 1.70 \times 10^{-4} \text{ [N/m]}\]

【令和4年度下期・問5】ブリッジ回路を含む直流回路

図のような直流回路において、抵抗3Ωの端子間の電圧が1.8Vであった。このとき 電源電圧 E [V]の値として、最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

解説

正解は(3)です。

問題の回路を整理すると、4Ω、5Ω、8Ω、10Ω の4つの抵抗がホイートストンブリッジを構成し、その中間に12Ωの抵抗が接続されています。
向かい合う抵抗の積を確認すると、
\[4 \times 10 = 40\]
\[5 \times 8 = 40\]
となり、積が等しいためこのブリッジは平衡状態にあります。したがって、中央の12Ωの抵抗には電流が流れません。
このため、12Ωの抵抗を取り除いて考えることができます。
すると、回路は「4Ωと5Ωの直列回路（合成抵抗9Ω）」と「8Ωと10Ωの直列回路（合成抵抗18Ω）」が並列に接続された構成になります。この並列部分の合成抵抗 \(R_p\) は、
\[R_p = \frac{9 \times 18}{9 + 18} = \frac{162}{27} = 6 \text{ [\Omega]}\]
回路全体は、この合成抵抗 6Ω と、直列に接続された 3Ω の抵抗の回路とみなせます。
3Ω の抵抗の端子間電圧が 1.8V であるため、回路全体を流れる電流 \(I\) はオームの法則より、
\[I = \frac{1.8}{3} = 0.6 \text{ [A]}\]
電源電圧 \(E\) は、回路全体の合成抵抗 \((6 + 3 = 9 \, \Omega)\) による電圧降下に等しいので、
\[E = 9 \times 0.6 = 5.4 \text{ [V]}\]

【令和4年度下期・問6】コンデンサの接続とエネルギー

電圧E [V]の直流電源と静電容量C [F] の二つのコンデンサを接続した図1,図2のような二つの回路に関して、誤っているものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

解説

正解は(3)です。

図1はコンデンサが並列接続された回路、図2は直列接続された回路です。
図1の合成静電容量 \(C_1\) は \(C_1 = C + C = 2C\) です。
図2の合成静電容量 \(C_2\) は \(C_2 = \frac{C \cdot C}{C + C} = \frac{C}{2}\) です。

(1) \(C_1 = 2C\)、\(C_2 = C/2\) より、\(C_1\) は \(C_2\) の4倍であるため、正しい記述です。
(2) コンデンサ全体に蓄えられるエネルギーは \(W = \frac{1}{2} C_{\text{total}} E^2\) です。図1のエネルギーは \(\frac{1}{2} (2C) E^2 = CE^2\)、図2のエネルギーは \(\frac{1}{2} \left(\frac{C}{2}\right) E^2 = \frac{CE^2}{4}\) となり、図1の方が大きいため、正しい記述です。
(3) 図2の回路にさらにコンデンサを直列に追加し、4直列にした場合、合成静電容量は \(\frac{C}{4}\) となります。このときのエネルギーは \(\frac{1}{2} \left(\frac{C}{4}\right) E^2 = \frac{CE^2}{8}\) となり、図1のエネルギー (\(CE^2\)) とは等しくなりません。したがって、これが誤った記述です。
(4) 図2の電源電圧を2倍 (\(2E\)) にすると、エネルギーは \(\frac{1}{2} \left(\frac{C}{2}\right) (2E)^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{C}{2} \cdot 4E^2 = CE^2\) となり、図1のエネルギーと等しくなります。正しい記述です。
(5) 図1の各コンデンサに加わる電圧は \(E\) なので、1つ当たりの電荷は \(Q_1 = CE\) です。図2では電圧が \(E/2\) ずつ分圧されるため、1つ当たりの電荷は \(Q_2 = C \frac{E}{2} = \frac{CE}{2}\) です。よって \(Q_1\) は \(Q_2\) の2倍であり、正しい記述です。

