電験3種（電力）で出題される水力発電所及び揚水発電所の出力の解き方や過去問題について詳しく解説します。つ
基本公式・用語
理論水力
$P_0=9.8QH [kW]$
流量 $Q[m^3/s]$：単位時間にある断面を通過する水量。水が1秒間あたりに断面 $A[m^2]$ を速度 $v[m/s]$ で通過するとき、流量 $Q=Av[m^3/s]$ 。例えば水路の流量を測定するとき、水路の断面積は決まっているので、水路を流れる水の速度を測定すれば、流量も計算できます。
有効落差 $H[m]$：落差 $H_a$ から損失落差 $h_g$ を差し引いたもの。有効落差に相当する位置エネルギーが水車に動力として供給される。
有効落差
総落差 $H_a$ から損失落差 $h_g$ を差し引いたもの。有効落差に相当する位置エネルギーが水車に動力として供給される。
$H[m] = H_a – h_g$
総落差 $H_a[m]$：理論的な位置エネルギーを保有している高さ
損失落差 $h_g[m]$：摩擦などによる位置エネルギー損失分の高さ
水車出力
$P_w=9.8QH \eta_w [kW]$
水車効率 $\eta_w$：位置エネルギーを機械エネルギー(回転エネルギー)に変換する効率。
発電機出力
$P_g=9.8QH \eta_w \eta_g [kW]$
水車効率 $\eta_w$：位置エネルギーを機械エネルギー(回転エネルギー)に変換する効率。
発電機効率 $\eta_g$：機械エネルギー(回転エネルギー)を電力に変換する効率。
年間発電電力量
$W_y=P_g \alpha 8760 [kWh]$
$\alpha$ :利用率
1年=24時間=365日=8760時間
理論水力の導出
水の質量m[kg]、水の位置が高さH[m]、重力加速度 $g[m/s^2]$ とすると、水の仕事量W[J]は以下のとおり。
$W=mgh$
仕事量[J]は単位時間当たりのエネルギー[W/s]であるため、水が1秒間に行う仕事量P[W]は以下のとおり。
$P=mgh$
水の密度 $\rho =1000[kg/m^3]$ 、つまり$1m^3$ の水の重さは $1000[kg]$ であるため、流量 $Q[m^3]$ の水の質量m[kg]は以下のとおり。
$m=\rho Q=1000Q$
重力加速度 $g=9.8$ のとき、流量 $Q[m^3]$ の水が高さ $H[m]$ の位置から落下するときの仕事量P[kW]は以下のとおり。
$P=mgh=\rho QgH=1000 \cdot 9.8 \cdot QH[W]=9.8QH[kW]$
この仕事量 $P$ [kW]は、水力発電所の理論出力となる。
$P$ の単位は $\rho, g, Q, H$ それぞれの単位を掛け合わせた $kg \cdot m^2/s^3=kg \cdot m/s^2 \cdot m/s$ となる。
揚水発電所の種類と出力
揚水発電所（ポンプ水車式）
発電電動機とポンプと水車を兼用できるポンプ水車を利用した方式。水車とポンプの性能をそれぞれ最適に設計できるため、国内で設計される多くの揚水発電所がこの方式。
揚水発電所(タンデム式)
発電機と電動機を共用し、同一軸に水車とポンプをそれぞれ直結した方式
必要揚程[m]
$H_p=H_0+h_p $
総落差 $H_0[m]$
揚水時の損失水頭 $h_p[m]$
揚水に必要な電力
$P_m=\frac{9.8Q_pH_p}{\eta_p \eta_m} $ [kW]
揚水時の流量 $Q_p[m^3/s]$
ポンプ効率 $\eta_p$
電動機効率 $\eta_m$
揚水に必要な電力量
$ W_m$
$W_m=P_mT_m$ [kWh]
揚水時間 $T_m[h]$
揚水量
$V=3600Q_pT_m [m^3]$
揚水時の流量:$Q_p [m^3/s]$
揚水時間:$T_m[h]$
【令和2年度・問15】 水力発電所(貯水池あり)の発電計画
貯水池を有する水力発電所がある。流域面積Aが15,000[km2] 、年間降水量Wが750[mm]、流出係数Kが0.7のとき、年間の平均流量Q[m3／s] を求めよ。
また、求めた平均流量Qを水力発電所の最大使用水量とし、有効落差Hが100［m］、水車と発電機の総合効率ηが80％、発電所の年間の設備利用率αが60％のとき、年間発電電力量の値 [kW⋅h] を求めよ。
解説
貯水池の流域面積A、年間降雨量W、流出係数Kのとき、1年間で水力発電所で利用される水量$V[m^3]$は以下のとおり。
$V=A \times W \times K = (15,000 \times 10^6) (750 \times 10^{-3})0.7 = 7.875\times 10^9 [m^3]$
