合成インダクタンスとは?和動接続、差動接続の違いと計算式と計算問題について解説します。
合成インダクタンスの計算(和動接続、差動接続)
- 上図のようなトランスにおいて、2つのコイルが磁気的に結合して巻かれている時、合成インダクタンスは以下の式で求まります。
$L=L_1+L_2\pm 2M$
- $L_1, L_2$はそれぞれコイル$A, B$の自己インダクタンス、$2M$は相互インダクタンスです。
- 相互インダクタンス$M$は以下の式で計算できます。
$M=k\sqrt{L_1L_2}$
- $k$は結合係数と呼ばれ、$0\leq k \leq 1$となります。
-
合成インダクタンスの計算式を使うときに注意するのは、$M$の前についている符号です。
- この符号は、「コイル$A, B$に同じ向きの電流を流した時の磁束(磁力線)の方向」で決まります。
条件 | 符号 |
---|---|
磁束(磁力線)の向きが同じ | 符号は+(和動接続=磁束が強め合う) |
磁束(磁力線)の向きが逆 | 符号は-(差動接続=磁束が弱め合う) |
- 磁束(磁力線)の向きは「右手親指の法則」で簡単にわかります。そのため、合成インダクタンスを計算するときは、コイルの巻き方向に注意する必要があります。
ちなみに上記の図の場合、端子$A,B$に直流電圧を加えると2つのコイルの磁束(磁力線)の向きが異なるため差動接続となります。
【例題1】コイルの自己インダクタンスと相互インダクタンスの計算
【問題】
図のような環状鉄心に巻かれたコイルについて、
- 端子1−2間の自己インダクタンス$L_{12}$が40mH
- 端子3−4間の自己インダクタンスが10mH
- 端子2と3を接続した状態での端子1−4間のインダクタンスが$L_{14}=86mH$
であったとき、端子1−2間のコイルと端子3−4間のコイルとの間の結合係数$k$を求めよ。
【解答】
- 端子 1−2 間の自己インダクタンスを$L_{12}=40$[mH]、端子3−4間の自己インダクタンスを$L_{34}=10[mH]$とおくと、相互インダクタンス$M$は以下のとおり。
$M=k\sqrt{L_{12}L_{34}}=k\sqrt{40\cdot 10}=20k$
- 端子2と3を接続した状態は和動接続となるため、合成インダクタンス$L_{14}$は以下のとおり。
$L_{14}=L_{12}+L_{34}+ 2M = 40+10+20k=86$
$k = 0.9$
【例題1】コイルの合成インダクタンスの計算
【電験3種 理論 平成29年度 問題3】
環状鉄心に、コイル1及びコイル2が巻かれている。
二つのコイルを図1のように接続したとき、端子 A−B 間の合成インダクタンスの値は 1.2 H であった。
次に、図2のように接続したとき、端子 C−D 間の合成インダクタンスの値は 2.0 H であった。
このことから、コイル1の自己インダクタンス の値 [H] 、コイル1及びコイル2の相互インダクタンス の値 [H] を求めよ。
ただし,コイル1及びコイル2の自己インダクタンスはともに [H]、その巻数を とし,また,鉄心は等断面、等質であるとする。
【解答】
- 図1は差動接続で、そのときの合成インダクタンスが$1.2[H]$なので以下の式が成立する。
$L=L_1+L_2-2M$
$1.2 = L+L-2M$
$0.6 = L-M$・・・①
- 図2は和動接続で、そのときの合成インダクタンスが$2.0[H]$なので以下の式が成立する。
$L=L_1+L_2+2M$
$2 = L+L+2M=$
$1 =L+M$ ・・・②
- ①②の連立方程式を解くと$L=0.8, M=0.2$と求まる。
参考動画
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