【電験3種・電力】電線路の電圧降下、損失、フェランチ効果の試験対策と過去問題を解説

電験3種（電力）で出題される電線路の電圧降下、損失、フェランチ効果の試験対策と過去問題を解説します。

単相2線式 配電線路の電圧降下

単相二線式の配電線路では、負荷に対して供給される線路と戻りの線路で電圧降下が発生します。 負荷の力率(遅れ力率)$cos\theta$のとき、回路図とベクトル図は以下のとおり。

$\dot{E}$と$\dot{V}$の位相差が十分に小さいとき、配電線路の電圧降下$\epsiron = E-V$は以下のとおり。

$ E \simeq V+2RIcos\theta + 2XIsin\theta $

$E-V=2RIcos\theta + 2XIsin\theta$

$ \epsilon = 2I(Rcos\theta + Xsin\theta) $

↑ この式は要暗記。

配電線路の線間電圧$V[V]$、線電流$I[A]$、力率$cos\theta$のとき、送電電力$P[W]$は以下のとおり。

$P=VIcos\theta$

↑ この式は要暗記。

3相3線式 配電線路の電圧降下

3相3線式の電線路では、荷の力率(遅れ力率)$cos\theta$のとき、一相分の等価回路とベクトル図は以下のようになる。

配電線路の三相分の電圧降下$\epsiron$は以下のとおり。

$ \frac{E}{\sqrt{3}} \simeq \frac{V}{\sqrt{3}}+RIcos\theta + XIsin\theta $

$\frac{E}{\sqrt{3}} – \frac{V}{\sqrt{3}}=RIcos\theta + XIsin\theta$

$ E-V = \sqrt{3}(RIcos\theta + XIsin\theta) $

$ \epsilon = \sqrt{3}I(Rcos\theta + Xsin\theta) $

↑最後の式は要暗記。

配電線路の線間電圧$V[V]$、線電流$I[A]$、力率$cos\theta$のとき、送電電力$P[W]$は以下のとおり。

$P=\sqrt{3}VIcos\theta$

↑ この式は要暗記。

【例題1】単相２線式配電線路の電圧降下と負荷電流

単相 2 線式の配電線路において、電線 1 線当たりの抵抗と長さは、a−b 間で 0.3 [Ω/km]及び250[m]、b−c 間で 0.9 [Ω/km] 及び100 [m]である。このとき、次の①②の値を計算せよ

①b−c 間の 1 線の電圧降下$v_{bc}$ [V] 及び負荷 B と負荷 C の負荷電流$i_b, ic$[A]を求めよ。 ただし、給電点aの線間の電圧値と負荷点c線間の電圧値の差を12.0[V] とし， a−b間の1線の電圧降下$v{ab}=3.75 [V]$とする。負荷の力率はいずれも100[％] 、線路リアクタンスは無視するものとする。

②　次に、図の配電線路で抵抗に加えて a−c 間の往復線路のリアクタンスを考慮する。 このリアクタンスを 0.1 [Ω] とし、 b 点には無負荷で$i_b=0$ [A] ， c点には受電電圧が 100 [V] 、遅れ力率0.8、1.5 [kW] の負荷が接続されているものとする。このとき、給電点 a の線間の電圧値と負荷点 c の線間の電圧値 [V] の差を計算せよ。

解説①

題意の図から回路図を描くと以下のようになる。

キルヒホッフの法則より、以下の式が成立する。

$vc+12=v{ab}+v_{bc}+vc+v{bc}+v_{ab}$

$v{ab}=3.75[V]$なので、上式に代入すると$v{bc}が求まる。$

$v{bc}=6-v{ab}=6-3.75=2.25[V]$

抵抗$Rab$及びR{bc}は以下となる。

$R{ab}=r{ab}\times 0.25=0.075$[Ω]

$R{bc}=r{bc}\times 0.1=0.09$[Ω]

よって、負荷Cに流れる電流$i_c$が求まる。

$ic=\frac{v{bc}}{R_{bc}}=\frac{2.25}{0.09}=25[A]$

a−b 間を流れる電流$i_b+i_c$は以下のように求まる。

$ib=\frac{v{ab}}{R_{ab}}-i_c=\frac{3.75}{0.075}-25=25$[A]

解説②

往復線路のリアクタンスが 0.1 [Ω] なので、1線あたりのリアクタンスは X=0.05 [Ω] となる。

負荷 C に流れる電流$i_c$は、以下のように求まる。

$P_c=v_ci_ccos\theta$

$i_c=\frac{P_c}{v_ccos\theta}=\frac{1.5\times10^3}{100\times 0.8}=18.75$[A]

