電験3種（法規）の頻出計算問題である「水力発電所（流込式・調整池式）の年間流況曲線・有効貯水量および発電電力量の計算」について解説します。
水力発電所（流込式・調整池式）の年間流況曲線・有効貯水量および発電電力量の計算の攻略ポイント
水力発電所の運用計算および発電電力量の算定は、電験3種の法規科目におけるB問題（計算問題：問11〜問13）で定期的に出題される計算問題です。
電力科目で学習する落差、流量、水車・発電機効率から出力を求める計算をベースとしながら、法規科目特有の論点として「年間流況曲線（年間流量曲線）から実際の使用水量と無効放流量（溢水量）を面積から求める計算」、「設備利用率の導出」、「調整池式水力発電所における日間貯水・ピーク運用の水量収支計算」、ならびに「自家用発電設備における電力系統との系統連系（逆潮流送電電力量・受電電力量・自家消費比率）の計算」が問われます。
過去問の演習前の、以下の公式と計算手順を整理してください。
水力発電所の運用方式（流込式・調整池式・貯水池式・揚水式）の定義と特徴
水力発電所を用水・貯水運用の形態別に分類した4大方式の特徴、主要設備、および出題上の留意点を整理した表です。
| 発電所運用方式 | 貯水設備の有無と規模 | 運転特性・負荷追従性 | 電験3種における計算問題の出題ポイント |
|---|---|---|---|
| 流込式（自流式）水力発電所 | 貯水池・調整池を持たない（取水堰のみ） | 河川の自然流量をそのまま利用。ベース負荷供給を担当し出力調整は行わない。 | 年間流況曲線を用いた使用水量積算、溢水発生日数・無効放流量の導出、年間可能発電電力量および設備利用率の計算。 |
| 調整池式水力発電所 | 日単位〜週単位の水量を調節できる調整池を有する | 軽負荷時（夜間等）に貯水し、ピーク負荷時（昼間重負荷時）に使用水量を増加させて発電。 | 1日（24時間）の水量収支バランス（流入総量＝消費総量）、必要最小有効貯水量の算出、ピーク時使用水量 $Q_p$ および発電出力 $P$ の算定。 |
| 貯水池式水力発電所 | 季節単位〜年単位の豊水・渇水を調節できる大貯水池（大型ダム）を有する | 豊水期（春の融雪・梅雨・台風期）に貯水し、渇水期（夏・冬）に放流発電。年間を通じた需給調整。 | 月別・季節別の流入量と放流量の長期貯水量変動計算、渇水補給運転時の発電電力量算定。 |
| 揚水式水力発電所 | 上部調整池および下部調整池の2つの池を有する（純揚水式または混合揚水式） | 深夜軽負荷時に余剰電力で下部池から上部池へ水を汲み上げ（揚水）、昼間尖頭負荷時に発電。 | 揚水所要電力量と発電電力量の比率（総合揚水効率 $\eta = \eta_p \eta_g$）、揚水動力計算、ピーク対応容量計算。 |
河川の年間流況曲線における代表流量（豊水・平水・低水・渇水）の定義と算定基準
河川流量を1年365日について大きい順（降順）に並べ替えた年間流況曲線における、法令および技術基準上の代表4大流量の定義を整理した表です。
| 代表流量の名称 | 基準日数（年間365日中） | 流量の定義・確保基準 | 水力発電設計上の位置付け・実務上の役割 |
|---|---|---|---|
| 豊水量（ほうすいりょう） | 第$95$日（$95$日流量） | 1年のうち $95$ 日間はこれを下回らない（確保できる）流量 | 年間流況曲線の高流量域の指標。流込式水力発電所の最大使用水量は豊水量付近（または平水量と豊水量の間）に設定されることが多い。 |
| 平水量（へいすいりょう） | 第$185$日（$185$日流量） | 1年のうち $185$ 日間はこれを下回らない（確保できる）流量 | 河川の年間中間的な標準流量。水力開発計画における経済性評価や基準発電電力量算定の基礎となる。 |
| 低水量（ていすいりょう） | 第$275$日（$275$日流量） | 1年のうち $275$ 日間はこれを下回らない（確保できる）流量 | 河川の渇水期への移行指標。農業用水や河川維持流量との水利権調整における基準流量。 |
| 渇水量（かっすいりょう） | 第$355$日（$355$日流量） | 1年のうち $355$ 日間はこれを下回らない（確保できる）流量（年間最少流量に近い値） | 発電所の常時出力（渇水時でも最低限保証できる出力）の算定基準。問題文で「最大使用水量が渇水量の2倍」等の条件設定で頻出。 |
水力発電出力および発電電力量・設備利用率の計算公式体系
水力発電の計算問題で使用する主要な物理量、記号、計算公式、および単位換算の手順を整理した表です。
| 計算項目・物理量 | 記号 | 計算公式 | 単位および留意事項 |
|---|---|---|---|
| 理論水力（入力） | $P_0$ | $P_0 = g \rho Q H \times 10^{-3} = 9.8 Q H$ | $[\text{kW}]$。水の密度 $\rho = 1\,000\text{ kg/m}^3$、重力加速度 $g = 9.8\text{ m/s}^2$、流量 $Q\text{ [m}^3/\text{s]}$、有効落差 $H\text{ [m]}$。 |
| 発電機出力（有効出力） | $P$ | $P = 9.8 Q H \eta_t \eta_g = 9.8 Q H \eta$ | $[\text{kW}]$。水車効率 $\eta_t$、発電機効率 $\eta_g$、総合効率 $\eta = \eta_t \eta_g$。 |
| 認可最大出力（設備容量） | $P_{\max}$ | $P_{\max} = 9.8 Q_{\max} H \eta$ | $[\text{kW}]$。最大使用水量 $Q_{\max}\text{ [m}^3/\text{s]}$ を用いて算出。設備利用率の分母となる。 |
| 発電電力量 | $W$ | $W = \int P dt = 9.8 H \eta \int Q(t) dt$ | $[\text{kW}\cdot\text{h}]$。水量が日単位で与えられている場合、$W = 9.8 H \eta \times (\text{水量積算}[\text{m}^3/\text{s}\cdot\text{日}] \times 24\text{ h})$。 |
| 設備利用率 | $\text{CF}$ | $\text{CF} = \dfrac{W_{\text{annual}}}{P_{\max} \times 8\,760\text{ h}} \times 100$ | $[\%]$。年間時間数は $365\text{ 日} \times 24\text{ 時間} = 8\,760\text{ 時間}$（うるう年は $8\,784\text{ 時間}$）。 |
