【磁界とは】磁力線、磁束、磁束鎖交数、自己インダクタンス、相互インダクタンス【電験3種・理論】

磁界、磁力線、磁束、磁束鎖交数、自己インダクタンス、相互インダクタンスとは?試験対策と計算問題について解説します。

磁力線、磁束、磁束鎖交数、自己インダクタンス、相互インダクタンス
点磁荷のクーロン法則
磁界中の電子運動
【例題1】点磁荷のクーロン法則
【例題2】中空鉄心中の磁束
【例題3】単位記号
参考動画
関連リンク

磁力線、磁束、磁束鎖交数、自己インダクタンス、相互インダクタンス

磁力線
- 磁極の働きを理解するのに考えた仮想的な線。
磁力線の特徴
- 磁石のN極から出てS極に入る。
- 磁極m[Wb]からは、磁力線(本数は $N=\frac{m}{\mu}$ 本)が出入りする。ここで、磁極周囲の物質の透磁率はμ[H/m]とする。
- 磁力線の接線の向きは、その点の磁界の向きを表す。
- 磁力線の密度は、その点の磁界の強さを表す(磁束密度と間違えないように注意)。
- 磁力線同士は、互いに反発し合い、交わらない。
磁束 $\varphi =BS$ [Wb]
- 垂直断面を貫く磁束線の総本数[Wb]。
- 垂直断面の面積:S、磁束密度:B
磁束鎖交数 $\Phi = N \varphi = LI$ [Wb]
- N巻のコイル全体を貫く磁力線の本数[Wb]
自己インダクタンスL[H]
- コイルに電流を流した時、コイルに発生する磁束鎖交数 $\Phi$ [Wb]は、電流 $I$ [A]に比例します。この比例定数を自己インダクタンスL[H]といいます。
自己インダクタンス $L$ の $N$ 巻コイルに電流 $I$ を流すとき、磁束 $\varphi$ [Wb]と磁束鎖交数 $\Phi$ [Wb]は次式で計算できます。

$\Phi=N\varphi=LI$

$\varphi=\frac{LI}{N}$

コイルに電流を流した時、コイルに発生する磁束鎖交数 $\Phi$ [Wb]は、電流 $I$ [A]に比例します。
この比例定数を自己インダクタンスL[H]といいます。

点磁荷のクーロン法則

点磁荷のクーロン法則ですが、考え方は点電荷と同じようなものです。
点電荷 $Q$ が点磁荷 $m$ ，電界の強さ $E$ が磁界の強さ $H$ 、真空の誘電率 $epsilon_0$ が真空の透磁率 $\mu_0$ となります。

真空中で距離 $r$ 離れた二つの磁荷 $m_A, m_B$ に加わる $F$ は、真空の透磁率を $\mu_0$ とすると以下の式で計算できます。

$F=\frac{m_Am_B}{4\pi \mu_0 r^2}$

磁荷 $m$ から離れた点における磁界の強さ $H$ は以下の式で計算できます。

$H=\frac{m}{4\pi \mu_0 r^2}$

磁界中の電子運動

【電験3種理論平成30年問12】で赤字箇所が穴埋め問題として出題されました。

図のように、平等磁界の存在する真空かつ無重力の空間に，電子を $x$ 方向に初速度v[m/s] で放出する。
平等磁界は $z$ 方向であり磁束密度の大きさ $B[T]$ をもつとし、電子の質量を $m[kg]$ 、素電荷の大きさを $e[C]$ とする。
ただし、紙面の裏側から表側への向きを $z$ 方向の正とし、 $v$ は光速に比べて十分小さいとする。
このとき、電子の運動は等速円運動となり、時間 $T=\frac{2\pi m}{eB}[s]$ 後に元の位置に戻ってくる。
- (理由)フレミングの左手の法則より、電子に対しては、回転円の中心に向かう力が加わるため。
電子の放出直後の軌跡は破線矢印の $a$ のようになる。
- (理由)フレミングの左手の法則より、電流の向きが $-x$ 方向、磁界の向きが $z$ 方向、力の向きは $y$ 方向なので、電子は $a$ 方向に動く。
一方、電子を磁界と平行な $z$ 方向に放出すると、電子の運動は等速直線運動となる。
- (理由)電子を $z$ 方向に放出すると、電子には一切力が加わらず、等速直線運動になる。

【補足】 $T=\frac{2\pi m}{eB}[s]$ となる理由

電子に加わる電磁力 $F=evB$ と向心力 $F=\frac{mv^2}{r}$ は等しいので、

$evB=\frac{mv^2}{r}$

$r=\frac{mv}{eB}$

の等速円運動となる。よって、電子が元の位置に戻るまでの時間Tは、以下のとおり。

$T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi}{v}\frac{mv}{eB}=\frac{2\pi m}{eB}[s]$

【例題1】点磁荷のクーロン法則

【電験3種理論平成30年問3】

長さ $2m$ の直線状の棒磁石があり、その両端の磁極は点磁荷とみなすことができ、その強さは、N極が $1\times 10^{−4}[Wb]$ 、S極が $−1\times 10^{−4}[Wb]$ である。
図のように、この棒磁石を点BC間に置いた。このとき、点Aの磁界の大きさ[A/m]を求めよ。

ただし、点A、B、Cは、一辺を2mとする正三角形の各頂点に位置し、真空中にあるものとする。
真空の透磁率は $\mu_0=4\pi \times 10^{-7}[H/m]$ とする。また、N極、S極の各点磁荷以外の部分から点Aへの影響はないものとする。

【解答】

点Bの磁荷 $1\times 10^{−4}$ [Wb]による磁界の大きさ $H_B$ は以下のとおり。

$H_B=\frac{m}{4\pi \mu_0 r^2}=\frac{m}{4\pi \mu_0 r^2}\frac{1\times 10^{-4}}{4\pi \times 4\pi \times 10^{-7}\times 2^2}=1.58$ [A/m]

となる。また，点Cの磁荷 $1\times 10^{−4}$ [Wb]による磁界の大きさ $H_C$ も $H_B$ と同じ大きさとなる。
$H_B, H_C$ が正三角形の辺となっていることから、その合成磁界Hの大きさもH_Bと同じ1.58 [A/m]となる。

【例題2】中空鉄心中の磁束

【電験3種理論平成28年問4】

図のように，磁極 N，S の間に中空球体鉄心を置くと， N から S に向かう磁束は，鉄心中を通るようになる。
このとき，球体鉄心の中空部分(内部の空間)の点 A では，磁束密度は極めて小さくなる。これを磁気遮へいという。
ただし，磁極 N，S の間を通る磁束は，中空球体鉄心を置く前と置いた後とで変化しないものとする。

【例題3】単位記号

【電験3種理論平成23年問14】

電気及び磁気に関係する量とその単位記号（他の単位による表し方を含む）との組合せとして，誤っているものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1)導電率 S／m

→正しい。

(2)電力量 W⋅s

→正しい。

(3)インダクタンス Wb／V

→誤り。$L=\fracN{\phi}{I}$より、[Wb/A]が正しい。

(4)磁束密度 T

→正しい。 $B=\frac{\phi}{S}$ より単位が $[Wb/m^2]$ で表されることもある。

(5)誘電率 F／m　　　

→正しい( $\epsilon=\frac{Cd}{S}$ )。　

参考動画

初心者向け電験三種・理論・1・クーロンの法則【超簡単に学ぶ！】第三種電気主任技術者