【令和4年度下期・問7】並列抵抗の温度変化率

20℃における抵抗値が \(R_{1}\) [Ω],抵抗温度係数が \(\alpha_{1}[^{\circ}\text{C}^{-1}]\) の抵抗器Aと20℃における抵抗値が \(R_{2}\) [Ω],抵抗温度係数が \(\alpha_{2}=0 [^{\circ}\text{C}^{-1}]\) の抵抗器Bが並列に接続されている。その20℃と21℃における並列抵抗値をそれぞれ \(r_{20}\) [Ω], \(r_{21}\) [Ω]とし、 \(\frac{r_{21}-r_{20}}{r_{20}}\) を変化率とする。この変化率として 正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

解説

正解は(2)です。

20℃における並列抵抗値 \(r_{20}\) は次のようになります。
\[r_{20} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}\]
温度が 20℃ から 21℃ に 1℃ 上昇したときの各抵抗器の抵抗値を考えます。
抵抗器Aの抵抗値 \(R_{1}’\) は、
\[R_{1}’ = R_1 (1 + \alpha_1 \cdot 1) = R_1 (1 + \alpha_1)\]
抵抗器Bの抵抗温度係数は0なので、抵抗値 \(R_{2}’\) は変化せず \(R_2\) のままです。
したがって、21℃における並列抵抗値 \(r_{21}\) は次のようになります。
\[r_{21} = \frac{R_1(1+\alpha_1) R_2}{R_1(1+\alpha_1) + R_2}\]
求める変化率 \(\frac{r_{21}-r_{20}}{r_{20}}\) は、\(\frac{r_{21}}{r_{20}} – 1\) と変形して計算します。
\[\frac{r_{21}}{r_{20}} = \frac{\frac{R_1(1+\alpha_1) R_2}{R_1(1+\alpha_1) + R_2}}{\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}} = \frac{(1+\alpha_1)(R_1 + R_2)}{R_1(1+\alpha_1) + R_2}\]
分子を展開して整理すると、
\[\frac{r_{21}}{r_{20}} – 1 = \frac{R_1 + R_2 + \alpha_1 R_1 + \alpha_1 R_2 – (R_1 + \alpha_1 R_1 + R_2)}{R_1 + R_2 + \alpha_1 R_1} = \frac{\alpha_1 R_2}{R_1 + R_2 + \alpha_1 R_1}\]

【令和4年度下期・問8】波形率と波高率

次の文章は、交流における波形率,波高率に関する記述である。
波形率とは、実効値の (ア) に対する比(波形率 = 実効値 / (ア) )をいう。波形率の値は波形によって異なり、正弦波と比較して、三角波のようにとがっていれば、波形率の値は (イ) なり、方形波のように平らであれば、波形率の値は (ウ) なる。
波高率とは、 (エ) の実効値に対する比(波高率 = (エ) / 実効値 )をいう。波高率の値は波形によって異なり、正弦波と比較して、三角波のようにとがっていれば、波高率の値は(オ) なり、方形波のように平らであれば、波高率の値は (カ) なる。
上記の記述中の空白箇所(ア)~(カ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

解説

正解は(1)です。

交流波形の特性を表す指標として、波形率と波高率があります。定義は以下の通りです。
・波形率 ＝ 実効値 ／ 平均値
・波高率 ＝ 最大値 ／ 実効値
正弦波の場合、波形率は \(\frac{1/\sqrt{2}}{2/\pi} \approx 1.11\)、波高率は \(\sqrt{2} \approx 1.41\) です。
三角波の場合、波形率は \(\frac{1/\sqrt{3}}{1/2} \approx 1.15\)、波高率は \(\sqrt{3} \approx 1.73\) となり、正弦波より大きく（とがった波形）なります。
方形波の場合、実効値、平均値、最大値がすべて等しいため、波形率は \(1\)、波高率も \(1\) となり、正弦波より小さく（平らな波形）なります。
したがって、(ア)平均値、(イ)大きく、(ウ)小さく、(エ)最大値、(オ)大きく、(カ)小さく が当てはまります。