| 水量の単位換算 | $V$ | $1\text{ m}^3/\text{s}\cdot\text{日} = 24 \times 3\,600 = 86\,400\text{ m}^3$ | 流量積算面積 $[\text{m}^3/\text{s}\cdot\text{日}]$ から体積 $[\text{m}^3]$ または電力量 $[\text{kW}\cdot\text{h}]$ への正確な変換。 |
調整池式水力発電所における日負荷運用と有効貯水量・水量収支の計算体系
調整池式水力発電所において、1日の自然流入量とピーク発電運転に伴う水量収支、および必要有効貯水量の関係を整理した表です。
| 運用段階・計算項目 | 状態および計算式 | 調整池の水位・貯水量挙動 | 実務上の解釈・注意事項 |
|---|---|---|---|
| 自然流入総水量（1日） | $V_{\text{in}} = Q_0 \times 24\text{ h} \times 3\,600\text{ s} = 86\,400 Q_0\text{ [m}^3]$ | 一定流量 $Q_0\text{ [m}^3/\text{s]}$ が河川から連続流入 | 河川の全流量を発電に有効利用する場合、この総流入量が1日の総使用水量と完全に等しくなる。 |
| 貯水期間（発電停止中） | $V_{\text{store}} = Q_0 \times t_{\text{stop}}\text{ [m}^3]$ | 貯水量が増加（空の状態から満水へ移行） | 停止時間 $t_{\text{stop}}\text{ [s]}$ の全流入水量を蓄える。この最大蓄水量が必要最小有効貯水量となる。 |
| ピーク発電期間（重負荷時） | $Q_p = Q_0 + \dfrac{V_{\text{store}}}{t_{\text{peak}}}\text{ [m}^3/\text{s]}$ | 貯水量が減少（満水から有効容量を使い切り空へ） | ピーク使用水量 $Q_p$ は、自然流入分 $Q_0$ に調整池からの補給流量 $\Delta Q = V_{\text{store}} / t_{\text{peak}}$ を加算した値となる。 |
| 水量保存則の成立条件 | $V_{\text{in}} = \sum (Q_i \times t_i \times 3\,600)$ | 毎日同一定常サイクルを反復（翌朝満水復帰） | 溢水（無効放流）がない場合、各時間帯の使用水量の時間積分値が河川自然流入量の時間積分値と一致。 |
【令和7年上期・問11】流込式水力発電所の年間流況曲線に基づく可能発電電力量および設備利用率の計算
有効落差 $90\text{ m}$，最大使用水量が渇水量（$1$年のうち $355$日は確保できる水量）の $2$倍，水車及び発電機の総合効率 $80\text{ }\%$の流込式水力発電所がある。この発電所が利用している河川の流量 $Q\text{ [m}^3/\text{s]}$ が図のような年間流量曲線（日数 $d$ が $90$日以上の部分は，$Q = -0.05 d + 25.5$ で表される。）であるとき，次の（a）及び（b）の問に答えよ。
ただし，水の密度を $1\,000\text{ kg/m}^3$，重力加速度を $9.8\text{ m/s}^2$ とする。
【年間流量曲線】
流量 Q [m3/s]
│
21├───┐
│ │＼
│ │ ＼
│ │ ＼ Q = -0.05 d + 25.5
│ │ ＼
└───┴───────┴────── 日数 d [日]
0 90 365（a）この発電所の年間可能発電電力量の値 $[\text{GW}\cdot\text{h}]$ として，最も近いものを次の（1）～（5）のうちから一つ選べ。
(1) 47.9
(2) 72.8
(3) 84.3
(4) 94.5
(5) 97.4
（b）この発電所の設備利用率 $[\%]$ として，最も近いものを次の（1）～（5）のうちから一つ選べ。
(1) 50.0
(2) 63.0
(3) 69.5
(4) 75.9
(5) 88.0
解説
正解：(a) (3) ，(b) (5)
小問(a)の導出
渇水量 $Q_{355}$ および最大使用水量 $Q_{\max}$ の算定：
問題文より、日数 $d \ge 90\text{ 日}$ の年間流量曲線は次式で与えられます。
$$Q(d) = -0.05 d + 25.5\text{ [m}^3/\text{s]}$$
渇水量 $Q_{355}$ は $1$年のうち $355$日確保できる流量（$d = 355\text{ 日}$ における流量）であるため、上式に $d = 355$ を代入します。
$$Q_{355} = -0.05 \times 355 + 25.5 = -17.75 + 25.5 = 7.75\text{ [m}^3/\text{s]}$$
発電所の最大使用水量 $Q_{\max}$ は渇水量の $2$倍と規定されているため、次のように求まります。
$$Q_{\max} = 2 \times Q_{355} = 2 \times 7.75 = 15.5\text{ [m}^3/\text{s]}$$
使用水量曲線と運転区間の分割：
図より、$d = 90$ における流量は $Q(90) = -0.05 \times 90 + 25.5 = 21.0\text{ m}^3/\text{s}$ であり、$0 \le d \le 90$ は $21.0\text{ m}^3/\text{s}$ 一定です。
発電所で使用できる水量 $Q_{\text{use}}(d)$ は最大使用水量 $Q_{\max} = 15.5\text{ m}^3/\text{s}$ で制限されます。河川流量が $Q_{\max} = 15.5\text{ m}^3/\text{s}$ となる日数 $d_1$ を求めます。
$$-0.05 d_1 + 25.5 = 15.5 \implies 0.05 d_1 = 10.0 \implies d_1 = \dfrac{10.0}{0.05} = 200\text{ [日]}$$
したがって、水力発電所の使用水量 $Q_{\text{use}}(d)$ の推移は以下の2つの区間に分かれます。
・第1区間（$0 \le d \le 200\text{ 日}$：計 $200$日間）：