また、$sin\theta$は以下のように求まる。

$sin\theta=\sqrt{1-cos^2\theta}=\sqrt{1-0.8^2}=0.6$

よって、電圧降下は公式に代入すると6.1[V]と求まる。

$\epsilon = 2ic((R{ab}+R_{bc})cos\theta+Xsin\theta) = 2\times 18.75\times{(0.075+0.09)\times 0.8 + 0.05 \times 0.6}=6.1$[V]$

送電線の送電容量

送電端電圧$V_s$、受電端電圧$V_r$、送電線路のリアクタンスを$X$、$V_s$と$V_r$の相差角が$\delta$のとき、送電電力$P$は以下の式で計算できる(要暗記)。

$P = \frac{V_sV_r}{X}sin \delta$

つまり、送電端電圧$V_s$、受電端電圧$V_r$の差が小さい時、送電電力Pは電圧の2乗に比例する。

【令和2年度・問16】三相平衡負荷を流れる電流及び送電損失

三相3線式2回線送電線路(こう長25km、2回線運用中)に三相平衡負荷5000kW(受電端電圧22 kV、遅れ力率 0.9) が接続されているとき、以下の①②を計算せよ。 ①送電線1線あたりの電流値 [A] ②送電損失を三相平衡負荷に対し 5 ％ 以下にするための送電線 1 線の最小断面積の値 [mm2] ※使用電線は、断面積$1[mm^2]$、長さ1m当たりの抵抗が$\frac{1}{35}$[Ω]

解説①

2回線に流れる電流値Iは以下のとおり。

$I=\frac{P_r}{\sqrt{3}V_rcos\theta}=\frac{5000\times 10^3}{\sqrt{3}\times 22\times 10^3 \times 0.9}=145.8$

よって、1回線に流れる電流は、この半分の72.9Aとなる。

解説②

送電線1線の断面積を$S[mm^2]$ とすると、抵抗値R [Ω]は以下のとおり

$R=\rho \frac{l}{S}=\frac{1}{35}\frac{25\times 10^3}{S}=\frac{714.3}{S}$

2回線分の送電線の損失P[kW] は以下のとおり。

$P=2\times3RI^2=6 \cdot \frac{714.3}{S}\cdot 72.9^2=\frac{22780}{S}$

$P$が受電電力の5%以下になれば良いので、そのときのSの最小値は以下で求まる。

$0.05\times 5000 =\frac{22780}{S}$

$S=91.1$[mm2]

【平成24年度・問10】三相平衡負荷を流れる電流及び送電損失

こう長 20 [km] の三相 3 線式 2 回線の送電線路がある。 受電端で 33 [kV] ， 6600 [kW] ，力率 0.9 の三相負荷に供給する場合，受電端電力に対する送電損失を 5 [％] 以下にするための電線の最小断面積$[mm^2]$の値を計算せよ。

ただし，使用電線は，断面積 1$[mm^2]$，長さ 1 [m] 当たりの抵抗を 135[Ω] とし，その他の条件は無視する。

解説

題意より，受電端電圧$V_r=33 [kV] $，受電端電力$P_r=6600 [kW]$，力率$cos\theta=0.9$なので、 三相負荷を流れる電流$I_L[A]$は以下のとおり128.3[A]と求まる。

$P_r=\sqrt{3}V_rI_Lcos\theta$

$I_L=\sqrt{P_r}{\sqrt{3}V_rcos\theta}=\frac{6600\times 10^3}{\sqrt{3}\times 33\times 10^3 \times 0.9}=128.3[A]$

送電線1回線当たりの電流の大きさ$I_l[A]$は、$I_L[A]$の半分の64.15[A]となる。 送電線1線当たりの抵抗値R[Ω] は、断面積$S[mm^2]$とすると以下の通り。

$R=\frac{\ro l}{S}=\frac{\frac{1}{35}\cdot 20 times 10^3}{S}=\frac{571.4}{S}$[Ω]

三相3線式2回線なので、送電線の損失$P_l$[kW]は以下のとおり。

$P_l=2\times 3RI_l^2=6\times \frac{571.4}{S}\times 64.15^2=\frac{14110000}{S}[W]$