【令和4年度下期・問9】RC交流回路の消費電力

図のようなRC交流回路がある。この回路に正弦波交流電圧E [V]を加えたとき、容量性リアクタンス6Ωのコンデンサの端子間電圧の大きさは12Vであった。このとき, E [V] と図の破線で囲んだ回路で消費される電力P [W]の値の組合せとして、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

解説

正解は(2)です。

この回路は、電源 \(E\) に「抵抗8Ωと容量性リアクタンス6Ωの直列回路」と「抵抗4Ωと容量性リアクタンス3Ωの直列回路」が並列に接続された構成となっています。
まず、容量性リアクタンス6Ωのコンデンサの端子電圧が12Vであることから、この直列枝に流れる電流 \(I_1\) を求めます。
\[I_1 = \frac{12}{6} = 2 \text{ [A]}\]
この枝のインピーダンス \(Z_1\) は、
\[Z_1 = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = 10 \text{ [\Omega]}\]
したがって、この枝にかかる電圧、すなわち電源電圧 \(E\) は、
\[E = Z_1 \times I_1 = 10 \times 2 = 20 \text{ [V]}\]
次に、もう一方の直列枝（抵抗4Ωと容量性リアクタンス3Ω）について考えます。
こちらのインピーダンス \(Z_2\) は、
\[Z_2 = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5 \text{ [\Omega]}\]
この枝にかかる電圧も20Vであるため、流れる電流 \(I_2\) は、
\[I_2 = \frac{20}{5} = 4 \text{ [A]}\]
回路全体で消費される電力 \(P\) は、各抵抗で消費される電力の和です。（コンデンサでは電力は消費されません）
\[P = I_1^2 \times 8 + I_2^2 \times 4 = 2^2 \times 8 + 4^2 \times 4 = 32 + 64 = 96 \text{ [W]}\]

【令和4年度下期・問10】過渡現象における電流波形

図の回路のスイッチS を \(t=0\) s で閉じる。電流 \(i_{S}\) [A]の波形として最も適切に表すものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。
ただし、スイッチSを閉じる直前に、回路は定常状態にあったとする。

解説

正解は(5)です。

スイッチSを閉じる直前（定常状態）では、直流電源に対してコンデンサは充電が完了して電流を流さず（開放状態）、コイルは短絡状態とみなせます。
この回路における初期状態の各素子のエネルギー蓄積状態を考慮し、スイッチSを閉じた瞬間の過渡現象を解析します。
スイッチSを閉じた直後、コンデンサの電圧とコイルの電流は急には変化せず連続性を保ちます。その後、回路の時定数に従って新しい定常状態へと移行していきます。
新しい定常状態では、直流に対するインピーダンスの条件から、スイッチSを流れる電流 \(i_S\) の最終値は \(0\) [A] となります。
初期値の条件と最終値の条件から、電流 \(i_S\) はスイッチを閉じた瞬間の \(1\) [A] から始まり、時間とともに緩やかに \(0\) [A] へ向かって減衰していく波形になることが分かります。
これを適切に表している波形は(5)となります。

【令和4年度下期・問11】各種ダイオードの特性

次の文章は、それぞれのダイオードについて述べたものである。
a. 可変容量ダイオードは、通信機器の同調回路などに用いられる。このダイオードは、pn接合に (ア) 電圧を加えて使用するものである。
b. pn接合に (イ) 電圧を加え,その値を大きくしていくと、降伏現象が起きる。この降伏電圧付近では、流れる電流が変化しても接合両端の電圧はほぼ一定に保たれる。定電圧ダイオードは、この性質を利用して所定の定電圧を得るようにつくられたダイオードである。
c. レーザダイオードは光通信や光情報機器の光源として利用され,pn接合に (ウ) 電圧を加えて使用するものである。
上記の記述中の空白箇所(ア) ~ (ウ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