河川流量が $15.5\text{ m}^3/\text{s}$ 以上であるため、最大使用水量 $Q_{\text{use}} = 15.5\text{ m}^3/\text{s}$ 一定で運転します（超過分は溢水）。
・第2区間（$200 < d \le 365\text{ 日}$：計 $165$日間）：
河川流量が $15.5\text{ m}^3/\text{s}$ を下回るため、河川流量の全量を使用して $Q_{\text{use}}(d) = -0.05 d + 25.5\text{ m}^3/\text{s}$ で運転します。
$d = 365\text{ 日}$ における流量 $Q(365)$ は次式となります。
$$Q(365) = -0.05 \times 365 + 25.5 = -18.25 + 25.5 = 7.25\text{ [m}^3/\text{s]}$$
年間積算使用水量の算出：
使用水量積算面積 $S\text{ [m}^3/\text{s}\cdot\text{日]}$ を各区間ごとに計算します。
・第1区間の面積（長方形）：
$$S_1 = 15.5\text{ [m}^3/\text{s]} \times 200\text{ [日]} = 3\,100\text{ [m}^3/\text{s}\cdot\text{日]}$$
・第2区間の面積（台形）：
上底が $15.5\text{ m}^3/\text{s}$、下底が $7.25\text{ m}^3/\text{s}$、日数が $165\text{ 日}$ の台形面積となります。
$$S_2 = \dfrac{15.5 + 7.25}{2} \times 165 = \dfrac{22.75}{2} \times 165 = 11.375 \times 165 = 1\,876.875\text{ [m}^3/\text{s}\cdot\text{日]}$$
・年間総積算使用水量 $S_{\text{total}}$：
$$S_{\text{total}} = S_1 + S_2 = 3\,100 + 1\,876.875 = 4\,976.875\text{ [m}^3/\text{s}\cdot\text{日]}$$
年間可能発電電力量 $W_{\text{annual}}$ の計算：
発電電力量 $W$ は、積算水量に $24\text{ 時間}$ を乗じて時間換算した上で電力公式を適用します。
有効落差 $H = 90\text{ m}$、総合効率 $\eta = 80\% = 0.80$ であるため、
$$W_{\text{annual}} = 9.8 \times H \times \eta \times (S_{\text{total}} \times 24)\text{ [kW}\cdot\text{h]}$$
ここで $9.8 \times H \times \eta$ を先に計算すると、
$$9.8 \times 90 \times 0.80 = 705.6\text{ [kW}/(\text{m}^3/\text{s})]$$
したがって、年間発電電力量は次のように算出されます。
$$W_{\text{annual}} = 705.6 \times (4\,976.875 \times 24) = 705.6 \times 119\,445 = 84\,280\,392\text{ [kW}\cdot\text{h]}$$
単位を $[\text{GW}\cdot\text{h}]$（$1\text{ GW}\cdot\text{h} = 10^6\text{ kW}\cdot\text{h}$）に換算します。
$$W_{\text{annual}} = \dfrac{84\,280\,392}{10^6} \approx 84.28\text{ [GW}\cdot\text{h]} \approx 84.3\text{ [GW}\cdot\text{h]}$$
最も近い値は (3) の $84.3$ となります。
小問(b)の導出
最大出力（設備容量）$P_{\max}$ の算定：
最大使用水量 $Q_{\max} = 15.5\text{ m}^3/\text{s}$ を通水したときの認可最大出力 $P_{\max}$ は次式で求まります。
$$P_{\max} = 9.8 \times Q_{\max} \times H \times \eta = 9.8 \times 15.5 \times 90 \times 0.80 = 10\,936.8\text{ [kW]}$$
年間定格可能電力量の算定：
この発電所が認可最大出力 $P_{\max}$ で $1$年間（$365\text{ 日} \times 24\text{ 時間} = 8\,760\text{ 時間}$）全出力運転を継続したと仮定した場合の年間電力量 $W_{\max}$ は次式となります。
$$W_{\max} = P_{\max} \times 8\,760 = 10\,936.8 \times 8\,760 = 95\,806\,368\text{ [kW}\cdot\text{h]}$$
設備利用率 $\text{CF}$ の導出：
設備利用率は、実際の年間可能発電電力量 $W_{\text{annual}}$ と $W_{\max}$ の比率として計算されます。
$$\text{CF} = \dfrac{W_{\text{annual}}}{W_{\max}} \times 100 = \dfrac{84\,280\,392}{95\,806\,368} \times 100 \approx 87.969\text{ [\%]} \approx 88.0\text{ [\%]}$$
なお、別解として、最大出力と年間平均出力 $P_{\text{avg}}$ の比率、あるいは最大使用水量 $Q_{\max}$ と年間平均使用水量 $Q_{\text{avg}}$ の比率からも直接求めることができます。
$$Q_{\text{avg}} = \dfrac{S_{\text{total}}}{365} = \dfrac{4\,976.875}{365} \approx 13.6353\text{ [m}^3/\text{s]}$$
$$\text{CF} = \dfrac{Q_{\text{avg}}}{Q_{\max}} \times 100 = \dfrac{13.6353}{15.5} \times 100 \approx 87.97\text{ [\%]} \approx 88.0\text{ [\%]}$$
