【ラプラス変換】RL直列回路の過渡応答

理論（電験）

2017.05.142024.06.15

この記事では、ラプラス変換でRL直列回路の過渡応答の式を求める方法についてまとめました。

RL回路(ラプラス変換)

（ $V_i$ ：入力電圧、 $R$ ：抵抗値、 $L$ ：コイルのインダクタンス、 $V_R$ ：抵抗Rにかかる電圧、 $V_L$ ：コイルLにかかる電圧、 $i$ ：回路全体に流れる電流値）

RL直列回路の過渡応答の式をラプラス変換を用いて導出します。

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キルヒホッフの定理より次式が成立します。

(1) $\begin{eqnarray*} V_i = L\frac{di(t)}{dt} + Ri(t) \end{eqnarray*}$

上式をラプラス変換すると

(2) $\begin{eqnarray*} \frac{V_i}{s} = sLI(s)+ RI(s)=\frac{I(s)}{Ls+R} \end{eqnarray*}$

となります。(V_iはステップ応答）

この式を電流 $I(S)$ について変形すると

(3) $\begin{eqnarray*} I(s)&=&\frac{V_i}{s(Ls+ R)}=\frac{\frac{V_i}{L}}{s(s+ \frac{R}{L})}=\frac{\frac{RV_i}{L}}{Rs(s+ \frac{R}{L})}\\ &=& \frac{V_i}{R} \left[ \frac{\frac{R}{L}}{s(s+\frac{R}{L})}\right]\\ &=& \frac{V_i}{R} \left[ \frac{\frac{R}{L}}{s(s+\frac{R}{L})}\right] \end{eqnarray*}$

となります。ここで、上式を逆ラプラス変換すると回路全体に流れる電流 $i(t)$ は

(4) $\begin{eqnarray*} i(t) =\frac{V_i}{R} (1-V_i^{-\frac{R}{L}t}) \end{eqnarray*}$

となります。（時間が経つと電荷は $V_i/R$ に収束）

抵抗 $R$ にかかる電圧 $V_R(t)$ は

(5) $\begin{eqnarray*} V_R(t)=RI(t)=V_i (1-V_i^{-\frac{R}{L}t}) \end{eqnarray*}$

となります。（時間が経つと入力電圧 $V_i$ に収束）

コイル $L$ にかかる電圧 $V_L(t)$ はキルヒホッフの法則より

(6) $\begin{eqnarray*} V_L(t)=V_i-V_R(t)V_i^{-\frac{R}{L}t} \end{eqnarray*}$

となります。(証明終わり)

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