※$1[km^2] = 1000[m] \times 1000[m] = 10^6 [m^2]$となることに注意
年間の平均流量Q[m3/s]は、年間水量V[m3]を1年間の秒数(365日×24時間×60分×60秒)で割れば求まる。
$Q=\frac{V}{365 \times 24 \times 60 \times 60} = 250[m^3/s]$
最大使用水量Q=250[m3/s]、有効落差H=100[m]、総合効率η=0.8なので、水力発電所の定格出力P[kW]は以下のとおり。
$P = 9.8QH\eta = 196000[kW]$
発電所の年間発電電力量の値W[kW⋅h]は1年間の時間(365日×24時間)と年間の設備利用率 α=0.6 で掛けて求まる。
$W=P\times 24 \times 365 \times \alpha = 1030000000[kWh]$
例えば、発電電力100Wを1時間続けたときの発電電力量W=100×1=100[Wh]となる。「W=P×3600」などと誤って計算しないこと。
【例題】調整池式発電所の出力
【問題】
以下の仕様の調整池をもつ水力発電設備があるとき、以下①②を求めよ。
– ①運用に最低限必要な有効貯水量$V[m^3]$はいくらか。
– ②オフピーク運用中の発電機出力[kW]はいくらか。
- 仕様
- 自然流量 $Q_N=6[m^3/s]$
- 最大使用流量
- $Q_p=10[m^3/s]$ で12〜18時の6時間運用
- 1日のピーク継続時間t=6[h]
- オフピーク運用中の使用流量
- $Q_0=3[m^3/s]$ で12〜18時以外の18時間運用
- 水車の有効落差H=100m
- 水車効率90％
- 発電機効率96％
【①の解答】
- 12時〜18時の6時間がピーク運用なので、18時の時点で貯水量が0になっても良い。
- よって、ピーク運用時の最大使用水量 $Q_P=10[m^3/s]$ と取水する自然流量 $Q_N=6[m^3/s]$ の差である $4[m^3/s]$ を6時間(3600×6秒)だけ流せる水を調整池の水(有効貯水量V)で補う。
- $V=4\times 3600\times 6=86400[m^3]$
【②の解答】
- 1日の「調整池に取水する量」 = 「発電所での使用水量」は等しくなるので、
- $Q_N \cdot 3600 \cdot 24 = (Q_p \cdot 3600 \cdot 6) + (Q_0 \cdot 3600 \cdot 18)$
- 上式に$Q_N = 6, Q_p=10$を代入すると、$Q_0=4.66$となる。よって
- $P_0=9.8 Q_0 H \eta_w \eta_g = 9.8\cdot 4.66 \cdot 100 \cdot 0.09\cdot 0.96 = 4000[kW]$
【例題】揚水発電所の入出力、効率
【問題】
以下の仕様をもつ揚水発電所をがある。この揚水発電所における発電出力の値 [kW] ，揚水入力の値 [kW] ，揚水所要時間の値 [h] 及び揚水総合効率の値 [％] を求めよ。ただし運転中の総落差が変わらず，発電出力，揚水入力ともに一定で運転するものと仮定する。
- 総落差 $H_0=400m$
- 発電損失水頭 $h_G=H0$の3％(12m)
- 揚水損失水頭 $h_P=H0$の3％ (12m)
- 発電使用水量 $Q_G=60m^3/s$
- 揚水量 $Q_P=50m^3/s$
- 発電運転時の効率 発電機効率ηG×水車効率ηT=87％
- ポンプ運転時の効率 電動機効率ηM×ポンプ効率ηP=85％
- 発電運転時間 TG=8h
【解答】
- 有効落差 $H=H_0-h_g=388[m]$ より、発電出力$P_G$は以下のとおり。
$P_G=9.8Q_GH\eta_G\eta_T=9.8\times 60\times 388 \times 0.87 = 198500[kW]$
- 必要揚程 $H_P=H_0+h_p=412m$ より、揚水入力 $P_M$ は
$P_M=\frac{9.8Q_pH_p}{\eta_M\eta_p}=237500[kW]$
-
「発電に利用した水量」=「揚水に使用した水量」は等しいため、揚水所要時間TMは、
$Q_G \times T_G=Q_p\times 3600 \times T_M$
$T_M=9.6 [h]$ -
揚水総合効率$\eta$は、
$\eta=\frac{W_G}{W_M}\times 100 =\frac{P_GT_G}{P_MT_M}\times 100=69.6[%]$