最も近い値は (5) の $88.0$ となります。
【令和6年下期・問11】流込式水力発電所における年間溢水日数の導出および可能発電電力量の算定
最大使用水量 $15\text{ m}^3/\text{s}$，有効落差 $20\text{ m}$ の流込式水力発電所がある。この発電所が利用している河川の流量 $Q$ が図のような年間流況曲線（日数 $d$ が $100$日以上の部分は，$Q = -0.05 d + 25\text{ [m}^3/\text{s]}$ で表される。）であるとき，次の（a）及び（b）の問に答えよ。
ただし，水車及び発電機の効率はそれぞれ $90\text{ }\%$ 及び $95\text{ }\%$ で，流量によって変化しないものとする。
【年間流況曲線】
流量 Q [m3/s]
│
20├───┐
│ │＼
│ │ ＼
│ │ ＼ Q = -0.05 d + 25
│ │ ＼
└───┴───────┴────── 日数 d [日]
0 100 365
（a）この発電所で年間に溢水（いっすい）が発生する日数の合計として，最も近いのは次のうちどれか。
ただし，溢水とは河川流量を発電に利用しないで無効に放流することをいう。
(1) 180
(2) 190
(3) 200
(4) 210
(5) 220
（b）この発電所の年間可能発電電力量 $[\text{GW}\cdot\text{h}]$ の値として，最も近いのは次のうちどれか。
(1) 19.3
(2) 20.3
(3) 21.4
(4) 22.0
(5) 22.5
解説
正解：(a) (3) ，(b) (1)
小問(a)の導出
流量曲線の関数形と溢水条件の整理：
問題文より、日数 $d \ge 100\text{ 日}$ における河川流量曲線は次式で与えられます。
$$Q(d) = -0.05 d + 25\text{ [m}^3/\text{s]}$$
図より、$d = 100$ における流量は $Q(100) = -0.05 \times 100 + 25 = 20\text{ m}^3/\text{s}$ であり、$0 \le d \le 100$ の区間は $20\text{ m}^3/\text{s}$ で一定です。
発電所の最大使用水量は $Q_{\max} = 15\text{ m}^3/\text{s}$ です。
溢水が発生するのは、河川流量が最大使用水量を上回る期間（$Q(d) > 15\text{ m}^3/\text{s}$）です。
境界日数 $d$ の計算：
河川流量が $Q_{\max} = 15\text{ m}^3/\text{s}$ と等しくなる日数 $d_{\text{spill}}$ を方程式より解きます。
$$-0.05 d_{\text{spill}} + 25 = 15$$
$$0.05 d_{\text{spill}} = 10 \implies d_{\text{spill}} = \dfrac{10}{0.05} = 200\text{ [日]}$$
河川流量曲線は日数 $d$ に対して単調減少関数であるため、日数 $0 \le d < 200\text{ 日}$ の全期間にわたって河川流量が $15\text{ m}^3/\text{s}$ を超過し、溢水が発生します。
したがって、年間に溢水が発生する日数の合計は $200\text{ 日}$ となります。
最も近い値は (3) の $200$ です。
小問(b)の導出
発電所の年間積算使用水量の算定：
発電所で使用できる水量 $Q_{\text{use}}(d)$ は、溢水期間中（$0 \le d \le 200\text{ 日}$）は最大使用水量 $15\text{ m}^3/\text{s}$ で一定となり、それ以降（$200 < d \le 365\text{ 日}$）は河川流量 $Q(d)$ に従います。
・第1区間（$0 \le d \le 200\text{ 日}$：計 $200$日間）の積算水量（長方形面積）：
$$S_1 = 15\text{ [m}^3/\text{s]} \times 200\text{ [日]} = 3\,000\text{ [m}^3/\text{s}\cdot\text{日]}$$
・第2区間（$200 < d \le 365\text{ 日}$：計 $165$日間）の積算水量（台形面積）：
$d = 365\text{ 日}$ における流量 $Q(365)$ は次式となります。
$$Q(365) = -0.05 \times 365 + 25 = -18.25 + 25 = 6.75\text{ [m}^3/\text{s]}$$
上底が $15\text{ m}^3/\text{s}$、下底が $6.75\text{ m}^3/\text{s}$、日数が $165\text{ 日}$ の台形面積を求めます。
$$S_2 = \dfrac{15 + 6.75}{2} \times 165 = \dfrac{21.75}{2} \times 165 = 10.875 \times 165 = 1\,794.375\text{ [m}^3/\text{s}\cdot\text{日]}$$
・年間総積算使用水量 $S_{\text{total}}$：
$$S_{\text{total}} = S_1 + S_2 = 3\,000 + 1\,794.375 = 4\,794.375\text{ [m}^3/\text{s}\cdot\text{日]}$$
発電電力係数の算定：
有効落差 $H = 20\text{ m}$、水車効率 $\eta_t = 0.90$、発電機効率 $\eta_g = 0.95$ より、総合効率は $\eta = 0.90 \times 0.95 = 0.855$ です。
単位流量当たりの発電電力係数 $k$ は次式となります。
$$k = 9.8 \times H \times \eta = 9.8 \times 20 \times 0.855 = 167.58\text{ [kW}/(\text{m}^3/\text{s})]$$
年間可能発電電力量 $W_{\text{annual}}$ の導出：
年間積算使用水量 $S_{\text{total}}$ に $1$日の時間数 $24\text{ 時間}$ を乗じて電力量を計算します。
$$W_{\text{annual}} = k \times (S_{\text{total}} \times 24)\text{ [kW}\cdot\text{h]}$$