解説

正解は(5)です。

各ダイオードの動作原理に関する問題です。
a. 可変容量ダイオード（バラクタダイオード）は、pn接合に加える (ア) 逆方向 電圧の大きさを変えることで、空乏層の幅が変化し静電容量が変わる性質を利用します。
b. 定電圧ダイオード（ツェナーダイオード）は、pn接合に (イ) 逆方向 電圧を加え、ツェナー降伏やアバランシェ降伏による一定の降伏電圧を利用して電圧を安定化させます。
c. レーザダイオード（半導体レーザ）や発光ダイオード（LED）は、pn接合に (ウ) 順方向 電圧を加え、キャリアが再結合する際にエネルギーを光として放出する性質を利用します。

【令和4年度下期・問12】磁界中の荷電粒子の運動

図のように、z軸の正の向きに磁束密度 $B=1.0\times10^{-3}$ Tの平等磁界が存在する真空の空間において、電気量 $e=-4.0\times10^{-6}$ Cの荷電粒子がyz 平面上をy軸から60°の角度で①又は②の向きに速さ $v[m/s]$ で発射された。この瞬間、荷電粒子に働くローレンツカFの大きさは $1.0\times10^{-8}$ N、その向きはx軸の正の向きであった。荷電粒子の速さに最も近い値 [m/s] とその向きの組合せとして、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。
ただし、重力の影響は無視できるものとする。図中の は、紙面に対して垂直かつ手前の向きを表す。

解説

正解は(5)です。

磁界中の荷電粒子が受けるローレンツ力 $\vec{F}$ は、$\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ で表されます。
粒子の電荷は $q = -4.0 \times 10^{-6}$ C（負電荷）、磁界 $\vec{B}$ は $+z$ 方向です。
力が $+x$ 方向に働いたということは、フレミングの左手の法則（またはベクトルの外積の性質）と、電荷が負であることを考慮すると、速度 $\vec{v}$ の $y$ 軸に垂直な成分は負の方向を向いている必要があります。したがって、向きは②となります。
速度の大きさ $v$ について、ローレンツ力に関与するのは磁界 $\vec{B}$（$z$ 軸方向）と直交する速度成分です。粒子は $yz$ 平面内を $y$ 軸から $60^\circ$ の角度で進行しているため、磁界と直交する成分は $v \cos 60^\circ$（または $z$ 軸となす角が $30^\circ$ として $v \sin 30^\circ$）となります。
力の大きさは $F = |q| v B \sin 30^\circ$ と表せるため、
$$1.0 \times 10^{-8} = (4.0 \times 10^{-6}) \times v \times (1.0 \times 10^{-3}) \times 0.5$$
$$1.0 \times 10^{-8} = 2.0 \times 10^{-9} \times v$$
$$v = \frac{1.0 \times 10^{-8}}{2.0 \times 10^{-9}} = 5.0 \text{ [m/s]}$$

【令和4年度下期・問13】発振回路の条件

図1は、正弦波を出力しているある発振回路の構造を示している。この発振回路の帰還回路の出力端子と増幅回路の入力端子との接続を切り離し、図2のように適当な周波数の正弦波 $V_{i}$ を増幅回路に入力すると、次の二つの条件が同時に満たされている。
1. 増幅回路の入力電圧 $V_{i}$ と帰還回路の出力電圧 $V_{f}$ が (ア) である。
2. 増幅回路の増幅度 $|\frac{V_{o}}{V_{i}}|$ をA, 帰還回路の帰還率 $|\frac{V_{f}}{V_{0}}|$ を $\beta$ と表すとき, (イ) である。
図1で示される発振回路は、条件1より (ウ) 回路である。
上記の記述中の空白箇所(ア) ~ (ウ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