【例題】揚水発電所の電力量・流量の計算
【問題】
以下の仕様の揚水発電所について、①②の問に答えよ。
- 揚程:450m
- ポンプ効率:90％
- 電動機効率:98％
①下池から $V=1800000m^3$ の水を揚水するのに電動機が消費する電力量 $W_m [MWh]$ を計算せよ。
– 水の密度を $1000kg/m^3$ 、重力加速度を $9.8m/s^2$ とする。
– 揚水により揚程及び効率は変わらないものとする。
②発電電動機が電動機入力300MWで揚水運転しているときの流量 $[m^3/s]$ を計算せよ。
【①の解答】
- 揚水時の流量を $Q_p[m^3/s]$ 、揚水に必要な電力$P_m[kW]$ とすると、公式より以下のとおり。
$P_m=\frac{9.8Q_pH_p}{\eta_p\eta_m}=\frac{9.8Q_p\cdot 450}{0.9\cdot 0.98}=5000Q_p$
-
揚水時間 $T_m$ のとき、所要電力量 $W_m[kWh]=P_mT_m=5000Q_pT_m$となる。また、揚水量$V=1,800,000[m^3]$ であるから
$V=1800000=Q_p\cdot 3600 \cdot T_m$
$Q_p T_m=500$ -
よって、所要電力量の式に代入すれば$W_m$が求まる。
$W_m=5000Q_pT_m = 5000 \cdot 500 = 2500[MWh]$
【②の解答】
$P_m=\frac{9.8Q_pH_p}{\eta_p \eta_m}$
$Q_p=\frac{\eta_p \eta_m}{9.8H_p}P_m = \frac{0.9\cdot 0.98}{9.8\cdot 450}300\times 10^3 = 60[m^3/s]$
【令和7年度上期・問1】理論水力の単位
水力発電所の理論水力Pは位置エネルギーの式から $P=\rho gQH$ と表される。ここで H [m]は有効落差,Q [m³/s]は流量,gは重力加速度 $=9.8\text{m/s}^2$, $\rho$は水の密度=1000 kg/m³である。以下に理論水力Pの単位を検証することとする。なお, Paは「パスカル」 Nは「ニュートン」 Wは「ワット」、Jは「ジュール」である。
$P=\rho gQH$ の単位は$\rho$,g, Q, Hの単位の積であるから, kg/m³・m/s²・m³/s・m となる。これを変形すると、(ア) ・m/sとなるが、 (ア) は力の単位(イ) と等しい。
すなわち$P=\rho gQH$ の単位は (イ) ・m/sとなる。ここで (イ) ・m は仕事(エネルギー)の単位である (ウ) と等しいことから $P=\rho gQH$ の単位は (ウ) /s と表せ、これは仕事率(動力)の単位である (エ) と等しい。
ゆえに、理論水力 $P=\rho gQH$の単位は (エ) となるが、重力加速度 $g=9.8\text{m/s}^2$ と水の密度 $\rho=1000\text{ kg/m}^3$ の数値9.8と1000を考慮するとP=9.8QH[ (オ) ]と表せる。
上記の記述中の空白箇所(ア)から(オ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)から(5)のうちから一つ選べ。
| – | (ア) | (イ) | (ウ) | (エ) | (オ) |
|---|---|---|---|---|---|
| (1) | kg・m | Pa | J | W | kJ |
| (2) | $\text{kg}\cdot\text{m/s}^2$ | N | J | W | kW |
| (3) | $\text{kg}\cdot\text{m/s}^2$ | Pa | J | W | kW |
| (4) | kg・m | N | J | W | kW |
| (5) | $\text{kg}\cdot\text{m/s}^2$ | N | J | W | kJ |
解説
正解は(2)です。
水力発電の出力計算における単位の導出に関する問題です。
(ア) $P = \rho g Q H$ の単位計算において、各変数の単位を掛け合わせると以下のようになります。
$\text{kg/m}^3 \times \text{m/s}^2 \times \text{m}^3/\text{s} \times \text{m} = (\text{kg}\cdot\text{m/s}^2) \cdot \text{m/s}$
