この記事では、ラプラス変換でRL直列回路の過渡応答の式を求める方法についてまとめました。
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RL回路(ラプラス変換)
（$V_i$：入力電圧、$R$：抵抗値、$L$：コイルのインダクタンス、$V_R$：抵抗Rにかかる電圧、$V_L$：コイルLにかかる電圧、$i$：回路全体に流れる電流値）
RL直列回路の過渡応答の式をラプラス変換を用いて導出します。
キルヒホッフの定理より次式が成立します。
\begin{eqnarray}
V_i = L\frac{di(t)}{dt} + Ri(t)
\end{eqnarray}
上式をラプラス変換すると
\begin{eqnarray}
\frac{V_i}{s} = sLI(s)+ RI(s)=\frac{I(s)}{Ls+R}
\end{eqnarray}
となります。(V_iはステップ応答）
この式を電流$I(S)$について変形すると
\begin{eqnarray}
I(s)&=&\frac{V_i}{s(Ls+ R)}=\frac{\frac{V_i}{L}}{s(s+ \frac{R}{L})}=\frac{\frac{RV_i}{L}}{Rs(s+ \frac{R}{L})}\\
&=& \frac{V_i}{R} \left[ \frac{\frac{R}{L}}{s(s+\frac{R}{L})}\right]\\
&=& \frac{V_i}{R} \left[ \frac{\frac{R}{L}}{s(s+\frac{R}{L})}\right]
\end{eqnarray}
となります。ここで、上式を逆ラプラス変換すると回路全体に流れる電流$i(t)$は
\begin{eqnarray}
i(t) =\frac{V_i}{R} (1-V_i^{-\frac{R}{L}t})
\end{eqnarray}
となります。（時間が経つと電荷は$V_i/R$に収束）
抵抗$R$にかかる電圧$V_R(t)$は
\begin{eqnarray}
V_R(t)=RI(t)=V_i (1-V_i^{-\frac{R}{L}t})
\end{eqnarray}
となります。（時間が経つと入力電圧$V_i$に収束）
コイル$L$にかかる電圧$V_L(t)$はキルヒホッフの法則より
\begin{eqnarray}
V_L(t)=V_i-V_R(t)V_i^{-\frac{R}{L}t}
\end{eqnarray}
となります。(証明終わり)
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