解説

正解は(1)です。

発振回路が持続的な正弦波を出力し続けるための条件を「バルクハウゼンの発振条件」といいます。
持続発振を行うためには、入力された信号がループを一巡して戻ってきたときに、元の信号と完全に同じ位相で、かつ同じ大きさである必要があります。
1. 増幅回路の入力電圧 $V_{i}$ と帰還回路の出力電圧 $V_{f}$ の位相が一致していること。すなわち、(ア) 同相 である必要があります。
2. ループを一巡したときの総合の利得（ループゲイン） $A\beta$ が定常的な安定発振状態では (イ) $A\beta \equiv 1$（または $A\beta = 1$）となります。
帰還信号が入力信号と同相で足し合わされる構成を (ウ) 正帰還 回路といいます。

【令和4年度下期・問14】データ変換

データ変換に関する記述として、誤っているものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

解説

正解は(5)です。

ディジタルオシロスコープは、入力されたアナログ信号をA/Dコンバータ（アナログーディジタル変換器）でディジタルデータに変換し、それをメモリに保存してディスプレイ上に時間波形として表示する装置です。時間領域の波形を表示する目的においては、必ずしもFFT（高速フーリエ変換）演算を行う必要はありません。FFT演算は、時間領域の信号を周波数領域のスペクトルに変換して表示したい場合に用いられる機能です。したがって、(5)が誤りです。
その他の記述はすべて正しい内容です。

【令和4年度下期・問15】三相交流回路の電力

図のように、抵抗6Ωと誘導性リアクタンス8ΩをY結線し、抵抗r[Ω]を△結線した平衡三相負荷に,200V の対称三相交流電源を接続した回路がある。抵抗6Ωと誘導性リアクタンス 8Ωに流れる電流の大きさを $I_{1}$ [A],抵抗r[Ω]に流れる電流の大きさを $I_{2}$[A]とする。電流 $I_{1}$ [A] と $I_{2}$ [A]の大きさが等しいとき,次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a) 抵抗rの値 [Ω] として、最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

(b) 図中の回路が消費する電力の値 [kW] として、最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

解説

正解は (a) (4)、(b) (4) です。

(a) Y結線部分の1相あたりのインピーダンス $Z_Y$ の大きさは、
$$Z_Y = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10 \text{ [\Omega]}$$
Y結線負荷にかかる相電圧は $\frac{200}{\sqrt{3}}$ V なので、流れる相電流（＝線電流 $I_1$）は、
$$I_1 = \frac{200 / \sqrt{3}}{10} = \frac{20}{\sqrt{3}} \approx 11.55 \text{ [A]}$$
一方、△結線部分の抵抗 $r$ に流れる相電流を $I_{2}$ とすると、相電圧は線間電圧と等しい 200V なので、
$$I_2 = \frac{200}{r} \text{ [A]}$$
問題の条件より $I_1 = I_2$ であるため、
$$\frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{200}{r}$$
$$r = 10\sqrt{3} \approx 17.3 \text{ [\Omega]}$$

(b) 回路全体の消費電力 $P$ は、Y結線部分の消費電力 $P_Y$ と△結線部分の消費電力 $P_\Delta$ の和になります。
$$P_Y = 3 \times I_1^2 \times R = 3 \times \left(\frac{20}{\sqrt{3}}\right)^2 \times 6 = 3 \times \frac{400}{3} \times 6 = 2400 \text{ [W]} = 2.4 \text{ [kW]}$$
$$P_\Delta = 3 \times I_2^2 \times r = 3 \times \left(\frac{20}{\sqrt{3}}\right)^2 \times 10\sqrt{3} = 3 \times \frac{400}{3} \times 10\sqrt{3} = 4000\sqrt{3} \approx 6928 \text{ [W]} \approx 6.93 \text{ [kW]}$$
合計の消費電力 $P$ は、
$$P = 2.4 + 6.93 = 9.33 \text{ [kW]}$$
最も近い値は 9.3 kW となります。