$$W_{\text{annual}} = 167.58 \times (4\,794.375 \times 24) = 167.58 \times 115\,065 = 19\,282\,592.7\text{ [kW}\cdot\text{h]}$$
これを $[\text{GW}\cdot\text{h}]$（$1\text{ GW}\cdot\text{h} = 10^6\text{ kW}\cdot\text{h}$）に換算します。
$$W_{\text{annual}} = \dfrac{19\,282\,592.7}{10^6} \approx 19.28\text{ [GW}\cdot\text{h]} \approx 19.3\text{ [GW}\cdot\text{h]}$$
最も近い値は (1) の $19.3$ となります。
【令和4年上期・問13】調整池式水力発電所の日間運用における必要有効貯水量およびピーク発電出力の計算
有効落差 $80\text{ m}$ の調整池式水力発電所がある。調整池に取水する自然流量は $10\text{ m}^3/\text{s}$ 一定であるとし，図のように $1$日のうち $12$時間は発電せずに自然流量の全量を貯水する。残り $12$時間のうち $2$時間は自然流量と同じ $10\text{ m}^3/\text{s}$ の使用水量で発電を行い，他の $10$時間は自然流量より多い $Q_p\text{ [m}^3/\text{s]}$ の使用水量で発電して貯水分全量を使い切るものとする。このとき，次の（a）及び（b）の問に答えよ。
【使用水量パターン図】
使用水量 [m3/s]
│
Qp├──┐
│ │
10│ └───┬───┐
│ │2時間
└──┴───┴───┴── 時刻 [時]
0 8 20 24（a）運用に最低限必要な有効貯水量の値 $[\text{m}^3]$ として，最も近いものを次の（1）～（5）のうちから一つ選べ。
(1) $220 \times 10^3$
(2) $240 \times 10^3$
(3) $432 \times 10^3$
(4) $792 \times 10^3$
(5) $864 \times 10^3$
（b）使用水量 $Q_p\text{ [m}^3/\text{s]}$ で運転しているときの発電機出力の値 $[\text{kW}]$ として，最も近いものを次の（1）～（5）のうちから一つ選べ。
ただし，運転中の有効落差は変わらず，水車効率，発電機効率はそれぞれ $90\text{ }\%$，$95\text{ }\%$ で一定とし，溢水（いっすい）はないものとする。
(1) 12 400
(2) 14 700
(3) 16 600
(4) 18 800
(5) 20 400
解説
正解：(a) (3) ，(b) (2)
小問(a)の導出
- 発電停止時間における貯水量の計算：
問題文より、河川の自然流量は $Q_0 = 10\text{ m}^3/\text{s}$ 一定であり、$1$日のうち $12$時間は発電を行わずに自然流量の全量を調整池に貯水します。
図より、発電停止時間は $0$時から $8$時までの $8$時間、および $20$時から $24$時までの $4$時間であり、合計停止時間は $8 + 4 = 12$時間です。
この $12$時間の間に調整池に流入・蓄積される総水量が、運用上最低限必要な有効貯水量 $V$ となります。
時間を秒単位（$1\text{ 時間} = 3\,600\text{ 秒}$）に換算して計算します。
$$t_{\text{stop}} = 12 \times 3\,600 = 43\,200\text{ [s]}$$
$$V = Q_0 \times t_{\text{stop}} = 10\text{ [m}^3/\text{s]} \times 43\,200\text{ [s]} = 432\,000\text{ [m}^3] = 432 \times 10^3\text{ [m}^3]$$
したがって、最低限必要な有効貯水量は $432 \times 10^3\text{ m}^3$ となります。
最も近い値は (3) の $432 \times 10^3$ です。小問(b)の導出
- ピーク時使用水量 $Q_p$ の決定：
発電運転を行う残り $12$時間のうち、
・$2$時間は自然流量と同じ使用水量 $10\text{ m}^3/\text{s}$ で発電（この間、貯水量は増減せず一定）。
・他の $10$時間は自然流量より多い使用水量 $Q_p$ で発電し、停止中に蓄えた有効貯水量の全量 $432\,000\text{ m}^3$ を使い切ります。
ピーク発電時間 $t_{\text{peak}} = 10\text{ 時間}$ に調整池から放流・供給される流量 $\Delta Q$ は次式で求まります。
$$\Delta Q = \dfrac{V}{t_{\text{peak}} \times 3\,600} = \dfrac{432\,000\text{ [m}^3]}{10 \times 3\,600\text{ [s]}} = \dfrac{432\,000}{36\,000} = 12\text{ [m}^3/\text{s]}$$
この時間帯には河川の自然流量 $Q_0 = 10\text{ m}^3/\text{s}$ も取水・利用できるため、ピーク時の総使用水量 $Q_p$ は次式となります。
$$Q_p = Q_0 + \Delta Q = 10 + 12 = 22\text{ [m}^3/\text{s]}$$
（別解として1日の水量収支式からも確認できます）
$$10\text{ [m}^3/\text{s]} \times 24\text{ [h]} = 10\text{ [m}^3/\text{s]} \times 2\text{ [h]} + Q_p \times 10\text{ [h]}$$
$$240 = 20 + 10 Q_p \implies 10 Q_p = 220 \implies Q_p = 22\text{ [m}^3/\text{s]}$$ - ピーク時発電機出力 $P$ の計算：
使用水量 $Q_p = 22\text{ m}^3/\text{s}$、有効落差 $H = 80\text{ m}$、水車効率 $\eta_t = 0.90$、発電機効率 $\eta_g = 0.95$ より、総合効率は $\eta = 0.90 \times 0.95 = 0.855$ です。