したがって、(ア)には「$\text{kg}\cdot\text{m/s}^2$」が入ります。
(イ) $\text{kg}\cdot\text{m/s}^2$ は、運動の方程式（力＝質量×加速度）より、力の単位である「N（ニュートン）」と等しくなります。
(ウ) 仕事（エネルギー）の単位は力×距離で表されるため、$\text{N}\cdot\text{m}$ は「J（ジュール）」となります。
(エ) 単位時間あたりの仕事量は仕事率（動力）と呼ばれ、$\text{J/s}$ は「W（ワット）」となります。
(オ) $P = \rho g Q H$ に数値を代入すると、$\rho = 1000$、 $g = 9.8$ であるため
$$P = 1000 \times 9.8 \times Q \times H = 9800 Q H \quad [\text{W}]$$
となります。これを1000で割って「kW」単位に直すと、 $P = 9.8 Q H \text{ [kW]}$ となります。
【令和7年度上期・問15】調整池式水力発電所の運用計算
図の流況曲線を持つ河川の全流量を使用できる調整池式水力発電所において、発電所の使用流量 $[\text{m}^3/\text{s}]$ と調整池の有効貯水容量 $[\text{m}^3]$ について、次の(a)及び(b)の問に答えよ。
(a) 1日単位の調整運転を行う場合、上記流況曲線の渇水量 $8\text{ m}^3/\text{s}$ において、1日に6時間の運転を可能とする最大の使用流量 $[\text{m}^3/\text{s}]$ と、当該時間外に調整池に流入する貯水量 $[\text{m}^3]$ の組合せとして、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
ここで、当該6時間の最大使用流量での運転以外の時間は、水車・発電機を停止して調整池に河川の全流量を貯水するものとする。
| – | 最大使用流量 $[\text{m}^3/\text{s}]$ | 貯水量 $[\text{m}^3]$ |
|---|---|---|
| (1) | 22.8 | 410 400 |
| (2) | 28.8 | 518 400 |
| (3) | 34.8 | 518 400 |
| (4) | 28.8 | 410 400 |
| (5) | 32.0 | 518 400 |
(b) 上記流況曲線で200日以上発生する流量において、小問(a)の最大使用流量で1日8時間の運転を可能とするための有効貯水容量 $[\text{m}^3]$ として、最も小さいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) 420 000
(2) 500 000
(3) 440 000
(4) 460 000
(5) 520 000
解説
(a) 正解は(5)です。
まず、渇水量 $8\text{ m}^3/\text{s}$ のときに1日（24時間）で調整池に流入する総水量を計算します。
$$Q_{total} = 8 \times 24 \times 3600 \quad [\text{m}^3]$$
この全量を6時間の運転で使用する場合の最大使用流量 $Q_p$ は
$$Q_p = \frac{8 \times 24}{6} = 32.0 \quad [\text{m}^3/\text{s}]$$
となります。
次に、運転時間（6時間）以外の停止時間（18時間）に調整池に流入する貯水量を求めます。
$$V = 8 \times 18 \times 3600 = 518,400 \quad [\text{m}^3]$$
したがって、(5)が正しい組合せとなります。
(b) 正解は(5)です。
図の流況曲線より、200日のときの河川流量は $14\text{ m}^3/\text{s}$ と読み取れます。
小問(a)で求めた $Q_p = 32.0\text{ m}^3/\text{s}$ で、1日8時間運転する場合に必要となる有効貯水容量を計算します。
調整池が最も水を必要とするのは運転時間中であり、この間に池から持ち出される水量は「使用流量と流入流量の差」に時間を掛けたものになります。
$$V_{eff} = (32.0 – 14) \times 8 \times 3600 = 18 \times 28800 = 518,400 \quad [\text{m}^3]$$
選択肢の中で、この容量を満たす最小のものは $520,000$ となり、(5)が選ばれます。
関連ページ
コメント