電験3種（理論分野）で出題される「三相交流のΔ-Δ結線（デルタ・デルタ）とは？線間電圧の大きさが相電圧の√3倍になる理由などについて詳しく解説します。
ΔーΔ結線（デルタ・デルタ）
Δ結線（デルタ結線）とは、三相交流回路において3つの相を環状（三角形）に接続する方式です。電源側と負荷側の双方がこの結線である場合をΔ-Δ結線と呼びます。
ドットあり（$\dot{V}$）：フェーザ（複素数）。大きさだけでなく位相（向き）の情報を含む。
ドットなし（$V$）：実効値。複素数の絶対値 $|\dot{V}|$ を表し、電圧の大きさのみを指す。
電源が対称三相交流（各相の電圧の大きさが$E$で等しく、位相が $120^\circ$ ずつずれている状態）であり、かつ負荷が平衡負荷（各相のインピーダンス $Z$ がすべて等しい）である場合、以下の関係が成立します。
ポイント
Δ-Δ結線のポイントを整理すると以下表のとおりです。
| 項目 | 関係式（実効値） | 位相の関係 |
|---|---|---|
| 電圧 | $V = E = ZI$ | 線間電圧$V$、電源の相電圧$E$、負荷の電圧降下$ZI$は等しい（同位相） |
| 電流 | 線電流 = 相電流$I$ × $\sqrt{3}$ | 線電流は、相電流$I$の $\sqrt{3}$ 倍（位相は$30^\circ$ 遅れる） |
| 三相電力 | $P = 3EI \cos \theta = \sqrt{3} V I \cos \theta$ | 3つの負荷で消費される全電力 $P$は1相分の消費電力の3倍 |
主な特徴
Δ-Δ結線の主な特徴は以下のとおりです。
② V結線への移行・・・3台の単相変圧器で運用している場合、1台が故障しても残りの2台でV結線として送電を継続できる（出力は $1/\sqrt{3}$ に低下）利点があります。
③ 中性点がない・・・Y結線と異なり物理的な中性点を持たないため、中性点接地が必要な高電圧系統には不向きな側面もあります。
線間電圧と相電圧の関係
$\Delta-\Delta$結線では、電源の各相がそのまま隣り合う線路の間に接続されます。デルタ結線では、電源の端子が直接線路 $a, b, c$ に繋がっています。また、負荷側も同様に線路 $a, b$ が直接負荷インピーダンスの両端に接続されています。よって、線間電圧、相電圧、各負荷の電圧降下は等しくなります。
$$V = E = ZI$$
例えば、$a-b$ 線間の電圧 $V_{ab}$ は、電源の $ab$ 相の巻線電圧 $E_{ab}$ そのものです。また、$a-b$ 負荷の電圧降下$Z_{a}I_1$ とも等しくなります。
線電流と相電流の関係
$\Delta$結線された負荷において、線路を流れる「線電流」と、負荷の中を流れる「相電流」の関係を導出します。接続点（ノード） $a$ において、キルヒホッフの第1法則（電流則）を適用すると、流入する線電流 $\dot{I}_a$ は、そこから分岐する相電流を用いて次のように表せます。
$$ \dot{I_a} = \dot{I_{ab}} – \dot{I_{ca}} $$
大きさ（実効値）の導出
平衡三相交流では、各相の電流（実効値を $I_p$ とする）は互いに $120^\circ$ の位相差を持ちます。基準となる相電流を $\dot{I_{ab}} = I_p$ とすると、 $\dot{I_{ca}}$ はそれより $120^\circ$ 進んでいるため、以下のように計算できます。
$$\dot{I}_a = I_p – I_p \left( -\frac{1}{2} + j\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = I_p \left( \frac{3}{2} – j\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$$
この絶対値（実効値 $I$）を求めると、
$$I = |\dot{I}_a| = \sqrt{\left( \frac{3}{2} I_p \right)^2 + \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} I_p \right)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} I_p = \sqrt{3} I_p$$
となります。
位相の関係
上記の計算結果から、位相角 $\phi$ を求めると、
$$\tan \phi = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2} I_p}{\frac{3}{2} I_p} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \implies \phi = -30^\circ$$
となります。
三相電力の計算
負荷（$\Delta$結線）で消費される全電力 $P$ は、各相の電力を合計したものです。負荷1相あたりの消費電力は $V_p I_p \cos \theta$ なので、全電力 $P$ はその3倍となります。
$$P = 3 V_p I_p \cos \theta$$
ここで、$\Delta$結線の関係式である $V_p = V$ および $I_p = \frac{I}{\sqrt{3}}$ を代入すると、
$$P = 3 V \left( \frac{I}{\sqrt{3}} \right) \cos \theta = \sqrt{3} V I \cos \theta$$
となり、他の結線方式と同様の公式が導かれます。
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