水力発電電力公式に各数値を代入します。
$$P = 9.8 \times Q_p \times H \times \eta_t \times \eta_g$$
$$P = 9.8 \times 22 \times 80 \times 0.855 = 9.8 \times 22 \times 68.4 = 9.8 \times 1\,504.8 = 14\,747.04\text{ [kW]} \approx 14\,700\text{ [kW]}$$
最も近い値は (2) の $14\,700$ となります。【平成29年・問13】自家用水力発電所と電力系統の系統連系における送受電電力量および自家消費比率の計算
自家用水力発電所をもつ工場があり、電力系統と常時系統連系している。ここでは、自家用水力発電所の発電電力は工場内において消費させ、同電力が工場の消費電力よりも大きくなり余剰が発生した場合、その余剰分は電力系統に逆潮流（送電）させる運用をしている。
この工場のある日（$0$時～$24$時）の消費電力と自家用水力発電所の発電電力はそれぞれ図1及び図2のように推移した。次の（a）及び（b）の問に答えよ。
なお、自家用水力発電所の所内電力は無視できるものとする。【図1 工場の消費電力の推移】 消費電力 [kW] 15000│ 12500│ ┌──────────┐ 10000│ ／ ＼ 5000├───┬───┘ └───┬───┐ 0└──┴──┴──┴──┴──┴──┴──┴──┴──┴──┴──┴── 時刻 [時] 0 4 10 16 22 24 ・0時～4時 ：5 000 kW 一定 ・4時～10時 ：5 000 kW から 12 500 kW まで直線的に増加 ・10時～16時 ：12 500 kW 一定 ・16時～22時 ：12 500 kW から 5 000 kW まで直線的に減少 ・22時～24時 ：5 000 kW 一定 【図2 自家用水力発電所の発電電力の推移】 発電電力 [kW] 15000│ 10000│ ┌────────────────────────┐ 5000│ │ │ 3000├───┬──┘ └───┬──┐ 0└──┴──┴──┴──┴──┴──┴──┴──┴──┴──┴──┴── 時刻 [時] 0 6 22 24 ・0時～6時 ：3 000 kW 一定 ・6時～22時 ：10 000 kW 一定 ・22時～24時 ：3 000 kW 一定（a）この日の電力系統への送電電力量の値 $[\text{MW}\cdot\text{h}]$ と電力系統からの受電電力量の値 $[\text{MW}\cdot\text{h}]$ の組合せとして、最も近いものを次の（1）～（5）のうちから一つ選べ。
選択肢 送電電力量 $[\text{MW}\cdot\text{h}]$ 受電電力量 $[\text{MW}\cdot\text{h}]$ (1) 12.5 26.0 (2) 12.5 38.5 (3) 26.0 38.5 (4) 38.5 26.0 (5) 26.0 12.5 （b）この日、自家用水力発電所で発電した電力量のうち、工場内で消費された電力量の比率 $[\%]$ として、最も近いものを次の（1）～（5）のうちから一つ選べ。
(1) 18.3
(2) 32.5
(3) 81.7
(4) 87.6
(5) 93.2解説
正解：(a) (2) ，(b) (5)
小問(a)の導出
工場の消費電力 $P_c(t)$ と自家用水力発電所の発電電力 $P_g(t)$ を重ね合わせ、時間帯ごとに受電（不足）と送電（余剰）を精査します。
① 消費電力の直線変化区間における交差時刻の特定：
・$4$時〜$10$時の消費電力：
$4$時で $5\,000\text{ kW}$、$10$時で $12\,500\text{ kW}$ まで直線的に増加します。増加率は次式です。
$$\dfrac{12\,500 - 5\,000}{10 - 4} = \dfrac{7\,500\text{ kW}}{6\text{ h}} = 1\,250\text{ [kW/h]}$$
この区間の消費電力は $P_c(t) = 5\,000 + 1\,250 (t - 4)\text{ [kW]}$（$4 \le t \le 10$）と表されます。
水力発電電力は $6$時に $3\,000\text{ kW}$ から $10\,000\text{ kW}$ へステップ上昇します。
$6$時における消費電力は $P_c(6) = 5\,000 + 1\,250 \times 2 = 7\,500\text{ kW}$ です。
消費電力が発電電力 $10\,000\text{ kW}$ と等しくなる時刻 $t_1$ を求めます。
$$5\,000 + 1\,250 (t_1 - 4) = 10\,000 \implies 1\,250 (t_1 - 4) = 5\,000 \implies t_1 - 4 = 4 \implies t_1 = 8\text{ [時]}$$
したがって、$6$時から $8$時の間は 発電電力（$10\,000\text{ kW}$）＞ 消費電力 となり、余剰（送電）が発生します。・$16$時〜$22$時の消費電力：
$16$時で $12\,500\text{ kW}$、$22$時で $5\,000\text{ kW}$ まで直線的に減少します。減少率は $-1\,250\text{ kW/h}$ です。
消費電力は $P_c(t) = 12\,500 - 1\,250 (t - 16)\text{ [kW]}$（$16 \le t \le 22$）と表されます。
消費電力が発電電力 $10\,000\text{ kW}$ と等しくなる時刻 $t_2$ を求めます。
$$12\,500 - 1\,250 (t_2 - 16) = 10\,000 \implies 1\,250 (t_2 - 16) = 2\,500 \implies t_2 - 16 = 2 \implies t_2 = 18\text{ [時]}$$したがって、$18$時から $22$時の間は 発電電力（$10\,000\text{ kW}$）＞ 消費電力 となり、余剰（送電）が発生します。
② 送電電力量 $W_{\text{send}}$（余剰電力）の計算：
送電が発生するのは以下の2つの時間帯です。・時間帯A（$6$時〜$8$時：$2$時間）：
$6$時における余剰電力：$10\,000 - 7\,500 = 2\,500\text{ kW} = 2.5\text{ MW}$