題意より，この値が受電電力の 5 [％] 以下になるので、Sは以下のとおり$42.8[mm^2]$と求まる。

$P_l= 0.05P_r$

$\frac{14110000}{S} = 0.05 \times 6600000$

$S = 42.8$

【令和4年度上期・問8】送電線路での抵抗による全電力損失

受電端電圧$V_r=20[kV]$の三相3線式の送電線路において、受電端での電力P=2000[kW]、力率が0.9(遅れ)である場合、この送電線路での抵抗による全電力損失$P_L$[kW]を求めよ。 ただし、送電線1線当たりの抵抗値は9Ωとし、線路のインダクタンスは無視するものとする。

解説

三相線路の送電電力P、受電端電圧$V_r$，電流I、力率$cos\theta$の関係式は以下のとおり。

$P=\sqrt{3}VIcos\theta $

よって、題意と上式より電流Iは64.15[A]と求まる

$I=\frac{P}{\sqrt{3}Vcos\theta}=\frac{2000\times10^3}{20\times 10^3 \cdot 0.9} =64.15[A]$

題意より、送電線1線当たりの抵抗$r=9$[Ω]なので、送電線路での全電力損失$P_L$[kW]は以下のとおり111[kW]と求まる。

$ P_L = 3rI^2=3\times 9\times (64.15)^2=111111[W]=111[kW]$

【平成29年度・問11】送電線の損失

下図のような単相2線式及び三相4線式のそれぞれの低圧配電方式で、抵抗負荷に送電したところ送電電力が等しかった。 このときの三相4線式の線路損失は単相2線式の何[％]となるか求めよ。 ただし、三相4線式の結線はY結線で、電源は三相対称、負荷は三相平衡であり、それぞれの低圧配電方式の1線当たりの線路抵抗r、回路図に示す電圧Vは等しいものとする。また、線路インダクタンスは無視できるものとする。

解説

単相2線式の場合、相電圧$V_1$、電流$I_1$、線路抵抗$r_1$のとき、電力$P_1$と線路損失$p_1$は以下の式で計算できる。

$P_1=V_1I_1$

$p_1=2r_1I_1^2=\frac{2r_1P^2_1}{V^2_1}$

三相交流(4線式)の場合、相電圧$V_2$、電流$I_2$、線路抵抗$r_2$のとき、電力$P_3$と線路損失$p_3$は以下の式で計算できる。

$P_1=3V_2I_2$

$p_3=3r_2I_2^2=\frac{r_2P^2_2}{3V^2_2}$

題意より、「送電電力が等しい」ので$P_1=P_2=P$、図より$r_1=r_2=r$と$V_1=V_2=V$となるため、以下の式より16.7%と計算できる。

$\frac{p_3}{p_1}=\frac{\frac{r_2P^2_2}{3V^2_2}}{\frac{2r_1P^2_1}{V^2_1}}=0.167$

【平成27年度・問10】ケーブルの誘電体損

電圧66kV，周波数50Hz，こう長5kmの交流三相3線式地中電線路がある。ケーブルの心線1線当たりの静電容量が0.43F/km，誘電正接が0.03％であるとき，このケーブル心線3線合計の誘電体損の値[W]を求めよ。

解説

角周波数$w$，周波数$f$，静電容量$C$，誘電正接$tan\delta$のとき、誘電体損$W_d$は以下の計算式で求まる(要暗記)。

$W_d=wCV^2tan\delta=2\pi fCV^2tan\delta$

ここで、題意より静電容量C$は以下のとおり求まる。

$C=0.43\times 10^{-6}\times 5 = 2.15 \times 10^{-6} [F]$

公式に代入すれば$W_d=883[W]$と求まる。

$W_d=2\pi \times 50 \times (2.15 \times 10^{-6})\times (66\times 10^3)^2 \times 0.0003 = 883[W]$

【平成26年度・問16】送電線の1線地絡事故

上図のように、中性点をリアクトルLを介して接地している公称電圧66 kVの系統がある(Cは送電線の対地静電容量に相当する等価キャパシタ)。 図に表示されていない電気定数は無視するとき、次の①②の値を求めよ。

①送電線の線路定数を測定するために、図中のA点で変電所と送電線を切り離し、A点での送電線の3線を一括して、これと大地間に公称電圧の相電圧相当の電圧を加えて充電すると、一括した線に流れる全充電電流は115 Aであった。 このとき、この送電線の1相当たりのアドミタンスの大きさ[mS]を求めよ。

②図中のB点のa相で1線地絡事故が発生したとき、地絡点を流れる電流を零とするために必要なリアクトルLのインピーダンスの大きさ[Ω]を求めよ。ただし、送電線の電気定数は①で求めた値を用いる。

