ビオ・サバールの法則とは？計算式と計算問題について解説します。
ビオ・サバールの法則
微小長さ $dl$ に流れる電流$I$が，距離 $r$ 離れた場所に作る磁界$ dH$ は以下の式で計算します。
$dH=\frac{Idl}{4\pi r^2}sin\theta$
半径$r$、巻数$N$のコイルが中心部に作る磁界の大きさHは、長さが$2 \pi r$で$\theta=\frac{\pi}{2}$なので、以下の式で計算できます。
$H=\frac{NI\cdot 2\pi r}{4\pi r^2}sin\frac{\pi}{2}=\frac{NI}{2r}$
図のように巻数$N=1$のときは、以下の式で計算できます。
$H=\frac{I}{2r}$
【例題1】ビオ・サバールの法則
【電験3種 理論 平成28年度 問題3 一部改変】
図のように、長い線状導体の一部が点Pを中心とする半径r[m] の半円形になっている。
この導体に電流I[A] を流すとき、点Pに生じる磁界の大きさ$H[A/m]$はビオ・サバールの法則より求めるとどうなるか。
【解答】
- コイルの巻数$N=\frac{1}{2}$と考える。よって、公式に代入すると以下のとおり。
$H=\frac{NI}{2r}=\frac{\frac{1}{2}I}{2r}=\frac{1}{4r}$
【令和7年度下期・問4】扇形導線がつくる中心の磁界
図のように、点Oを中心とするそれぞれ半径 $0.5 \text{ [m]}$ と半径 $1 \text{ [m]}$ の円形導線の $\frac{1}{4}$ の弧、それらを連結する直線状の導線からなる扇形導線がある。この導線に、図に示す向きに直流電流 $I = 16 \text{ [A]}$ を流した場合、点Oにおける磁界の大きさ $H$ の値 $\text{[A/m]}$ として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
ただし、扇形導線は同一平面上にあり、その巻数は一巻きである。また、導線の太さは無視できるものとする。
| – | (1) | (2) | (3) | (4) | (5) |
|---|---|---|---|---|---|
| $H \text{ [A/m]}$ | 0.25 | 0.5 | 0.75 | 1.0 | 2.0 |
解説
正解は(5)です。
点Oにおける磁界は、各導体部分が作る磁界の和（ベクトル和）で求められます。円形コイルの中心磁界 $H$ は、 $H = \frac{I}{2r} \text{ [A/m]}$ です。
① 半径 $r_1 = 0.5 \text{ [m]}$ の円弧部分は、円全体の $\frac{1}{4}$ なので、磁界の大きさ $H_1$ は、
$$H_1 = \frac{1}{4} \times \frac{I}{2 r_1} = \frac{1}{4} \times \frac{16}{2 \times 0.5} = 4 \text{ [A/m]}$$
右ねじの法則により、磁界の向きは紙面の裏から表の方向です。
② 半径 $r_2 = 1 \text{ [m]}$ の円弧部分も同様に、磁界の大きさ $H_2$ は、
$$H_2 = \frac{1}{4} \times \frac{I}{2 r_2} = \frac{1}{4} \times \frac{16}{2 \times 1} = 2 \text{ [A/m]}$$
電流の向きが $r_1$ の円弧と逆であるため、磁界の向きは紙面の表から裏の方向です。
③ 直線部分は、直線導体の延長線上に点Oがあるため、直線部分の電流が点Oに作る磁界は $0$ です。
したがって、点Oにおける合成磁界の大きさ $H$ は、
$$H = |H_1 – H_2| = |4 – 2| = 2.0 \text{ [A/m]}$$
となります。
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