$8$時における余剰電力：$10\,000 - 10\,000 = 0\text{ kW}$
この区間の送電電力量は三角形の面積となります。
$$W_{\text{send1}} = \dfrac{2.5 + 0}{2} \times (8 - 6) = 2.5\text{ [MW}\cdot\text{h]}$$・時間帯B（$18$時〜$22$時：$4$時間）：
$18$時における余剰電力：$10\,000 - 10\,000 = 0\text{ kW}$
$22$時における余剰電力：$10\,000 - 5\,000 = 5\,000\text{ kW} = 5.0\text{ MW}$
この区間の送電電力量は三角形の面積となります。
$$W_{\text{send2}} = \dfrac{0 + 5.0}{2} \times (22 - 18) = 2.5 \times 4 = 10.0\text{ [MW}\cdot\text{h]}$$・$1$日の総送電電力量 $W_{\text{send}}$：
$$W_{\text{send}} = W_{\text{send1}} + W_{\text{send2}} = 2.5 + 10.0 = 12.5\text{ [MW}\cdot\text{h]}$$③ 受電電力量 $W_{\text{recv}}$（不足電力）の計算：
受電が発生する時間帯ごとに不足電力量を合算します。・$0$時〜$4$時（$4$時間）：
消費 $5\,000\text{ kW}$、発電 $3\,000\text{ kW}$ $\implies$ 不足 $2.0\text{ MW}$ 一定。
$$W_{\text{recv1}} = 2.0 \times 4 = 8.0\text{ [MW}\cdot\text{h]}$$
・$4$時〜$6$時（$2$時間）：
$4$時で不足 $5.0 - 3.0 = 2.0\text{ MW}$、$6$時で不足 $7.5 - 3.0 = 4.5\text{ MW}$ の台形面積。
$$W_{\text{recv2}} = \dfrac{2.0 + 4.5}{2} \times 2 = 6.5\text{ [MW}\cdot\text{h]}$$
・$8$時〜$10$時（$2$時間）：
$8$時で不足 $10.0 - 10.0 = 0\text{ MW}$、$10$時で不足 $12.5 - 10.0 = 2.5\text{ MW}$ の三角形面積。
$$W_{\text{recv3}} = \dfrac{0 + 2.5}{2} \times 2 = 2.5\text{ [MW}\cdot\text{h]}$$
・$10$時〜$16$時（$6$時間）：
消費 $12.5\text{ MW}$、発電 $10.0\text{ MW}$ $\implies$ 不足 $2.5\text{ MW}$ 一定。
$$W_{\text{recv4}} = 2.5 \times 6 = 15.0\text{ [MW}\cdot\text{h]}$$
・$16$時〜$18$時（$2$時間）：
$16$時で不足 $12.5 - 10.0 = 2.5\text{ MW}$、$18$時で不足 $10.0 - 10.0 = 0\text{ MW}$ の三角形面積。
$$W_{\text{recv5}} = \dfrac{2.5 + 0}{2} \times 2 = 2.5\text{ [MW}\cdot\text{h]}$$
・$22$時〜$24$時（$2$時間）：
消費 $5.0\text{ MW}$、発電 $3.0\text{ MW}$ $\implies$ 不足 $2.0\text{ MW}$ 一定。
$$W_{\text{recv6}} = 2.0 \times 2 = 4.0\text{ [MW}\cdot\text{h]}$$
・$1$日の総受電電力量 $W_{\text{recv}}$：
$$W_{\text{recv}} = 8.0 + 6.5 + 2.5 + 15.0 + 2.5 + 4.0 = 38.5\text{ [MW}\cdot\text{h]}$$
以上より、送電電力量は $12.5\text{ MW}\cdot\text{h}$、受電電力量は $38.5\text{ MW}\cdot\text{h}$ となり、正解は (2) です。小問(b)の導出
① 自家用水力発電所の総発電電力量 $W_g$ の算定：
図2より、発電電力量は各区間の長方形面積の合計です。
・$0$時〜$6$時（$6$時間）：$3.0\text{ MW} \times 6\text{ h} = 18.0\text{ MW}\cdot\text{h}$
・$6$時〜$22$時（$16$時間）：$10.0\text{ MW} \times 16\text{ h} = 160.0\text{ MW}\cdot\text{h}$
・$22$時〜$24$時（$2$時間）：$3.0\text{ MW} \times 2\text{ h} = 6.0\text{ MW}\cdot\text{h}$
$$W_g = 18.0 + 160.0 + 6.0 = 184.0\text{ [MW}\cdot\text{h]}$$② 工場内消費電力量 $W_{\text{self}}$ および比率の計算：
発電電力量 $184.0\text{ MW}\cdot\text{h}$ のうち、系統へ送電された電力量は小問(a)より $W_{\text{send}} = 12.5\text{ MW}\cdot\text{h}$ です。
したがって、工場内で自家消費された電力量 $W_{\text{self}}$ は次式となります。
$$W_{\text{self}} = W_g - W_{\text{send}} = 184.0 - 12.5 = 171.5\text{ [MW}\cdot\text{h]}$$
総発電電力量に対する工場内消費電力量の比率 $R_{\text{self}}$ は次式で算出されます。
$$R_{\text{self}} = \dfrac{W_{\text{self}}}{W_g} \times 100 = \dfrac{171.5}{184.0} \times 100 \approx 93.2065\text{ [\%]} \approx 93.2\text{ [\%]}$$
最も近い値は (5) の $93.2$ となります。【平成24年・問13】調整池式水力発電所の有効容量に基づく運転終了時刻および中間出力Pの算定