解説①

公称電圧の相電圧相当の電圧を加えた時の等価回路は以下図のようになる。

この回路に流れる電流$I=115[A]$、合成アドミタンスの大きさが3Yなので、以下の式より$Y=0.001[S]$となる。

$\frac{V}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3Y}I$

$\frac{66\times10^3}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3Y}115$

$Y=0.001[S]$

解説②

1線地絡事故時に地絡点に流れる電流を0とするためには、リアクトルとコンデンサの合成インピーダンスが0となるように調整する。よって以下の式から$X_L=333$[Ω]となる。

$X_L=\frac{1}{3Y}=\frac{1}{3 \times 0.001}=333$[Ω]

【平成25年度・問16】架空送電線路の力率計算

図のように、特別高圧三相3線式1回線の専用架空送電線路で受電している需要家がある。 需要家の負荷は， 40 [MW] ，力率が遅れ 0.87 で，需要家の受電端電圧は 66 [kV] である。 ただし，需要家から電源側をみた電源と専用架空送電線路を含めた百分率インピーダンスは，基準容量 10 [MV⋅A] あたり 6.0 [％] とし，抵抗はリアクタンスに比べ非常に小さいものとする。その他の定数や条件は無視する。 次の①②の値を求めよ。

① 需要家が受電端において、受電端電圧は変化しないとき、力率1の受電になるために必要なコンデンサの総容量 [Mvar]

② 需要家のコンデンサが開閉動作を伴うとき，受電端の電圧変動率を 2.0 [％] 以内にするために必要なコンデンサ単機容量 [Mvar] の最大値。

解説①

コンデンサの総容量$Q_c$と無効電力$Q$の大きさが等しいとき、力率が1(無効電力が0)となる。皮相電力Sとすると、以下のとおり$Q_c=22.7[Mvar]$と求まる。

$Q_c=Q=Ssin\theta=\frac{P}{cos\theta}=\frac{P}{cos\theta}\sqrt{1-cos^2\theta}=\frac{40}{0.87}\sqrt{1-0.8^2}=22.7$

解説②

コンデンサ投入時の1相分等価回路は以下のとおり。

電圧変動率$\epsilon=2.0$[％] なので、コンデンサ投入後の電圧$V_R$、基準電圧$V_n=66 [kV]$ とすると、以下のとおり$V_R=67.32[kV]$と求まる。

$\epsilon=\frac{V_R-V_n}{V_n}\times 100$

$2.0=\frac{V_R-66}{66}\times 100$

$V_R=67.32$

$X=Z$ なので、以下のとおりパーセントインピーダンス法の公式からZ=X=26.14[Ω]と求まる。

$\%Z=\frac{P_nZ}{V_n^2}\times 100$

$6=\frac{10\times 10^6 Z}{(66000)^2}\times 100$

$Z=26.14$

コンデンサ接続前後で、送電線に流れる電流が$I$から$I-I_c$に変化する。それぞれの受電電圧について方程式を立てる。

$V_n=V_s-\sqrt{3}XI$

$V_R=V_s-\sqrt{3}X(I-I_c)$

上2式を引き算して解くと、$I_c=29.15[A]と求まる。

$V_n-V_R=-\sqrt{3}XI_c$

$I_c=\frac{V_R-V_n}{\sqrt{3}}=\frac{(67320)-66000}{\sqrt{3}\times 26.14}=29.15$

コンデンサ容量$Q_c$は、以下のとおり3.3 [Mvar]と求まる。

$Q_c=\sqrt{3}V_nI_c=\sqrt{3}\times 66000 \times 29.15=3300000$[var]

【令和7年度上期・問13】力率変化と有効電力の比

三相3線式配電線により遅れ力率 70%, $W_1$ [kW]の負荷に電力を供給している。負荷が遅れ力率91%, $W_2$ [kW]に変化したが線路損失は変わらなかった。$W_2$ は $W_1$ の何倍か。最も近いものを次の(1)から(5)のうちから一つ選べ。ただし,負荷の端子電圧は変わらないものとする。

(1) 0.77 (2) 1.3 (3) 2.3 (4) 1.1 (5) 1.7

解説

正解は(2)です。

三相3線式配電線の線路損失 $P_l$ と有効電力 $P$、力率 $\cos\theta$ の関係式を用いて計算します。

線路損失 $P_l$ は以下の式で表されます。 $$P_l = \frac{R P^2}{V_r^2 \cos^2\theta}$$

問題文より、線路損失 $P_l$、線路抵抗 $R$、受電端電圧 $V_r$ が一定であるため、式中の $P / \cos\theta$ の値が一定である必要があります。 $$\frac{W_1}{\cos\theta_1} = \frac{W_2}{\cos\theta_2}$$ $$\frac{W_2}{W_1} = \frac{\cos\theta_2}{\cos\theta_1} = \frac{0.91}{0.70} = 1.3$$ したがって、 $W_2$ は $W_1$ の1.3倍となります。