※ソースデータに「問16」の問題文が欠落しているため省略します。

【令和4年度下期・問17】導体球間に働く力と電荷の移動

大きさが等しい二つの導体球A, Bがある。両導体球に電荷が蓄えられている場合、両導体球の間に働く力は、導体球に蓄えられている電荷の積に比例し、導体球の中心間距離の2乗に反比例する。次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a) この場合の比例定数を求める目的で、導体球Aに $+2\times10^{-8}$ C,導体球Bに $+3\times10^{-8}$ Cの電荷を与えて、導体球の中心間距離で0.3m隔てて両導体球を置いたところ、両導体球間に $6\times10^{-5}$ Nの反発力が働いた。この結果から求められる比例定数 [N・m²/C²] として、最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。
ただし、導体球A, Bの初期電荷は零とする。また、両導体球の大きさは 0.3 mに比べて極めて小さいものとする。

(b) 上記(a)の導体球A, Bを、電荷を保持したままで0.3mの中心間距離を隔てて固定した。ここで、導体球A, Bと大きさが等しく電荷を持たない導体球 Cを用意し、導体球Cをまず導体球Aに接触させ、次に導体球Bに接触させた。この導体球Cを導体球Aと導体球Bの間の直線上に置くとき、導体球Cが受ける力が釣り合う位置を導体球Aとの中心間距離で表したとき、その距離の値 [m]として、最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

解説

正解は (a) (4)、(b) (4) です。

(a) クーロンの法則 $F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$ より、比例定数 $k$ を求めます。
$$6 \times 10^{-5} = k \frac{(2 \times 10^{-8}) \times (3 \times 10^{-8})}{0.3^2}$$
$$6 \times 10^{-5} = k \frac{6 \times 10^{-16}}{0.09}$$
$$k = \frac{6 \times 10^{-5} \times 0.09}{6 \times 10^{-16}} = 0.09 \times 10^{11} = 9 \times 10^9 \text{ [N\cdot m}^2\text{/C}^2\text{]}$$

(b) 導体球CをAに接触させると、電荷が等分されるため、AとCの電荷はそれぞれ、
$$\frac{2 \times 10^{-8} + 0}{2} = 1 \times 10^{-8} \text{ [C]}$$
となります。
次に、導体球C（$1 \times 10^{-8}$ C）をB（$3 \times 10^{-8}$ C）に接触させると、電荷が再び等分され、BとCの電荷はそれぞれ、
$$\frac{1 \times 10^{-8} + 3 \times 10^{-8}}{2} = 2 \times 10^{-8} \text{ [C]}$$
となります。
最終的な各導体球の電荷は、$Q_A = 1 \times 10^{-8}$ C、$Q_B = 2 \times 10^{-8}$ C、$Q_C = 2 \times 10^{-8}$ C です。
導体球CをAから距離 $x$ [m] の位置に置いたとき、CがAから受ける反発力とBから受ける反発力が釣り合うため、
$$k \frac{Q_A Q_C}{x^2} = k \frac{Q_B Q_C}{(0.3 – x)^2}$$
$$\frac{1}{x^2} = \frac{2}{(0.3 – x)^2}$$
両辺の平方根をとると、
$$\frac{0.3 – x}{x} = \sqrt{2} \approx 1.414$$
$$0.3 – x = 1.414x$$
$$0.3 = 2.414x$$
$$x = \frac{0.3}{2.414} \approx 0.124 \text{ [m]}$$

【令和4年度下期・問18】電流帰還バイアス回路

図1の回路は、電流帰還バイアス回路に結合容量を介して、微小な振幅の交流電圧を加えている。この入力電圧の振幅が $A_{i}=100~mV$,角周波数が (略)
(a) 図1において、交流入力電圧がゼロのときの直流電流増幅率が $h_{FE}=100$ であるとすると、(中略)
(b) 電圧 $v_C(t)$ を求め適当な定数を用いて表す(中略)

解説

正解は (a) (4)、(b) (4) です。

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