発電所の最大出力が $40\,000\text{ [kW]}$ で最大使用水量が $20\text{ [m}^3/\text{s]}$，有効容量 $360\,000\text{ [m}^3]$ の調整池を有する水力発電所がある。河川流量が $10\text{ [m}^3/\text{s]}$ 一定である時期に、河川の全流量を発電に利用して図のような発電を毎日行った。毎朝満水になる $8$時から発電を開始し、調整池の有効容量の水を使い切る時まで発電を行い、その後は発電を停止して翌日に備えて貯水のみをする運転パターンである。次の（a）及び（b）の問に答えよ。
ただし、発電所出力 $[\text{kW}]$ は使用水量 $[\text{m}^3/\text{s}]$ のみに比例するものとし、その他の要素にはよらないものとする。【日負荷発電パターン図】 出力 [kW] 40000│ ┌────────────────────────┐ │ │ │ P │ ┌───────┘ │ │ │ 4時間 │ 16000├───┐ │ │ │ │1時間 │ 0└──┴───┴────────────────────────────────┴── 時刻 [時] 0 8 24（a）運転を終了する時刻として、最も近いものを次の（1）～（5）のうちから一つ選べ。
(1) 19時
(2) 20時
(3) 21時
(4) 22時
(5) 23時（b）図に示す出力 $P\text{ [kW]}$ の値として、最も近いものを次の（1）～（5）のうちから一つ選べ。
(1) 20 000
(2) 22 000
(3) 24 000
(4) 26 000
(5) 28 000解説
正解：(a) (4) ，(b) (4)
小問(a)の導出
①発電停止時間 $t_{\text{stop}}$ の算定：
問題文より、発電を停止している間は発電所への放流を行わず、自然流量 $Q_0 = 10\text{ m}^3/\text{s}$ の全量を調整池に蓄えます。
発電終了時刻 $T\text{ [時]}$ において調整池の水は完全に使い切られ（残量ゼロ）、翌朝 $8$時にちょうど有効容量 $V = 360\,000\text{ m}^3$（満水）に達します。
したがって、停止時間 $t_{\text{stop}}\text{ [時間]}$ に流入する水量が有効容量 $360\,000\text{ m}^3$ に等しくなります。
$$Q_0 \times (t_{\text{stop}} \times 3\,600) = V$$
$$10 \times 3\,600 \times t_{\text{stop}} = 360\,000$$
$$36\,000 \times t_{\text{stop}} = 360\,000 \implies t_{\text{stop}} = \dfrac{360\,000}{36\,000} = 10\text{ [時間]}$$
発電を停止して貯水する時間は $10$時間であることが確定します。②運転終了時刻 $T$ の決定：
翌朝 $8$時の $10$時間前が運転終了時刻 $T$ となります。
$$T = 24 + 8 - t_{\text{stop}} = 32 - 10 = 22\text{ [時]}$$
したがって、運転を終了する時刻は $22$時となります。
最も近い値は (4) の $22$時です。小問(b)の導出
①各運転区間の時間配分と使用水量の整理：
発電運転は $8$時から $22$時までの合計 $14$時間行われます。
図より、運転区間は以下の3段階で構成されています。
・第1区間（$8$時〜$9$時：$1$時間）：
出力 $P_1 = 16\,000\text{ kW}$
使用水量 $Q_1 = \dfrac{16\,000}{2\,000} = 8\text{ [m}^3/\text{s]}$
・第2区間（$9$時〜$13$時：$4$時間）：
出力 $P_2 = P\text{ [kW]}$
使用水量 $Q_2 = \dfrac{P}{2\,000}\text{ [m}^3/\text{s]}$
・第3区間（$13$時〜$22$時：$22 - 13 = 9$時間）：
出力 $P_3 = 40\,000\text{ kW}$（認可最大出力）
使用水量 $Q_3 = \dfrac{40\,000}{2\,000} = 20\text{ [m}^3/\text{s]}$②日間総水量収支方程式の立式と解法：
河川流量 $Q_0 = 10\text{ m}^3/\text{s}$ の全量を余すことなく（溢水なしで）発電に利用するため、$1$日（$24$時間）の総流入水量と総使用水量を等置します。
両辺を $3\,600\text{ 秒}$ で除し、$[\text{m}^3/\text{s}\cdot\text{h}]$ の単位で方程式を立てます。
$$\text{総流入水量} = 10\text{ [m}^3/\text{s]} \times 24\text{ [h]} = 240\text{ [m}^3/\text{s}\cdot\text{h]}$$
各区間の使用水量積算の合計は次式となります。
$$\text{総使用水量} = (Q_1 \times 1\text{ h}) + (Q_2 \times 4\text{ h}) + (Q_3 \times 9\text{ h})$$
$$= (8 \times 1) + (Q_2 \times 4) + (20 \times 9) = 8 + 4 Q_2 + 180 = 188 + 4 Q_2\text{ [m}^3/\text{s}\cdot\text{h]}$$
総流入水量と総使用水量が一致するため、
$$188 + 4 Q_2 = 240$$
$$4 Q_2 = 240 - 188 = 52$$
$$Q_2 = \dfrac{52}{4} = 13\text{ [m}^3/\text{s]}$$
第2区間の使用水量は $13\text{ m}^3/\text{s}$ と求まります。③出力 $P$ の計算：
出力と使用水量の比例定数 $k = 2\,000\text{ kW}/(\text{m}^3/\text{s})$ より、出力 $P$ を計算します。
$$P = 2\,000 \times Q_2 = 2\,000 \times 13 = 26\,000\text{ [kW]}$$
最も近い値は (4) の $26\,000$ となります。
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