【令和6年度下期・問16】T形回路による送電線路の計算

図 1 のような T 形回路(1 相分)があり、抵抗 $r = 20 \text{ Ω}$ 、リアクタンス $x = 80 \text{ Ω}$ 、アドミタンス $Y = 0.000 7 \text{ S}$ である。 $V_{r1} = 150 \text{ kV}$ 、 $I_r = 400 \text{ A}$ 、負荷の力率(遅れ) $\cos\theta_r = \frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき、次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a) $V_c$ [kV] として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) 134.2 (2) 152.3 (3) 161.9 (4) 172.0 (5) 180.4

(b) $V_{s1}$ [kV] として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) 145.9 (2) 155.4 (3) 160.6 (4) 170.1 (5) 180.7

解説

正解は (a)が(3)、(b)が(4)です。

※本問の $V_{r1}$ 等は相電圧として計算します。

(a) 受電端相電圧を基準 $\dot{V}_{r1} = 150000 \text{ [V]}$ とします。受電端電流は

$\dot{I}_r = 400 (\frac{\sqrt{3}}{2} – j\frac{1}{2}) = 200\sqrt{3} – j200 \text{ [A]}$

となります。そして、中央部電圧 $\dot{V}_c$ は以下のようになります。

$\dot{V}_c = \dot{V}_r + \dot{I}_r \times ( \frac{r}{2} + j \frac{x}{2} )$

$\dot{V}_c = 150000 + (346.4 – j200)(10 + j40) = 161464 + j11856 \text{ [V]}$

$V_c = \sqrt{161464^2 + 11856^2} \approx 161.9 \text{ [kV]}$

(b) 送電端電流 $ \dot{I}_{s} $ は、

$\dot{I}_s = \dot{I}_r + \dot{V}_c Y = 338.1 + j113 \text{ [A]}$

となります。送電端相電圧 $\dot{V}_{s1}$ は以下のようになります。

$\dot{V}_{s1} = \dot{V}_c + \dot{I}_s \times (\frac{r}{2} + j\frac{x}{2}) = 168325 + j24510 \text{ [V]}$

$V_{s1} = \sqrt{168325^2 + 24510^2} \approx 170.1 \text{ [kV]}$

以上より、(a)は(3)、(b)は(4)となります。

【令和6年度下期・問17】フェランチ現象

三相 3 線式 1 回線送電線の一相が図の $\pi$ 形等価回路で表され、送電線路のインピーダンス $jX = j200 \text{ Ω}$ 、アドミタンス $jB = j0.800 \text{ mS}$ とし、送電端の線間電圧が $66.0 \text{ kV}$ であり、受電端が無負荷のとき、次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a) 受電端の線間電圧の値 [kV] として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) 66.0 (2) 71.7 (3) 78.6 (4) 114 (5) 132

(b) 1 線当たりの送電端電流の値 [A] として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1) 15.2 (2) 16.6 (3) 28.7 (4) 31.8 (5) 55.1

解説

正解は (a)が(2)、(b)が(4)です。

(a) 無負荷時の受電端相電圧 $E_r$ は、送電端相電圧 $E_s$ との間に以下の関係があります。

$E_s = E_r (1 – \frac{XB}{2})$

$V_s = 66 \text{ kV}$ より、 $E_s = \frac{66}{\sqrt{3}} \text{ kV}$ です。 $XB/2 = 200 \times 0.8 \times 10^{-3} / 2 = 0.08$ なので、

$E_r = \frac{E_s}{0.92} \approx 1.087 E_s$

線間電圧 $V_r = 66 \times \frac{1}{0.92} \approx 71.7 \text{ [kV]}$

(b) 1 線当たりの送電端電流 $I_s$ を求めます。

$\dot{I}_s = j\frac{B}{2} E_s + j\frac{B}{2} E_r = j\frac{B}{2} (E_s + E_r)$

$I_s = \frac{0.8 \times 10^{-3}}{2} \times \left( \frac{66000}{\sqrt{3}} + \frac{71739}{\sqrt{3}} \right) \approx 31.8 \text{ [A]}$

したがって、(a)は(2)、(b)は(4)となります。

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