電験3種（理論）で出題される「第3高調波」の仕組み、計算方法、過去問題について解説します。
第3高調波とは
第3高調波とは、基準となる周波数（基本波）の3倍の周波数を持つ波のことです。
交流の電気や音などの周期的な波形において、土台となる最も低い周波数成分を基本波と呼びます。この基本波の整数倍の周波数を持つ成分を高調波と呼び、その中で周波数がちょうど3倍のものが第3高調波に当たります。
例えば、基本波の周波数を $f \text{ [Hz]}$ とすると、第3高調波の周波数は $3f \text{ [Hz]}$ です。基本波が $50 \text{ Hz}$ ならば第3高調波は $150 \text{ Hz}$、基本波が $60 \text{ Hz}$ ならば $180 \text{ Hz}$ となります。
数学的には、基本波が $\sin \omega t$ で表されるとき、第3高調波は $\sin 3\omega t$ と表記されます。本来、理想的な交流電力はきれいな正弦波ですが、電気機器の影響などでこの第3高調波などの成分が混ざると、波形が歪んで「非正弦波」と呼ばれる形になります。基本波に第3高調波が加わることで、波形の頂上が平らになったり、逆に尖ったりする変形が起こります。
【令和6年度上期・問9】非正弦波交流による電力
次式に示す電圧 $e \text{ [V]}$ 及び電流 $i \text{ [A]}$ による電力の値 $\text{[kW]}$ として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
$e = 100 \sin \omega t + 50 \sin \left( 3\omega t – \frac{\pi}{6} \right) \text{ [V]}$
$i = 20 \sin \left( \omega t – \frac{\pi}{6} \right) + 10\sqrt{3} \sin \left( 3\omega t + \frac{\pi}{6} \right) \text{ [A]}$
| – | (1) | (2) | (3) | (4) | (5) |
|---|---|---|---|---|---|
| 電力 $\text{[kW]}$ | 0.95 | 1.08 | 1.16 | 1.29 | 1.34 |
解説
正解は(2)です。
非正弦波交流の有効電力は、各周波数成分（基本波と高調波）ごとの有効電力の和として求められます。
基本波（周波数 $\omega$）
電圧の最大値 $E_{m1} = 100 \text{ [V]}$、位相 $\theta_{v1} = 0$
電流の最大値 $I_{m1} = 20 \text{ [A]}$、位相 $\theta_{i1} = -\frac{\pi}{6}$
第3高調波（周波数 $3\omega$）
電圧の最大値 $E_{m3} = 50 \text{ [V]}$、位相 $\theta_{v3} = -\frac{\pi}{6}$
電流の最大値 $I_{m3} = 10\sqrt{3} \text{ [A]}$、位相 $\theta_{i3} = \frac{\pi}{6}$
各成分の有効電力を計算します。実効値は「最大値 / $\sqrt{2}$」であるため、電力の式は $P = \frac{E_m}{\sqrt{2}} \cdot \frac{I_m}{\sqrt{2}} \cdot \cos(\theta_v – \theta_i) = \frac{E_m I_m}{2} \cos(\theta_v – \theta_i)$ となります。
基本波の電力 $P_1$
$P_1 = \frac{100 \times 20}{2} \cos(0 – (-\frac{\pi}{6})) = 1000 \cos \frac{\pi}{6} = 1000 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 500\sqrt{3} \approx 866.0 \text{ [W]}$
第3高調波の電力 $P_3$
$P_3 = \frac{50 \times 10\sqrt{3}}{2} \cos(-\frac{\pi}{6} – \frac{\pi}{6}) = 250\sqrt{3} \cos(-\frac{\pi}{3}) = 250\sqrt{3} \times \frac{1}{2} = 125\sqrt{3} \approx 216.5 \text{ [W]}$
全有効電力 $P$
$P = P_1 + P_3 = 866.0 + 216.5 = 1082.5 \text{ [W]}$
単位を [kW] に変換します。
$1082.5 / 1000 = 1.0825 \approx 1.08 \text{ [kW]}$
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